簡單的二階微分方程

簡單的二階微分方程第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三一、可降階的二階微分方程解第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三方程的特點(diǎn)：方程右端不顯含未知函數(shù)y.方程的解法：,則將它們代入方程得令第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三解代入原方程得原方程通解為[例3]第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三[例4]設(shè)有一均勻、柔軟的繩索，兩端固定，繩索僅受重力的作用而下垂，試問該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線．分析

第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三解

將此兩式相除，得取原點(diǎn)O到點(diǎn)A的距離為定值于是有建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)曲線方程為由題意得

第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三，兩端積分，得將初始條件代入①式，解得代入①式，得再將將代入上式，并積分得將初始條件代入②式，解得將代入②式，解得曲線方程為第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三小結(jié)1.可降階的高階微分方程2.不顯含y的二階微分方程3.不顯含x的二階微分方程第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三思考題求微分方程的通解.第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三思考題解答第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三思考題解答第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí)題第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三解受力分析二、二階線性微分方程第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三物體自由振動的微分方程強(qiáng)迫振動的方程對于象這樣的微分方程，我們給出如下定義:第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三程稱為二階線性微分方程.稱為二階線性齊次微分方程.稱為二階線性非齊次微分方程.1．二階線性微分方程的定義形如這樣的微分方程/第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三2．二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)問題:第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例如線性無關(guān);線性相關(guān).第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三特別地:例如第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三3．二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三三、二階常系數(shù)線性微分方程形如這樣的微分方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程．形如這樣的微分方程稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．例如是二階常系數(shù)齊次線性微分方程；是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．／第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三1．二階常系數(shù)齊次線性微分方程解法將其代入上方程,得∴特征方程特征根第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三（1）有兩個不相等的實(shí)根兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三（2）有兩個相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三（3）有一對共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三的特征方程是的通解第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三解的特征方程為解得故所求微分方程的通解為[例1]第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

[例2]求微分方程的特解.解的特征方程為解得所求微分方程的通解為將分別代入上兩式，解得所求微分方程的特解為第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三解特征方程為解得故所求通解為[例3]第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三小結(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí)題

第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)的齊次方程通解結(jié)構(gòu)兩種類型難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.2．二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)非齊方程特解為代入原方程第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三綜上討論設(shè)是非齊次方程的解，第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三解對應(yīng)齊次方程的通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為[例1]第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第37頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三解對應(yīng)齊次方程的特征方程[例2]對應(yīng)齊次方程的通解特征根原方程通解為第38頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三解特征方程[例3]對應(yīng)齊次方程的通解特征根原方程通解為第39頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三小結(jié)(待定系數(shù)法)第40頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三思考題寫出微分方程的待定特解的形式.設(shè)的特解為設(shè)的特解為則所求特解為特征根思考題解答第41頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí)題第42頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三通過本課題學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該達(dá)到：1．會求可降階的二階微分方程、二