高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)問點(diǎn)歸納1

1.函數(shù)的定義

函數(shù)是高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)習(xí)函數(shù)需要首先把握函數(shù)的各個(gè)學(xué)問點(diǎn)，然后運(yùn)用函數(shù)的各種性質(zhì)來解決詳細(xì)的問題。

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，假如根據(jù)某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),x∈A

2.函數(shù)的定義域

函數(shù)的定義域分為自然定義域和實(shí)際定義域兩種，假如給定的函數(shù)的解析式（不注明定義域），其定義域應(yīng)指的是使該解析式有意義的自變量的取值范圍（稱為自然定義域），假如函數(shù)是有實(shí)際問題確定的，這時(shí)應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義來確定，函數(shù)的值域是由全體函數(shù)值組成的集合。

3.求解析式

求函數(shù)的解析式一般有三種種狀況：

（1）依據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系式，這種狀況需引入合適的變量，依據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)學(xué)問找出函數(shù)關(guān)系式。

（2）有時(shí)體中給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可用待定系數(shù)法。

（3）換元法求解析式，f[h(x)]=g(x)求f(x)的問題，往往可設(shè)h(x)=t，從中解出x,代入g(x)進(jìn)行換元來解。把握求函數(shù)解析式的前提是，需要對各種函數(shù)的性質(zhì)了解且熟識(shí)。

目前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了常數(shù)函數(shù)、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)以及由以上幾種函數(shù)加減乘除，或者復(fù)合的一些相對較簡單的函數(shù)，但是這種函數(shù)也是初等函數(shù)。

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(1)高中函數(shù)公式的變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。

(2)一次函數(shù)：

①若兩個(gè)變量,間的關(guān)系式可以表示成(為常數(shù)，不等于0)的形式，則稱是的一次函數(shù)。

②當(dāng)=0時(shí)，稱是的正比例函數(shù)。

(3)高中函數(shù)的一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

①把一個(gè)函數(shù)的自變量與對應(yīng)的因變量的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點(diǎn)，全部這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。

②正比例函數(shù)=的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線。

③在一次函數(shù)中，當(dāng)0，O，則經(jīng)2、3、4象限;當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、4象限;當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、3、4象限;當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、3象限。

④當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而增大，當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而削減。

(4)高中函數(shù)的二次函數(shù)：

①一般式：，對稱軸是頂點(diǎn)是;

②頂點(diǎn)式：，對稱軸是頂點(diǎn)是;

③交點(diǎn)式：，其中，是拋物線與x軸的交點(diǎn)

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一、定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關(guān)系：

y=kx+b

則此時(shí)稱y是x的一次函數(shù)。

特殊地，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。

即：y=kx（k為常數(shù)，k≠0）

二、一次函數(shù)的性質(zhì)：

1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b（k為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù)）

2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的截距。

三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：

1．作法與圖形：通過如下3個(gè)步驟

（1）列表；

（2）描點(diǎn)；

（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。

因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)）

2．性質(zhì)：

（1）在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x,y），都滿意等式：y=kx+b

（2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b），與x軸總是交于（-b/k,0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點(diǎn)。

3．k,b與函數(shù)圖像所在象限：

當(dāng)k＞0時(shí)，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

當(dāng)k＜0時(shí)，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

當(dāng)b＞0時(shí)，直線必通過一、二象限；

當(dāng)b=0時(shí)，直線通過原點(diǎn)

當(dāng)b＜0時(shí)，直線必通過三、四象限。

特殊地，當(dāng)b=O時(shí)，直線通過原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。

這時(shí)，當(dāng)k＞0時(shí)，直線只通過一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，直線只通過二、四象限

四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式：

已知點(diǎn)A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。

（1）設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式（也叫解析式）為y=kx+b

（2）由于在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x,y），都滿意等式y(tǒng)=kx+b，所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

（3）解這個(gè)二元一次方程，得到k,b的值。

（4）最終得到一次函數(shù)的表達(dá)式。

五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：

1.當(dāng)時(shí)間t肯定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt

2.當(dāng)水池抽水速度f肯定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S.g=S-ft

六、常用公式：

1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2）/（x1-x2）

2.求與x軸平行線段的中點(diǎn)：|x1-x2|/2

3.求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2

4.求任意線段的長：√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2（注：根號(hào)下（x1-x2）與（y1-y2）的平方和）

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(1)配方法:若函數(shù)為一元二次函數(shù)，則可以用這種方法求值域，關(guān)鍵在于正確化成完全平方式。

(2)換元法：常用代數(shù)或三角代換法，把所給函數(shù)代換成值域簡單確定的另一函數(shù)，從而得到原函數(shù)值域，如y=ax+b+_cx-d(a,b,c,d均為常數(shù)且ac不等于0)的函數(shù)常用此法求解。

(3)判別式法：若函數(shù)為分式結(jié)構(gòu)，且分母中含有未知數(shù)x，則常用此法。通常去掉分母轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再由判別式△0，確定y的范圍，即原函數(shù)的值域

(4)不等式法：借助于重要不等式a+bab(a0)求函數(shù)的值域。用不等式法求值域時(shí)，要留意均值不等式的使用條件“一正，二定，三相等。”

(5)反函數(shù)法：若原函數(shù)的值域不易直接求解，則可以考慮其反函數(shù)的定義域，依據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)定義域與值域互換的特點(diǎn)，確定原函數(shù)的值域，如y=cx+d/ax+b(a0)型函數(shù)的值域，可采納反函數(shù)法，也可用分別常數(shù)法。

(6)單調(diào)性法：首先確定函數(shù)的定義域，然后在依據(jù)其單調(diào)性求函數(shù)值域，常用到函數(shù)y=x+p/x(p0)的單調(diào)性：增區(qū)間為(-,-p)的左開右閉區(qū)間和(p,+)的左閉右開區(qū)間，減區(qū)間為(-p,0)和(0,p)

(7)數(shù)形結(jié)合法：分析函數(shù)解析式表達(dá)的集合意義，依據(jù)其圖像特點(diǎn)確定值域。

留意：

(1)用換元法求值域時(shí)，仔細(xì)分析換元后變量的范圍變化；用判別式法求函數(shù)值域時(shí)，肯定要留意自變量x是否屬于R。

(2)用不等式法求函數(shù)值域時(shí)，需要仔細(xì)分析其等號(hào)能否成立；利用單調(diào)性求函數(shù)值域時(shí)，精確?????找出其單調(diào)區(qū)間是關(guān)鍵。分段函數(shù)的值域應(yīng)分段分析，再取并集。

(3)不管用哪種方法求函數(shù)值域，都肯定要先確定其定義域，這是求函數(shù)的重要環(huán)節(jié)。

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一、定義域

(高中函數(shù)定義)設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，假如按某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A--B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域。

二、值域

名稱定義

函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域函數(shù)的值域，在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量全部值的集合

常用的求值域的方法：

(1)化歸法;

(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合)，

(3)函數(shù)單調(diào)性法，

(4)配方法，

(5)換元法，

(6)反函數(shù)法(逆求法)，

(7)判別式法，

(8)復(fù)合函數(shù)法，

(9)三角代換法，

(10)基本不等式法等

三、關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)

定義域、對應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個(gè)基本元件。平常數(shù)學(xué)中，實(shí)行定義域優(yōu)先的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強(qiáng)化定義域問題的同時(shí)，往往就減弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手硬一手軟，使同學(xué)對函數(shù)的把握時(shí)好時(shí)壞，事實(shí)上，定義域與值域二者的位置是相當(dāng)?shù)?，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時(shí)處于相互轉(zhuǎn)化之中(典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化)。假如函數(shù)的值域是無限集的話，那么求函數(shù)值域不總是簡單的，反靠不等式的運(yùn)算性質(zhì)有時(shí)并不能奏效，還必需聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的.取值狀況。才能獲得正確答案，從這個(gè)角度來講，求值域的問題有時(shí)比求定義域問題難，實(shí)踐證明，假如加強(qiáng)了對值域求法的討論和爭論，有利于對定義域內(nèi)函的理解，從而深化對函數(shù)本質(zhì)的熟悉。

范圍與值域相同嗎?

范圍與值域是我們在學(xué)習(xí)中常常遇到的兩個(gè)概念，很多同學(xué)經(jīng)常將它們混為一談，實(shí)際上這是兩個(gè)不同的概念。值域是全部函數(shù)值的集合(即集合中每一個(gè)元素都是這個(gè)函數(shù)的取值)，而范圍則只是滿意某個(gè)條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不肯定都滿意這個(gè)條件)。也就是說：值域是一個(gè)范圍，而范圍卻不肯定是值域。

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一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零;

2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零;

3、對數(shù)的真數(shù)大于零;

4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1;

5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中x≠kπ+π/2;

6、假如函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法;

2、換元法;

3、待定系數(shù)法;

4、函數(shù)方程法;

5、參數(shù)法；

6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法;

2、配方法;

3、判別式法;

4、幾何法;

5、不等式法;

6、單調(diào)性法;

7、直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法;

2、換元法;

3、不等式法;

4、幾何法;

5、單調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為增(減)函數(shù)

2、若f(x)為增(減)函數(shù)，則-f(x)為減(增)函數(shù)

3、若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則f[g(x)]是增函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性不同，則f[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、假如一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義，則f(0)=0，假如一個(gè)函數(shù)y=f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)=0(