演示文稿應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)置信區(qū)間估計(jì)

演示文稿應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)置信區(qū)間估計(jì)1目前一頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)（優(yōu)選）應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)置信區(qū)間估計(jì)目前二頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)33

由于點(diǎn)估計(jì)存在誤差，因此僅對(duì)總體參數(shù)作出點(diǎn)估計(jì)是不夠的，還需要了解估計(jì)的精度及其誤差。參數(shù)的區(qū)間估計(jì)就是在給定的可信度下，估計(jì)未知參數(shù)的可能取值范圍。設(shè)

為總體分布的未知參數(shù)，若由樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和對(duì)給定的概率

(0<<1)，滿足則稱隨機(jī)區(qū)間為的置信度為1-的置信區(qū)間。

區(qū)間估計(jì)目前三頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)4一.總體方差

2的區(qū)間估計(jì)1.2

分布設(shè)總體

X～N(0,1)，

X1,X2,···,Xn

為

X

的一個(gè)樣本，則它們的平方和為服從自由度為n

的

2分布，記為

2～

2(n)

§6.1單個(gè)正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計(jì)目前四頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)5若對(duì)于隨機(jī)變量X1,X2,···,Xn，存在一組不全為零的常數(shù)c1,c2,···,cn，使c1X1+c2X2+···+cnXn=0則稱變量X1,X2,···,Xn

線性相關(guān)，或稱它們間存在一個(gè)線性約束條件；若X1,X2,···,Xn間存在k個(gè)獨(dú)立的線性約束條件，則它們中僅有

n-k個(gè)獨(dú)立的變量，并稱平方和的自由度為n-k?！白杂啥取钡暮x目前五頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)62

分布密度函數(shù)的圖形xf(x)on=1n=4n=10

目前六頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)7由給定的概率和自由度，可查表得到

2分布的右側(cè)

分位點(diǎn)為

2分布中滿足下式的的右側(cè)分位點(diǎn)：f(x)xo

目前七頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)8語法規(guī)則如下：格式：CHIINV(,n)功能：返回可用Excel的統(tǒng)計(jì)函數(shù)CHIINV返回用Excel求的值。目前八頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)92.總體方差

2的區(qū)間估計(jì)

設(shè)總體X~N(μ,σ2)，/2/21-f(x)x0

從而2的置信度為1-的置信區(qū)間為：由～和S2分別為樣本均值和樣本方差?？傻肵1,X2,···,Xn為X的容量為n的樣本，可以證明，

目前九頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)10【例2】求例1中元件壽命方差

2的

95%

置信區(qū)間。解：由例1，S2=196.52，n=10，/2=0.025，1-/2=0.975,

故所求

2的置信區(qū)間為

(135.22，358.82)

(n-1)S2/

(n-1)S2/

=9196.52/19.023=9196.52/2.7=135.22=358.82目前十頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)11課堂練習(xí)1

某車床加工的缸套外徑尺寸X~N(μ,σ

2)，現(xiàn)隨機(jī)測(cè)得的10個(gè)加工后的某種缸套外徑尺寸(mm)如下：

90.01，90.01，90.02，90.03，89.9989.98，89.97，90.00，90.01，89.99()

求σ

2的置信度為95%的置信區(qū)間。目前十一頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)121.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的右側(cè)分位點(diǎn)ZZ是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中滿足下式的右側(cè)分位點(diǎn)：

P{Z>Z}=0f(x)x

z1-二.總體均值μ的區(qū)間估計(jì)如圖所示，(Z)=1-，因此，可由正態(tài)分布表得到Z

。如：要查Z0.025，由正態(tài)分布表可查得：(1.96)=0.975=1-0.025，故Z0.025=1.96

目前十二頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)13由正態(tài)分布的性質(zhì)可得對(duì)給定的置信度1-，0f(x)xz/2/2-z/2/21-～N(0,1)由此可得從而的置信度為1-的置信區(qū)間為為便于記憶和理解，將

的置信區(qū)間表示為如下形式：

2.σ

2已知時(shí)總體均值μ的區(qū)間估計(jì)有其中d

稱為估計(jì)的允許誤差。目前十三頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)14可用Excel的統(tǒng)計(jì)函數(shù)NORMSINV返回Z。語法規(guī)則如下：格式：NORMSINV(1-)功能：返回Z的值。說明：NORMSINV()返回的是Z1-

的值。用Excel求Zα目前十四頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)153.t分布設(shè)

X～N(0,1)，Y～

2(n)，且X與Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量服從自由度為n的t分布，記為t～t(n)。

目前十五頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)16t

分布密度函數(shù)的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布是t分布的極限分布。當(dāng)n很大時(shí)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

xf(x)0n=1n=4n=10n=∞，N(0,1)目前十六頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)170xf(x)t分布的右側(cè)

分位點(diǎn)

t(n)

t(n)為t分布中滿足下式的右側(cè)

分位點(diǎn)：

P{

t>t

(n)}=

由給定的概率，可查表得到t(n)。由t

分布的對(duì)稱性，可得：t1-(n)=-t(n)。t(n)t1-(n)=-

t(n)

目前十七頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)18可用Excel的統(tǒng)計(jì)函數(shù)TINV返回t

(n)。語法規(guī)則如下：格式：TINV(2,n)功能:返回t

(n)的值。說明：TINV(,n)返回的是t/2(n)的值。用Excel求t/2(n)目前十八頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)194.

2未知時(shí)總體均值

μ的區(qū)間估計(jì)～t(n-1)設(shè)總體X~N(μ,σ

2)，和S2分別為樣本均值和樣本方差。由此可得

的置信度為1-的置信區(qū)間為因此，對(duì)給定的置信度1-，有即X1,X2,···,Xn為X的容量為n的樣本，可以證明：目前十九頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)20用樣本比例代替總體比例，設(shè)總體比例為P，則當(dāng)nP和n

(1-P)都大于5時(shí)，樣本成數(shù)p

近似服從均值為P，方差為P

(1-P)/n的正態(tài)分布。從而對(duì)給定的置信度1-，由

可得總體成數(shù)P的置信度為1-的置信區(qū)間為§6.2總體比例的區(qū)間估計(jì)目前二十頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)21【例3】求例1中元件平均壽命

的95%置信區(qū)間。

故所求

的95%置信區(qū)間為解：由例1，/2=0.025，=1423.1，S=196.5，=1-0.95=0.05，n=10，查表得t0.025(9)=2.2622

可用Excel的【工具】→“數(shù)據(jù)分析”→“描述統(tǒng)計(jì)”求解正態(tài)總體均值

的置信區(qū)間。目前二十一頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)22課堂練習(xí)2：

某車床加工的缸套外徑尺寸X~N(μ,σ

2)，下面是隨機(jī)測(cè)得的10個(gè)加工后的缸套外徑尺寸(mm)，

90.01，90.01，90.02，90.03，89.9989.98，89.97，90.00，90.01，89.99

（，）求μ的置信度為95%的置信區(qū)間；目前二十二頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)23【例4】某廠為了解產(chǎn)品的質(zhì)量情況，隨機(jī)抽取了300件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，其中有5件次品，求該廠產(chǎn)品次品率的置信度為95%的置信區(qū)間。解：產(chǎn)品次品率為比例，=1-0.95=0.05，

/2=0.025，n=300,，查表得Z0.025=1.96，樣本成數(shù)

該廠產(chǎn)品次品率的置信度為95%的置信區(qū)間為

目前二十三頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)24案例思考題國(guó)外民意調(diào)查機(jī)構(gòu)在進(jìn)行民意調(diào)查時(shí)，通常要求在95%的置信度下將調(diào)查的允許誤差(即置信區(qū)間的d值)控制在3%以內(nèi)。⑴問為滿足該調(diào)查精度要求，至少需要多大的樣本？⑵如果要求置信度達(dá)到99%，調(diào)查誤差仍為3%，此時(shí)至少需要多大的樣本？

目前二十四頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)25案例思考題解答(1)本案例中，故需要的樣本容量至少為

目前二十五頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)26案例思考題解答(2)如果要求置信度達(dá)到99%，則Z/2=Z0.005=2.575，

目前二十六頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)27§6.3樣本容量確定前面的分析都是在給定的樣本容量和樣本數(shù)據(jù)下求置信區(qū)間。但在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)當(dāng)在隨機(jī)抽樣前就確定所需抽取的樣本容量。抽取的樣本容量過大，雖然可以提高統(tǒng)計(jì)推斷的精度，但將增加不必要的人力、物力、費(fèi)用和時(shí)間開支；如果抽取的樣本容量過小，則又會(huì)使統(tǒng)計(jì)推斷的誤差過大，推斷結(jié)果就達(dá)不到必要的精度要求。確定樣本容量的原則——在滿足所需的置信度和允許誤差條件(置信區(qū)間的d

值)下，確定所需的最低樣本容量。

目前二十七頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)281.總體均值區(qū)間估計(jì)時(shí)樣本容量的確定在給定置信度和允許誤差d

的條件下，由可得

其中總體標(biāo)準(zhǔn)差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差也是未知的，通常可以先通過小規(guī)模抽樣作出估計(jì)。由于使用的是近似公式，可知實(shí)際采用的最低樣本容量應(yīng)比計(jì)算結(jié)果稍大。

目前二十八頁\總數(shù)三十二頁\編于十六點(diǎn)29【例6】在例3元件平均壽命的區(qū)間估計(jì)問題中，要求⑴在95%的置信度下，使估計(jì)的允許誤差不超過其平均壽命的10%，并設(shè)已得到例1的先期抽樣數(shù)據(jù)。求所需的最低樣本容量。⑵其他條件不變，在99%的置信度下求所需最低樣本容量。解：⑴由例1，S=196.5，d=1423/10=142.3

可知取n=10已能滿足所給精度要求。⑵

可知此時(shí)取n=20就能滿足所給精度要求。

在總體均值的區(qū)間估計(jì)中，通常n=30就稱為大樣本。在大樣本時(shí)，無論總體服從什么分布，都可用前述公式進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。

目前二十九頁\總數(shù)三十二頁\