第四章頻率域圖像增強

第四章頻率域圖像增強第1頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四4.1 背景知識圖像變換的目的使圖像處理問題簡化；有利于圖像特征提??；有助于從概念上增強對圖像信息的理解；第2頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四圖像變換的定義將空域中的信號變換到另外一個域，即使用該域中的一組基函數(shù)的線性組合來合成任意函數(shù)單位正交基函數(shù)（相同基函數(shù)內積為1，不同基函數(shù)的內積為0）使用這組基函數(shù)的線性組合得到任意函數(shù)f，每個基函數(shù)的系數(shù)就是f與該基函數(shù)的內積圖像變換通常是一種二維正交變換。一般要求：1.正交變換必須是可逆的；2.正變換和反變換的算法不能太復雜；3.正交變換的特點是在變換域中圖像能量將集中分布在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成分上，有利于圖像處理因此正交變換廣泛應用在圖像增強、圖像恢復、特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分析等方面第3頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四4.2傅里葉變換(一種正交變換)從純粹的數(shù)學意義上看，傅立葉變換是將一個函數(shù)轉換為一系列周期函數(shù)來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域為什么要在頻率域研究圖像?可以利用頻率成分和圖像外表之間的對應關系。一些在空間域表述困難的增強任務，在頻率域中變得非常普通濾波在頻率域更為直觀，它可以解釋空間域濾波的某些性質給出一個問題，尋找某個濾波器解決該問題，頻率域處理對于試驗、迅速而全面地控制濾波器參數(shù)是一個理想工具一旦找到一個特殊應用的濾波器，通常在空間域用硬件實現(xiàn)第4頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四圖像的頻率指什么？圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對應的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應的頻率值較高。

傅里葉變換及其反變換傅里葉變換的性質快速傅里葉變換（FFT）第5頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換 一維連續(xù)傅里葉變換及反變換

單變量連續(xù)函數(shù)f(x)的傅里葉變換F(u)定義為 其中，j

F(u)1f(x)ej

2uxdx給定F(u),通過傅里葉反變換可以得到f(x)f(x)F(u)ej2uxdu第6頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換 二維連續(xù)傅里葉變換及反變換

二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換F(u,v)定義為F(u,v)

f(x,y)ej2uxvydxdy

給定F(u,v),通過傅里葉反變換可以得到f(x,y)f(x,y)

F(u,v)ej2uxvydudv第7頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換 一維離散傅里葉變換(DFT)及反變換

單變量離散函數(shù)f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅里葉變換F(u)定義為

u=0,1,2,…,M-1給定F(u),通過傅里葉反變換可以得到f(x)

x=0,1,2,…,M-1第8頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四j傅里葉變換 一維離散傅里葉變換及反變換

從歐拉公式ecosjsinF(u)

1MM1

x0fxej(2ux)/M

1M

1

MM1fxcos(2ux)/Mjsin(2ux)/M

x0

M1

fxcos2ux/Mjsin2ux/M

x0第9頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換傅里葉變換的極坐標表示FuFue

ju幅度或頻率譜為R(u)和I(u)分別是F(u)的實部和虛部相角或相位譜為功率譜為第10頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換

二維離散傅里葉變換及反變換

圖像尺寸為M×N的函數(shù)f(x,y)的DFT為F(u,v)

1MNM1N1

x0y0fx,yej2ux/Mvy/Nu=0,1,2,…,M-1,v=0,1,2,…,N-1給出F(u,v),可通過反DFT得到f(x,y),f(x,y)M1N1Fu,ve

u0v0j2ux/Mvy/Nx=0,1,2,…,M-1,y=0,1,2,…,N-1注：u和v是頻率變量，x和y是空間或圖像變量第11頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四圖像傅立葉變換的物理意義傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實空間）上的采樣得到一系列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應關系。為什么要提梯度？因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應的關系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖第12頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換二維傅里葉變換的極坐標表示幅度或頻率譜為R(u)和I(u)分別是F(u)的實部和虛部相角或相位譜為功率譜為F(u,v)的原點變換

用(-1)x+y乘以f(x,y),將F(u,v)原點變換到頻率坐標下的(M/2，N/2)，它是M×N區(qū)域的中心u=0,1,2,…,M-1,v=0,1,2,…,N-1第13頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換 F(0,0)表示F0,0

1MNM1N1fx,y

x0y0

這說明：假設f(x,y)是一幅圖像，在原點的傅里葉變換等于圖像的平均灰度級直流份量第14頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四變換系數(shù)矩陣F(u,v)的意義1、若變換矩陣F(u,v)原點設在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近；若所用的二維傅立葉變換矩陣F(u,v)的原點設在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數(shù)矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質決定的。同時也表明一般圖像能量集中低頻區(qū)域。

2、變換之后的圖像（頻率譜）在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）P123圖4.3(b)第15頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻譜的頻域移中第16頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻譜移中的好處對頻譜移頻到顯示屏中心以后，可以看出圖像的頻率分布是以中心為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到中心的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾

第17頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻譜圖（頻譜的圖像顯示）的含義f(x,y)D(u,v)第18頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四從譜圖像中可看出什么？實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應的關系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上是圖像上某一點與鄰域點灰度值差異的強弱，即梯度的大小，一般來講，頻譜圖上某點的亮度強則意味著梯度大，亮度弱則意味著梯度小。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗點多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮點數(shù)多，那么實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。第19頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四幅度譜從幅度譜中我們

可以看出明亮線

反映出原始圖像

的灰度級變化，

這正是圖像的輪

廓邊第20頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四幅度譜從幅度譜中我們

可以看出明亮線

和原始圖像中對

應的輪廓線是垂

直的。如果原始

圖像中有圓形區(qū)

域那么幅度譜中

也呈圓形分布第21頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四幅度譜圖像中的顆粒狀對

應的幅度譜呈環(huán)狀，

但即使只有一顆顆

粒，其幅度譜的模

式還是這樣。第22頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四幅度譜這些圖像沒有特定

的結構，左上角到

右下角有一條斜線，

它可能是由帽子和

頭發(fā)之間的邊線產

生的兩個圖像都存在一

些小邊界第23頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換的對稱性 如果f(x,y)是實函數(shù)，它的傅里葉變換是共軛對稱（實部相等,虛部互為相反數(shù)）的，即傅里葉變換的頻率譜是偶對稱的

Fu,vFu,v第24頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換及其反變換傅里葉變換的性質快速傅里葉變換（FFT）第25頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四3.5.傅里葉變換 二維傅里葉變換的性質1.2.4.6.7.8.9.平移性質分配律尺度變換（縮放）旋轉性周期性和共軛對稱性平均值可分性卷積相關性第26頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四1.(1)(2)傅里葉變換傅里葉變換對的平移性質以表示函數(shù)和其傅里葉變換的對應性

fx,yej2u0x/Mv0y/N

Fuu0,vv0fxx0,yy0Fu,vej2ux0/Mvy0/N公式（1）表明將f(x,y)與一個指數(shù)項相乘就相當于把其變換后的頻域中心移動到新的位置公式（2）表明將F(u,v)與一個指數(shù)項相乘就相當于把其變換后的空域中心移動到新的位置公式（2）表明對f(x,y)的平移不影響其傅里葉變換的幅值第27頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四1.xyxy傅里葉變換 傅里葉變換對的平移性質（續(xù)）

當u0=M/2且v0=N/2,ej2u0x/Mv0y/Nej(xy)1帶入（1）和（2），得到fx,y1FuM/2,vN/2uvfxM/2,yN/2Fu,v1第28頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換2.分配律根據(jù)傅里葉變換的定義，可以得到

f1x,yf2x,yf1x,yf2x,y

f1x,yf2x,yf1x,yf2x,y

上述公式表明：傅里葉變換對加法滿足分配律，但對乘法則不滿足第29頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四3.傅里葉變換 尺度變換（縮放）及線性性

給定2個標量a和b，可以證明對傅里葉變換下列2個公式成立

afx,yaFu,vab1fax,byFu/a,v/ba)ImageA;

b)ImageB;c)0.25*A+0.75*Ba)spectrumA;b)spectrumB;c)0.25*A+0.75*B第30頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換4.旋轉性

引入極坐標xrcos,yrsin,ucos,vsin

將f(x,y)和F(u,v)轉換為fr,和F,。將它們帶入傅里葉變換對得到

fr,0F,0

f(x,y)旋轉角度0，F(xiàn)(u,v)也將轉過相同 的角度 F(u,v)旋轉角度0，f(x,y)也將轉過相同 的角度第31頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四旋轉性質原圖像及其傅里葉變換旋轉后圖像及其傅里葉變換第32頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四5.傅里葉變換周期性和共軛對稱性

Fu,vFuM,vFu,vNFuM,vNfx,yfxM,yfx,yNfxM,yN上述公式表明盡管F(u,v)對無窮多個u和v的值重復出現(xiàn)，但只需根據(jù)在任一個周期里的N個值就可以從F(u,v)得到f(x,y)只需一個周期里的變換就可將F(u,v)在頻域里完全確定同樣的結論對f(x,y)在空域也成立第33頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四5.傅里葉變換周期性和共軛對稱性如果f(x,y)是實函數(shù)，則它的傅里葉變換具有共軛對稱性Fu,vFu,v

Fu,vFu,v其中，F(xiàn)*(u,v)為F(u,v)的復共軛。復習：當兩個復數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).第34頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四

周期性和共軛對稱性舉例

對于一維變換F(u)，周期性是指F(u)的周期長度為M，對稱性是指頻譜關于原點對稱

半周期的傅里葉頻譜一幅二維圖像的傅里葉頻譜全周期的傅里葉頻譜 中心化的傅里葉頻譜第35頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四6.傅里葉變換分離性

當x=0,1,…,M-1，沿著f(x,y)的所有行計算傅里葉變換。沿著f(x,y)的一行所進行的傅里葉變換。第36頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四6.傅里葉變換分離性——二維傅里葉變換的全過程先通過沿輸入圖像的每一行計算一維變換再沿中間結果的每一列計算一維變換可以改變上述順序，即先列后行上述相似的過程也可以計算二維傅里葉反變換第37頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換7.平均值

由二維傅里葉變換的定義Fu,v

1MNM1N1

x0y0fx,yej2ux/Mvy/N所以F0,0

1MNM1N1fx,y

x0y0而fx,y

1MNM1N1fx,y

x0y0 所以

fx,yF0,0

上式說明：如果f(x,y)是一幅圖像，在原點的傅里葉變換即等于圖像的平均灰度級第38頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四1M1N1MN傅里葉變換8.

卷積理論大小為M×N的兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的離散卷積fx,yhx,yfm,nhxm,ynm0n0卷積定理

fx,yhx,yFu,vHu,v

fx,yhx,yFu,vHu,v第39頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四1M1N1*MN*傅里葉變換9.

相關性理論大小為M×N的兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的相關性定義為

fx,y。hx,yfm,nhxm,ynm0n0f*表示f的復共軛。對于實函數(shù)，f*＝f相關定理

fx,y。hx,yF*u,vHu,vfx,yhx,yFu,v。Hu,v第40頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換自相關理論注：復數(shù)和它的復共軛的乘積是復數(shù)模的平方第41頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換卷積和相關性理論總結

卷積是空間域過濾和頻率域過濾之間的紐帶相關的重要應用在于匹配：確定是否有感興趣的物體區(qū)域f(x,y)是原始圖像h(x,y)作為感興趣的物體或區(qū)域（模板）如果匹配，兩個函數(shù)的相關值會在h找到f中相應點的位置上達到最大第42頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四相關性匹配舉例延拓圖像f(x,y) 相關函數(shù)圖像圖像f(x,y)模板h(x,y)延拓圖像h(x,y) 通過相關圖像最大 值的水平灰度剖面圖第43頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換及其反變換傅里葉變換的性質快速傅里葉變換(FFT)

只考慮一維的情況，根據(jù)傅里葉變換的分離性可知，二維傅里葉變換可由連續(xù)2次一維傅里葉變換得到第44頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四1M1Mx0快速傅里葉變換(FFT) 為什么需要快速傅里葉變換？Fufxej2ux/Mu0,1,2,...,M1對u的M個值中的每一個都需進行M次復數(shù)乘法(將f(x)與ej2ux/M相乘)和M-1次加法，即復數(shù)乘法和加法的次數(shù)都正比于M2

快速傅里葉變換(FFT)則只需要Mlog2M次運算FFT算法與原始變換算法的計算量之比是log2M/M，如M=1024≈103,則原始變換算法需要106次計算，而FFT需要104次計算，F(xiàn)FT與原始變換算法之比是1：100第45頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四FuFevenuFodduW2uk12快速傅里葉變換(FFT) FFT算法基本思想

FFT算法基于一個叫做逐次加倍的方法。通 過推導將原始傅里葉轉換成兩個遞推公式Fu

1MM1

x0fxej2ux/Mu0,1,2,...,M112FuKFevenuFodduW2uk第46頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四FuFevenuFodduW2ukFuKFevenuFodduW2uk快速傅里葉變換(FFT)

FFT算法基本思想12u0,1,2,...,M1

1 2其中：M=2K Feven(u)、Fodd(u)是K個點的傅里葉值第47頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四1M1Mx0ux快速傅里葉變換(FFT)

FFT公式推導 FFT算法基于一個叫做逐次加倍的方法。為 方便起見用下式表達離散傅立葉變換公式

Fufxej2ux/M

1MM1

x0fxWM這里WMej2/M是一個常數(shù)第48頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四K11K11K1u2x1u2x2Kx0Kx0快速傅里葉變換(FFT)假設M的形式是

M2nn為正整數(shù)。因此，M可以表示為

M2K將M=2K帶入上式Fu

12K2K1

x0fxW2uxf2xW2Kf2x1W2K第49頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四uxux11K11K1uxuux2Kx0Kx0快速傅里葉變換(FFT)推導：因為WMej2/M所以W22Kej2(2ux)/2Kej2(ux)/KWK帶入上式有Fuf2xWKf2x1WKW2K第50頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四1K1uxKx01K1uxKx0

快速傅里葉變換(FFT)定義兩個符號Fevenuf2xWKFodduf2x1WKu0,1,2,...,K1第51頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四FuFevenuFodduW2K快速傅里葉變換(FFT)得到FFT的第一個公式1u2該公式說明F(u)可以通過奇部和偶部之和來計算第52頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四u2uuuW1快速傅里葉變換(FFT)推導：WKKej2(uK)/K

ej2u/Kej2WKej2WK1WK

uK2Kej2uK/2Kej2u/2KejW2uKej1W2uK1W2uK第53頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四uK111K1uK2x1uK2x12Kx0Kx02KuKxu11K11K1uxux2Kx0Kx0FevenuFodduW2uK快速傅里葉變換(FFT)FuK

12K12Kx0fxW2KKxf2xW2Kf2x1W2K

11K1

x0f2xWK

1KK1x0f2x1WKuKxW2KKf2xWKf2x1WKW2uK

1 2第54頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四FuKFevenuFodduW2uK快速傅里葉變換(FFT)得到FFT的第二個公式12該公式說明F(u＋K)可以通過奇部和偶部之差來計算第55頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四FuFevenuFodduW2KFuKFevenuFodduW2uK快速傅里葉變換(FFT)最后得到FFT的二個公式1u212第56頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四快速傅里葉變換(FFT)分析這些表達式得到如下一些有趣的特性：

一個M個點的變換，能夠通過將原始表達式分成兩個部分來計算通過計算兩個（M/2）個點的變換。得Feven(u)和Fodd(u)奇部與偶部之和得到F(u)的前(M/2)個值奇部與偶部之差得到F(u)的后(M/2)個值。且不需要額外的變換計算第57頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四快速傅里葉變換(FFT)歸納快速傅立葉變換的思想：（1）通過計算兩個單點的DFT，來計算兩個點的DFT，（2）通過計算兩個雙點的DFT，來計算四個點的DFT，…，以此類推（3）對于任何N=2m的DFT的計算，通過計算兩個N/2點的DFT，來計算N個點的DFT第58頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四快速傅里葉變換(FFT)FFT算法基本思想FFT算法舉例：設：有函數(shù)f(x)，其N=23=8,有：{f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6),f(7)}計算：{F(0),F(1),F(2),F(3),F(4),F(5),F(6),F(7)}第59頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四快速傅里葉變換(FFT)FFT算法舉例首先分成奇偶兩組：有：{f(0),f(2),f(4),f(6)}{f(1),f(3),f(5),f(7)}為了利用遞推特性，再分成兩組：有：{f(0),f(4)}，{f(2),f(6)}{f(1),f(5)}，{f(3),f(7)}第60頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四快速傅里葉變換(FFT)FFT算法實現(xiàn)對輸入數(shù)據(jù)的排序可根據(jù)一個簡單的位對換規(guī)則進行如用x表示f(x)的1個自變量值，那么它排序后對應的值可通過把x表示成二進制數(shù)并對換各位得到例如N=23,f(6)排序后為f(3),因為6＝1102而0112＝3

把輸入數(shù)據(jù)進行了重新排序，則輸出結果是正確的次序。反之不把輸入數(shù)據(jù)進行排序，則輸出結果需要重新排序才能得到正確的次序第61頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四快速傅里葉變換(FFT) FFT算法實現(xiàn) 地址的排序：——按位倒序規(guī)則 例如：N=23=8原地址 000 001 010 011 100 101 110 111原順序 f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) f(6) f(7)新地址 000 100 010 110 001 101 011 111新順序 f(0) f(4) f(2) f(6) f(1) f(5) f(3) f(7)第62頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四快速傅里葉變換(FFT)

FFT算法實現(xiàn)——幾個關鍵點2）計算順序及地址增量：2nn=0,1,2…地址+1 f(0) f(4) f(2) f(6) f(1) f(5) f(3) f(7)地址+2 F2(0) F2(4) F2(2) F2(6) F4(1) F2(5) F2(3) F2(7)地址+4 F4(0) F4(4) F4(2) F4(6) F4(1) F4(5) F4(3) F4(7)第63頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域圖像增強F0,0

1MNM1N1_fx,yfx,y

x0y0變化最慢的頻率成分(u=v=0)對應一幅圖像的平均灰度級傅里葉變換的頻率分量和圖像空間特征之間的聯(lián)系第64頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域濾波傅里葉變換的頻率分量和圖像空間特征之間的聯(lián)系（續(xù)）當從變換的原點移開時，低頻對應著圖像的慢變化分量，如圖像的平滑部分

進一步離開原點時，較高的頻率對應圖像中變化越來越快的灰度級，如邊緣或噪聲等尖銳部分第65頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域濾波頻率域濾波的基本步驟

思想：通過濾波器函數(shù)以某種方式來修改圖像變換，然后通過取結果的反變換來獲得處理后的輸出圖像第66頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四1.xy2.3.4.5.頻率域濾波 頻率域的濾波步驟

用(-1)x+y乘以輸入圖像進行中心變換fx,y1FuM/2,vN/2變換到頻域頻域濾波:變換到空間域取實部:取消輸入圖像的乘數(shù)Matlabfunction:Fc=fftshift(fft2(f))第67頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域濾波頻率域濾波

Gu,vHu,vFu,vH和F的相乘在逐元素的基礎上定義，即H的第一個元素乘以F的第一個元素，H的第二個元素乘以F的第二個元素一般，F(xiàn)的元素為復數(shù)，H的元素為實數(shù)H為零相移濾波器，因為濾波器不改變變換的相位.P125第68頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域濾波一些基本的濾波器：如何作用于圖像？陷波濾波器低通（平滑）濾波器高通（銳化）濾波器第69頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四0頻率域濾波陷波濾波器(u,v)=(M/2,N/2)Hu,v1其它設置F(0,0)=0(結果圖像的平均值為零)，而保留其它傅里葉變換的頻率成分不變除了原點處有凹陷外，其它均是常量函數(shù)由于圖像平均值為0而產生整體平均灰度級的降低用于識別由特定的、局部化頻域成分引起的空間圖像效果第70頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四陷波濾波器舉例陷波濾波器由于圖像平均值為0而產生整體平均灰度級的降低第71頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域濾波低通濾波器：使低頻通過而使高頻衰減的濾波器被低通濾波的圖像比原始圖像少尖銳的細節(jié)部分而突出平滑過渡部分對比空間域濾波的平滑處理，如均值濾波器高通濾波器：使高頻通過而使低頻衰減的濾波器被高通濾波的圖像比原始圖像少灰度級的平滑過渡而突出邊緣等細節(jié)部分對比空間域的梯度算子、拉普拉斯算子第72頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四低通濾波器和高通濾波器舉例原圖低通濾波函數(shù) 高通濾波函數(shù)低通濾波結果：模糊 高通濾波結果：銳化第73頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四低通濾波器和高通濾波器舉例原圖高通濾波結果高通濾波改進結果

因為F(0,0)已被設置為0，所以幾乎沒有平滑的灰度級細節(jié)，且圖像較暗 在高通濾波器中加入常量，以使F(0,0)不被完全消除，如圖所示，對濾波器加上一個濾波器高度一半的常數(shù)加以改進（高頻加強）第74頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四1M1N1MNm0n0頻率域濾波

空間域濾波和頻率域濾波之間的對應關系 大小為M×N的兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的離 散卷積表示為f(x,y)*h(x,y)，定義為fx,yhx,yfm,nhxm,yn對比空間域濾波：在M×N的圖像f上，用m×n的濾波器進行線性濾波

ab

gx,yws,tfxs,yt

satb第75頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域濾波卷積定理

fx,yhx,yFu,vHu,v

上式說明空間域卷積可以通過F(u,v)H(u,v) 的乘積進行反傅里葉變換得到

fx,yhx,yFu,vHu,v

說明空間域乘法可以通過頻率域的卷積獲得 上述兩個公式主要為兩個函數(shù)逐元素相乘的 乘法第76頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域濾波定義：在(x0,

y0)，強度為A的沖激函數(shù)表示為Axx0,yy0,定義為M1N1sx,yAxx0,yy0

Asx0

,y0x0y0x

,y

是沖激函數(shù)說明：sx,y只在(x0,

y0)處有為A的圖像值，其它處的值全為0第77頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四1M1N1MNx0y0e頻率域濾波

下式表明在原點處(0,0)的單位沖激情況，用

x,y表示

M1N1

sx,yx,ys0,0

x0y0

根據(jù)上式，原點處(0,0)單位沖激的傅里葉變換x,yx,yej2(ux/Mvy/N

)

10MN

1MN第78頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四MN1頻率域濾波

假設fx,yx,y，根據(jù)上式計算原點處 (0,0)空間域的卷積x,yhx,yM1N1m,nhxm,ynm0n0

1MNhx0,y0

1MNhx,y結論

fx,yhx,yFu,vHu,vx,yhx,yx,yHu,v

hx,yHu,v第79頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域濾波hx,yHu,v上述公式表明，空間域和頻率域中的濾波器組成了傅里葉變換對給出在頻率域的濾波器，可以通過反傅里葉變換得到在空間域對應的濾波器，反之亦然濾波在頻率域中更為直觀，但在空間域一般使用更小的濾波器模板

可以在頻率域指定濾波器，做反變換，然后在空間域使用結果濾波器作為在空間域構建小濾波器模板的指導第80頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域濾波

高斯頻率域低通濾波器函數(shù)

對應空間域高斯低通濾波器為

高斯頻率域高通濾波器函數(shù)AB,1

2對應空間域高斯高通濾波器為第81頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域濾波頻率域高斯低通濾波器空間域高斯低通濾波器頻率域高斯高通濾波器 空間域高斯高通濾波器第82頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域濾波結論（低通濾波器）當H(u)有很寬的輪廓時(大的值)，h(x)有很窄的輪廓，反之亦然。當接近無限時，H(u)趨于常量函數(shù)，而h(x)趨于沖激函數(shù)兩個低通濾波器的相似之處在于兩個域中的值均為正。所以，在空間域使用帶正系數(shù)的模板可以實現(xiàn)低通濾波頻率域低通濾波器越窄，濾除的低頻成分就越多，使得圖像就越模糊；在空間域，這意味著低通濾波器就越寬，模板就越大第83頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域濾波結論（高通濾波器）空間域濾波器有正值和負值，一旦值變?yōu)樨摂?shù)，就再也不會變?yōu)檎龜?shù)為什么頻率域中的內容在空間域要使用小空間模板頻率域可以憑直觀指定濾波器空間域濾波效果取決于空間模板的大小第84頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四4.3頻率域平滑圖像的平滑除了在空間域中進行外，也可以在頻率域中進行。由于噪聲主要集中在高頻部分，為去除噪聲改善圖像質量，濾波器采用低通濾波器H(u,v)來抑制高頻成分，通過低頻成分，然后再進行逆傅立葉變換獲得濾波圖像，就可達到平滑圖像的目的 常用的頻率域平滑濾波器有3種: 理想低通濾波器 巴特沃思低通濾波器 高斯低通濾波器第85頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域圖像增強頻率域平滑濾波器邊緣和噪聲等尖銳變化處于傅里葉變換的高頻部分平滑可以通過衰減高頻成分的范圍來實現(xiàn)理想低通濾波器：尖銳巴特沃思低通濾波器：處于理想和高斯濾波器之間高斯低通濾波器：平滑第86頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四1頻率域圖像增強 理想低通濾波器

截斷傅里葉變換中的所有高頻成分，這些高 頻成分處于指定距離D0之外Hu,v 0Du,vD0Du,vD0

頻率矩形的中心在(u,v)=(M/2,N/2)，從點(u,v)到中心（原點）的距離如下第87頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域圖像增強理想低通濾波器說明：在半徑為D0的圓內，所有頻率沒有衰減地通過濾波器，而在此半徑的圓之外的所有頻率完全被衰減掉第88頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四其中理想低通濾波器

總圖像功率值PT

M1N1

PTPu,v

u0v0

PTu,vF

u,v2

R2u,vI2

u,v

原點在頻率矩形的中心，半徑為r的圓包含%的功率頻率域圖像增強第89頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四理想低通濾波器舉例500×500像素的原圖圖像的傅里葉頻譜圓環(huán)具有半徑5,15,30,80和230個像素圖像功率為92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%第90頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四理想低通濾波器舉例——具有振鈴現(xiàn)象

結論：半徑D0越小，模糊越大；半徑D0越大，模糊越小

半徑是5的理想低通濾波

原圖半徑是15的理想低通濾波濾除8%的總功率，模糊說明多數(shù)尖銳細節(jié)在這8%的功率之內

半徑是30的理想低通濾波 濾除3.6%的總功率濾除5.4%的總功率

半徑是230的理想低通濾波半徑是80的理想低通濾波濾除2%的總功率濾除0.5%的總功率，與原圖接近說明邊緣信息在0.5%以上的功率中第91頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四

頻率域圖像增強頻率域函數(shù)H(u，v)模糊且半徑為5的ILPF 對應空間域h(x,y)f(x,y)由黑色背景中心開始的圓環(huán)周期下5個明亮的像素組成，明亮點可看作沖激 f(x,y)*h(x,y),在每 個沖激處復制h(x,y) 的過程，振鈴現(xiàn)象第92頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四2n頻率域圖像增強 巴特沃思低通濾波器

n級巴特沃思低通濾波器(BLPF)定義如下Hu,v

11Du,v/D0

D0為截至頻率距原點的距離，D(u,v)是點(u,v)距原點的距離 當D(u,v)=D0時，H(u,v)=0.5(最大值是1，當D(u,v)=0)它的特性是連續(xù)性衰減，而不象理想濾波器那樣陡峭變化，即明顯的不連續(xù)性。因此采用該濾波器濾波在抑制噪聲的同時，圖像邊緣的模糊程度大大減小，沒有振鈴效應產生第93頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四巴特沃思低通濾波器透視圖濾波器階數(shù)從1到4的濾波器橫截面應用：可用于平滑處理，如圖像由于量化不足產生虛假輪廓時，?？捎玫屯V波進行平滑以改進圖像質量。通常，BLPF的平滑效果好于ILPF（振鈴現(xiàn)象）。第94頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四巴特沃思低通濾波器n2

原圖半徑是15的BLPF濾波半徑是80的BLPF濾波半徑是5的BLPF濾波半徑是30的BLPF濾波半徑是230的BLPF濾波第95頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四

ILPF巴特沃思低通濾波器

所有的濾波器都有半徑為5的截至頻率D0階數(shù)n=1階數(shù)n=2階數(shù)n=5階數(shù)n=20無振鈴和負值輕微振鈴和負值明顯振鈴和負值與ILPF相似注：二階BLPF處于有效低通濾波和可接受的振鈴特征之間第96頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四D2u,v

/22D2u,v

/2D02頻率域圖像增強高斯低通濾波器二維高斯低通濾波器(GLPF)定義如下Hu,veD(u,v)是點(u,v)距原點的距離，使D0Hu,ve當D(u,v)=D0時，濾波器下降到它最大值的0.607處第97頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四高斯低通濾波器透視圖濾波器各種D0值的濾波器橫截面采用該濾波器濾波在抑制噪聲的同時，圖像邊緣的模糊程度較用Butterworth濾波產生的大些，無明顯的振鈴效應第98頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四高斯低通濾波器

原圖半徑是15的GLPF濾波半徑是80的GLPF濾波半徑是5的GLPF濾波半徑是30的GLPF濾波 半徑是230的GLPF濾波第99頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域圖像增強結論 GLPF不能達到有相同截止頻率的二階 BLPF的平滑效果 GLPF沒有振鈴 如果需要嚴格控制低頻和高頻之間截 至頻率的過渡，選用BLPF，代價是可能 產生振鈴第100頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域圖像增強低通濾波器的應用實例：模糊,平滑等字符識別：通過模糊圖像，橋接斷裂字符的裂縫

印刷和出版業(yè)：從一幅尖銳的原始圖像產生平滑、柔和的外觀，如人臉，減少皮膚細紋的銳化程度和小斑點

處理衛(wèi)星和航空圖像：盡可能模糊細節(jié)，而保留大的可識別特征。低通濾波通過消除不重要的特征來簡化感興趣特征的分析第101頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四字符識別舉例如打印、傳真、復印文本等，字符失真、字符斷裂等D0=80的高斯低通濾波器修復字符用于機器識別系統(tǒng)識別斷裂字符的預處理第102頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四人臉圖像處理原圖像D0=100的GLPF濾波,細紋減少D0=80的GLPF濾波，細紋減少第103頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四人臉圖像處理原圖像D0=30的GLPF濾波D0=10的GLPF濾波，目的：盡可能模糊細節(jié)，而保留大的可識別特征第104頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四4.4頻率域銳化圖像的邊緣、細節(jié)主要位于高頻部分，而圖像的模糊是由于高頻成分比較弱產生的。頻率域銳化就是為了消除模糊，突出邊緣。因此采用高通濾波器讓高頻成分通過，使低頻成分削弱，再經逆傅立葉變換得到邊緣銳化的圖像第105頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域圖像增強頻率域銳化濾波器理想高通濾波器巴特沃思高通濾波器高斯高通濾波器頻率域的拉普拉斯算子鈍化模板、高頻提升濾波和高頻加強濾波第106頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域銳化濾波器透視圖圖像表示橫截面

理想高通濾波器 巴特沃思高通濾波器 高斯高通濾波器巴特沃思濾波器為理想濾波器的尖銳化和高斯濾波器的完全光滑之間的一種過渡第107頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四頻率域銳化濾波器理想高通濾波器巴特沃思高通濾波器高斯高通濾波器第108頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四Hu,v頻率域圖像增強 理想高通濾波器

截斷傅里葉變換中的所有低頻成分，這些低 頻成分處于指定距離D0之內

0Du,vD0

1Du,vD0

頻率矩形的中心在(u,v)=(M/2,N/2)，從點 (u,v)到中心（原點）的距離如下第109頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四理想高通濾波器圖a：D0=15圖b：D0=30圖c：D0=80結論：圖a和b的振鈴問題十分明顯第110頁，共126頁，2023年，2月20日，星期四2n11Du,v/D0頻率域圖像增強 巴特沃思高通濾波器

n階且截至頻率距原點的距離為D0的巴特沃 思高通濾波器(BHPF)定義為推導Hu,v