311.2等差等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(教師版)

/3.2等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用●知識(shí)梳理１。為等差數(shù)列,為等比數(shù)列，2。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,即Sn，S2ｎ-Ｓn,S3n—Ｓ2ｎ，…為等差數(shù)列，公差為n2d。;等比數(shù)列的前n項(xiàng)和也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即Sn,S2n-Sｎ,S３n－Ｓ2n，…為等比數(shù)列,公比為ｑn.４．在等差數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即an,an＋ｍ，an+2m，…，為等差數(shù)列，公差為md。在等比數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an+ｍ,an+2m,…,為等比數(shù)列,公比為ｑm.5．若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為２，則；若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則,且，.6。若a１＞０，d〈0,Sn有最大值，可由不等式組來(lái)確定n.若a1〈0,d>０,Sn有最小值，可由不等式組來(lái)確定。7。等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的常見(jiàn)應(yīng)用題：=1\*GＢ2⑴生產(chǎn)部門中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問(wèn)題．例如，第一年產(chǎn)量為，年增長(zhǎng)率為，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為.其中第年產(chǎn)量為,且過(guò)年后總產(chǎn)量為：=2\*ＧB2⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問(wèn)題。例如:一年中每月初到銀行存元，利息為,每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的元過(guò)個(gè)月后便成為元。因此，第二年年初可存款:＝.＝３\＊GＢ２⑶分期付款應(yīng)用題:為分期付款方式貸款為a元;m為m個(gè)月將款全部付清；為年利率．●課前預(yù)習(xí)１。已知等差數(shù)列｛ａｎ｝滿足ａ1+ａ2+……+a99=０，則（Ｃ）(A)a1＋ａ99>０（B）a2+a９8〈0（Ｃ)a3+a97＝0（D)a50=５02。在等差數(shù)列{ａn｝中，Sp＝ｑ，Sq=p,Sｐ+q的值為（B）(A）ｐ+q（B）－（p＋q）(C）p2-q2(D）p2+ｑ23．已知數(shù)列{3｝是等比數(shù)列，公比為q則數(shù)列｛an｝為（B）（A）等比數(shù)列，公比為lｏg3q(B）等差數(shù)列，公差為log３q（C)等差數(shù)列，公差為3q（D）可能既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列。4。已知數(shù)列{an｝是公比ｑ的等比數(shù)列，給出下列六個(gè)數(shù)列：(1)｛kａｎ}(k)（2）｛a２n-1}（3）｛an+1-ａｎ｝（4)｛anaｎ+1}（5）｛nａn｝（6)｛aｎ3｝，其中仍能構(gòu)成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為(Ｂ）（Ａ）4(B）5(Ｃ）6（Ｄ)３●課堂例析例１、等差數(shù)列｛an}中，前三項(xiàng)和為12，末三項(xiàng)和為132,所有項(xiàng)和為240，求項(xiàng)數(shù).解:a1+a2＋ａ3=１2，ａｎ-2+ａn－１+ａn=13２，相加得3（a1+ａn)=144，a１+ａn=48，求得Sｎ==240，n＝10。例2、求從１到100中所有不被3及5整除的整數(shù)之和.解：設(shè)S表示從1到100的所有整數(shù)之和.S1表示從１到100中所在能被3整除的整數(shù)的和.S2表示從1到100中所有能被5整除的整數(shù)的和。Ｓ３表示從1到１00中所有既能被3整除，又能被5整除的整數(shù)的和。則S=。由９9=3+(n-1）×３，得n＝3３。。由100=5+(n－1)×５，得ｎ=20。Ｓ3表示15,3０，45,…，90之和S３=從1到１0０中所有不被３及５整除的整數(shù)之和為Ｓ—S1-S2+S3=２6３2。例3、在公差小于0的等差數(shù)列｛an｝中，=,則當(dāng)Ｓn最大時(shí)的n為。解：a1+3d=-(a1＋13d），得a1＝-8d由得8或9例4、已知數(shù)列{an｝是公差ｄ不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{abn}是公比為ｑ的等比數(shù)列,b1=１,ｂ2=10,b3=４6,，求公比q及bn。解：．ａ=ａ１,a=a１0=a1＋9d,ａ=a4６=ａ1+４5d由{aｂn｝為等比數(shù)例，得(a１+９d）2=a1（ａ1+４5ｄ）得ａ1=3d，即ab1＝3d,ａｂ2=1２d,ａb3=4８d.∴q＝4又由｛ａbn｝是{ａｎ}中的第bｎ項(xiàng)，及ａbｎ＝ab１·4n－１＝3d·4n－1，a1+（bn—１)d=3d·4n—1∴bn=3·4ｎ－1—2●接軌高考陳老師購(gòu)買安居工程集資房72ｍ2，單價(jià)為１000/ｍ2，一次性國(guó)家財(cái)政補(bǔ)貼28８０0元,學(xué)校補(bǔ)貼14４００元，余款由個(gè)人負(fù)擔(dān)，房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司對(duì)教師實(shí)行分期付款，即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款時(shí)所生的利息合計(jì)，應(yīng)等于個(gè)人負(fù)擔(dān)的購(gòu)房余款的現(xiàn)價(jià)以及這個(gè)余款現(xiàn)價(jià)到最后一次付款時(shí)所生利息之和，每期為一年，等額付款,簽訂購(gòu)房合同后一年付款一次，再過(guò)一年又付款一次等等,若付１0次,1０年后付清。如果按年利率的7.5%每年復(fù)利一次計(jì)算(即本年利息計(jì)入次年的本金生息）,那么每年應(yīng)付款多少元？(參考數(shù)據(jù)：1．0７59１．921,1.075102.0６5，1.075112.２21）解:設(shè)每年付款x元，那么１０年后第一年付款的本利和為ａ1=１。07５9ｘ元。第二年付款的本利和為a2＝1．0７５８x元。依次類推第ｎ年付款的本利和為an=1。０7510—nx元。則各年付款的本利和{ａn｝為等比數(shù)列.∴1０年付款的本利和為S１0=。個(gè)人負(fù)擔(dān)的余額總數(shù)為72×1０00－2880０－144０0=28800元。10年后余款的本利和為188０0×1。０7510∴·解得x=●課堂小結(jié)1。靈活地運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),能使問(wèn)題簡(jiǎn)化;２.從等差數(shù)列中按某種規(guī)律，抽取某些項(xiàng),依次排列，組成一個(gè)等比數(shù)列,是等差、等比數(shù)列綜合題中的較重要的類型，要認(rèn)真體會(huì)此類題.３.用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法揭示等差數(shù)列和等比數(shù)列的特征,在分析和解決有關(guān)數(shù)列的綜合題中具有重要的意義．作業(yè)1.已知等差數(shù)列{ａn｝，a1=29，S１0=Ｓ２0，問(wèn)這個(gè)數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大？并求最大值.解：由S20=S10得２a1+29d=0d=-2，an=a1+(n—１)d=—2n+３１Sｎ==－n2+3０n＝-(ｎ-１5)2+225∴當(dāng)n=1５時(shí)，Sn最大,最大值為２２5。２。已知數(shù)列{an｝滿足a1=1,a２=ｒ（r>０），數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列(q〉０)，bn=ａnaｎ+１，cn=a2n-1+a２n，求cｎ。解:∵ｂｎ+1=ｂnq,∴ａn