高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)平面向量的概念及線性運算理蘇教版

高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)平面向量的概念及線性運算理蘇教版第1頁/共90頁1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或稱為)平面向量是自由向量零向量長度為的向量；其方向是任意的記作__單位向量長度等于長度的向量大小方向長度模01個單位0第2頁/共90頁平行向量方向

或

的非零向量0與任一向量

或共線共線向量

的非零向量又稱為共線向量相等向量長度

且方向

的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度

且方向

的向量0的相反向量為0相同相反方向相同或相反相等相同相等相反平行第3頁/共90頁2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：a＋b＝

.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝

.三角形平行四邊形b＋aa＋(b＋c)第4頁/共90頁減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差

法則a－b＝a＋(－b)三角形第5頁/共90頁數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝

；(2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向

；當(dāng)a＝0時，λa＝0；當(dāng)λ＝0時，λa＝

λ(μa)＝

；(λ＋μ)

a＝

；λ(a＋b)＝

|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb第6頁/共90頁3.向量共線定理如果有一個實數(shù)λ，使b＝λa(a≠0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a≠0)是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b＝λa.第7頁/共90頁思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.(

)(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān).(

)(3)已知兩向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝2.(

)×√×第8頁/共90頁(4)△ABC中，D是BC中點，則

＝

( ＋

).(

)(5)向量

與向量

是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上.(

)(6)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立.(

)返回√×√第9頁/共90頁題號答案解析12343－1－2

Enter第10頁/共90頁解析第11頁/共90頁題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則“＝

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是________.解析答案思維升華第12頁/共90頁①不正確.兩個向量的長度相等,但它們的方向不一定相同.題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則“＝

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是________.又∵A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；解析答案思維升華第13頁/共90頁反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則“＝

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是________.解析答案思維升華第14頁/共90頁題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則“＝

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是________.③正確.∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.④不正確.當(dāng)a∥b且方向相反時，解析答案思維升華第15頁/共90頁題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則“＝

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是________.即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號是②③.解析答案思維升華第16頁/共90頁題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則“＝

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是________.即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號是②③.②③解析答案思維升華第17頁/共90頁(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混為一談.題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則“＝

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是________.②③解析答案思維升華第18頁/共90頁題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則“＝

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是________.②③解析答案思維升華第19頁/共90頁跟蹤訓(xùn)練1

下列命題中，正確的是________.(填序號)①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③向量

與向量

共線，則A、B、C、D四點共線；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；⑤兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.第20頁/共90頁解析①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量；②不正確，若a與b中有一個為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；④不正確，如果b＝0，則a與c不一定平行；⑤正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大小；向量的模均為實數(shù)，可以比較大小.答案⑤第21頁/共90頁題型二平面向量的線性運算解析答案思維升華例2

(1)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若

＝a，

＝b，則

＝_________.(用a，b表示)第22頁/共90頁由題意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，題型二平面向量的線性運算例2

(1)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若

＝a，

＝b，則

＝_________.(用a，b表示)解析答案思維升華第23頁/共90頁題型二平面向量的線性運算例2

(1)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若

＝a，

＝b，則

＝_________.(用a，b表示)解析答案思維升華第24頁/共90頁題型二平面向量的線性運算例2

(1)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若

＝a，

＝b，則

＝_________.(用a，b表示)解析答案思維升華第25頁/共90頁(1)解題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.題型二平面向量的線性運算例2

(1)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若

＝a，

＝b，則

＝_________.(用a，b表示)解析答案思維升華第26頁/共90頁(2)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果.題型二平面向量的線性運算例2

(1)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若

＝a，

＝b，則

＝_________.(用a，b表示)解析答案思維升華第27頁/共90頁解析答案思維升華第28頁/共90頁解析答案思維升華第29頁/共90頁解析答案思維升華第30頁/共90頁(1)解題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.解析答案思維升華第31頁/共90頁(2)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果.解析答案思維升華第32頁/共90頁第33頁/共90頁第34頁/共90頁第35頁/共90頁題型三共線定理的應(yīng)用解析思維升華第36頁/共90頁題型三共線定理的應(yīng)用解析思維升華第37頁/共90頁題型三共線定理的應(yīng)用又∵它們有公共點B，∴A、B、D三點共線.解析思維升華第38頁/共90頁(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系.當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.題型三共線定理的應(yīng)用解析思維升華第39頁/共90頁(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時成立，則向量a、b不共線.題型三共線定理的應(yīng)用解析思維升華第40頁/共90頁例3

(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.解析思維升華第41頁/共90頁例3

(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.解∵ka＋b和a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是兩個不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.解析思維升華第42頁/共90頁例3

(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系.當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.解析思維升華第43頁/共90頁例3

(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.解析思維升華(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時成立，則向量a、b不共線.第44頁/共90頁第45頁/共90頁又因為點D是BC邊上靠近B的三等分點，答案③第46頁/共90頁3第47頁/共90頁思想與方法系列7方程思想在平面向量的線性運算中的應(yīng)用思維點撥規(guī)范解答溫馨提醒第48頁/共90頁(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去.(2)既然

能用a、b表示，那我們不妨設(shè)出

＝ma＋nb.(3)利用向量共線建立方程，用方程的思想求解.思維點撥規(guī)范解答溫馨提醒第49頁/共90頁4分

思維點撥規(guī)范解答溫馨提醒第50頁/共90頁6分

即m＋2n＝1.①

9分

思維點撥規(guī)范解答溫馨提醒第51頁/共90頁12分

又∵C、M、B三點共線，思維點撥規(guī)范解答溫馨提醒第52頁/共90頁消去t1得，4m＋n＝1.②14分

思維點撥規(guī)范解答溫馨提醒第53頁/共90頁返回(1)本題考查了向量的線性運算，知識要點清楚，但解題過程復(fù)雜，有一定的難度.(2)易錯點是，找不到問題的切入口，想不到利用待定系數(shù)法求解.(3)數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運算的核心，向量是一個幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關(guān)問題時，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧.如本題易忽視A、M、D三點共線和B、M、C三點共線這個幾何特征.(4)方程思想是解決本題的關(guān)鍵，要注意體會.思維點撥規(guī)范解答溫馨提醒第54頁/共90頁方法與技巧1.向量的線性運算要滿足三角形法則和平行四邊形法則，做題時，要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素.向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”.第55頁/共90頁方法與技巧2.證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.第56頁/共90頁失誤與防范1.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.2.在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯誤.返回第57頁/共90頁234567891011.下列說法正確的個數(shù)是________.①溫度、速度、位移、功這些物理量都是向量；②零向量沒有方向；③向量的模一定是正數(shù)；④非零向量的單位向量是唯一的.解析①錯誤，只有速度和位移是向量；第58頁/共90頁23456789101②錯誤，零向量是有方向的，它的方向是任意的；③錯誤，|0|＝0；④顯然錯誤.答案0第59頁/共90頁345678910122.已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，則2a－b＝________.解析2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7).(5,7)第60頁/共90頁24567891013第61頁/共90頁24567891013∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.答案－1第62頁/共90頁235678910144.已知點O為△ABC外接圓的圓心，且

＝0，則△ABC的內(nèi)角A＝________.又O為△ABC外接圓的圓心，∴△ABC為等邊三角形，A＝60°.60°第63頁/共90頁23467891015第64頁/共90頁234578910166.下列命題：①如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a，b之一方向相同；④若a，b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等.其中假命題的序號為________.第65頁/共90頁23457891016解析①若a與b長度相等，方向相反，則a＋b＝0；③A，B，C三點可能在一條直線上；④|a|＋|b|≥|a＋b|.答案①③④第66頁/共90頁23456891017解析設(shè)D為AC的中點，連結(jié)OD，第67頁/共90頁23456891017從而容易得△AOB與△AOC的面積之比為1∶2.答案1∶2第68頁/共90頁23456910178第69頁/共90頁23456910178第70頁/共90頁234567810199.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共線，向量c＝2e1－9e2.問是否存在這樣的實數(shù)λ、μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線，則應(yīng)有實數(shù)k