第四講邏輯函數化簡代數化簡法

第四講邏輯函數化簡代數化簡法第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三上講內容回顧邏輯函數表達式的標準形式最小項最大項邏輯函數表達式的轉換第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三本講內容內容：邏輯函數的公式化簡法目的與要求： 理解化簡的意義和標準； 掌握代數化簡的幾種基本方法并能熟練運用；掌握用擴充公式化簡邏輯函數的方法。重點與難點：重點：5種常見的邏輯式；用并項法、吸收法、消去法、配項法對邏輯 函數進行化簡。難點：運用代數化簡法對邏輯函數進行化簡。第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三相關知識回顧邏輯代數的基本公式、基本定律和三個重要規(guī)則第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三基本定律和規(guī)則總結（1）與普通代數相似的定律交換律A+B＝B+AA·B＝B·A結合律A+B+C＝(A+B)+C=A+(B+C)A·B·C=(A·B)·C=A·(B·C)分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)·(A+C)第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三（2）吸收律是邏輯函數化簡中常用的基本定律。吸收律證明①AB+AB＝A②A+AB＝A③A+AB＝A+B④AB+AC+BC＝AB+ACAB+AB＝A(B+B)=A·1=AA+AB=A(1+B)=A·1=AA+AB=(A+A)(A+B)=1·(A+B)=A+B原式=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)AB+AC第④式的推廣：AB+AC+BCDE=AB+AC第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三（3）摩根定律又稱為反演律，有下列2種形式（可用真值表證明）。第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三邏輯函數化簡的意義 根據邏輯問題歸納出來的邏輯函數式往往不是最簡邏輯函數式。對邏輯函數進行化簡和變換，可以得到最簡的邏輯函數式和所需要的形式，設計出最簡潔的邏輯電路。這對于節(jié)省元器件、降低成本和提高系統的可靠性、提高產品的市場競爭力都是非常重要的。二.邏輯函數式的幾種常見形式和變換常見的邏輯函數式主要有下列5種形式。以為例：Y1=AB+BC與-或表達式Y2=(A+B)(B+C)或-與表達式Y3=AB·BC與非-與非表達式Y4=A+B+C+D或非-或非表達式Y5=A·B+BC與或非表達式2.4邏輯函數化簡

利用邏輯代數的基本定律，可以實現上述五種邏輯函數式之間的變換。第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三三.邏輯函數的最簡式、

1）最簡與-或式 乘積項個數最少。 每個乘積項變量最少。最簡與或表達式Y=ABE+AB+AC+ACE+BC+BCD=AB+AC+BC=AB+AC第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三2）最簡與非-與非表達式非號最少、并且每個非號下面乘積項中的變量也最少的與非-與非表達式。①在最簡與或表達式的基礎上兩次取反②用摩根定律去掉下面的大非號3）最簡或與表達式括號最少、并且每個括號內相加的變量也最少的或與表達式。①求出反函數的最簡與或表達式②利用反演規(guī)則寫出函數的最簡或與表達式Y=AB+AC=AB+AC=AB·

ACY=AB+ACY=AB+AC=(A+B)(A+C)=AB+AC+BC=AB+ACY=(A+B)(A+C)第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三4）最簡或非-或非表達式非號最少、并且每個非號下面相加的變量也最少的或非-或非表達式。①求最簡或與-或與表達式②兩次取反５）最簡與或非表達式非號下面相加的乘積項最少、并且每個乘積項中相乘的變量也最少的與或非表達式。①求最簡或非-或非表達式③用摩根定律去掉下面的大非號②用摩根定律去掉大非號下面的非號Y=AB+AC=(A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)=A+B+A+CY=AB+AC=A+B+A+C=AB+AC第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三邏輯函數化簡有3種常用方法。即：代數化簡法、卡諾圖化簡法和列表化簡法。第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三2.4.1代數化簡法

代數化簡法就是運用邏輯代數的公理、定理和規(guī)則對邏輯函數進行化簡的方法。

一、“與-或”表達式的化簡

最簡“與-或”表達式應滿足兩個條件：

1．表達式中的“與”項個數最少；

2．在滿足上述條件的前提下，每個“與”項中的變量個數最少。

滿足上述兩個條件可以使相應邏輯電路中所需門的數量以及門的輸入端個數均為最少，從而使電路最經濟。第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三1、并項法利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項合并為一項，并消去一個變量。

若兩個乘積項中分別包含同一個因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時，則這兩項可以合并成一項，并消去互為反變量的因子。運用摩根定律運用分配律運用分配律Y1=ABC+ABC+BC=(A+A)BC+BC=BC+BC=B(C+C)=BY2=ABC+AB+AC=ABC+A(B+C)=ABC+ABC=A(BC+BC)=A第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三2、吸收法

如果乘積項是另外一個乘積項的因子，則這另外一個乘積項是多余的。運用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的變量。

如果一個乘積項的反是另一個乘積項的因子，則這個因子是多余的。Y1=AB+ABCD(E+F)=ABY2＝A+BCD+ADB＝A+BCD+AD+B

＝（A+AD）+（B+BCD）＝A+BY＝AB+AC+BC

＝AB+(A+B)C=AB+ABC=AB+CY=AB+C+ACD+BCD=AB+C+C(A+B)D=AB+C+(A+B)D=AB+C+ABD=AB+C+D第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三Y=AB+BC+BC+AB=AB+BC+(A+A)BC+AB(C+C)=AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC=AB(1+C)+BC(1+A)+AC(B+B)=AB+BC+ACY=ABC+ABC+ABC+ABC=(ABC+ABC)+(ABC+ABC)+(ABC+ABC)=AB+AC+BC３、配項法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項配上其所缺的變量，以便用其它方法進行化簡。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項配上其所能合并的項。第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三Y2=AB+BC+AC(DE+FG)=AB+BCY1=AB+AC+ADE+CD=AB+(AC+CD+ADE)=AB+AC+CD利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項ＢＣ消去。４、消去冗余項法第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三例：化簡函數解：①先求出Y的對偶函數Y＇，并對其進行化簡。②求Y＇的對偶函數，便得Ｙ的最簡或與表達式。Y=(B+D)(B+D+A+G)(C+E)(C+G)(A+E+G)Y’=BD+BDAG+CE+CG+AEG=BD+CE+CGY=(B+D)(C+E)(C+G)第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三例

化簡

解

實際應用中遇到的邏輯函數往往比較復雜，化簡時應靈活使用所學的公理、定理及規(guī)則，綜合運用各種方法。第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三例

化簡

解

第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三5.邏輯函數擴充公式

擴充公式一1）

A·A=0，A·A=A的擴充當包含變量X、的函數f和變量X相“與”時，函數f中的X均可用“1”代替，均可用“0”代替；當f和變量相“與”時，函數f中的X均可用“0”代替，均可用“1”代替。即

X·f（X，，Y，……，Z）=X·f（1，0，Y，……，Z）

·f（X，，Y，……，Z）=·f（0，1，Y，……，Z）2）

A+=1，A+B=A+B，A+AB=A的擴充當包含變量X、的函數f和變量X相“或”時，函數f中的X均可用“0”代替，均可用“1”代替。當f和變量相“或”時，函數f中的X均可用“1”代替，均可用“0”代替。即

X+f（X，，Y，……，Z）=X+f（0，1，Y，……，Z）

+f（X，，Y，……，Z）=+f（1，0，Y，……，Z）第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三

擴充公式二第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三利用擴充公式化簡邏輯函數例1化簡邏輯函數

解：由擴充公式一得

第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三例2化簡邏輯函數

解：應用擴充公式二，將函數L展開為的邏輯或的形式，再用擴充公式一進行化簡。

第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三例3化簡邏輯函數

解：應用擴充公式二，將函數L展開為的邏輯與的形式，再用擴充公式一進行化簡。

第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三二、“或-與”表達式的化簡

最簡“或-與”表達式應滿足兩個條件：

1．表達式中的“或”項個數最少；

2．在滿足上述條件的前提下，每個“或”項中的變量個數最少。

用代數化簡法化簡“或-與”表達式可直接運用公理、定理中的“或-與”形式，并綜合運用前面介紹“與-或”表達式化簡時提出的各種方法進行化簡。第26頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三例化簡

解

此外，可以采用兩次對偶法。具體如下：

第一步：對“或-與”表達式表示的函數F求對偶，得到“與-或”表達式F’；

第二步：求出F’的最簡“與-或”表達式；

第三步：對F’再次求對偶,即可得到F的最簡“或-與”表達式。第