2012數(shù)值分析試卷答案

昆明理工大學(xué)2012級(jí)碩士研究生試卷科目：數(shù)值分析考試時(shí)間：出題教師：集體考生姓名：專業(yè)：學(xué)號(hào)：題號(hào)一二三四五六總分分?jǐn)?shù)考試要求：考試時(shí)間150分鐘；填空題答案依順序依次寫(xiě)在答題紙上，填在試卷卷面上的不予計(jì)分；可帶計(jì)算器。填空題（每空2分，共40分）1．設(shè)是真值的近似值，則有

位有效數(shù)字，的相對(duì)誤差限為。2．設(shè)，則，。3.過(guò)點(diǎn)和的二次拉格朗日插值函數(shù)為=，并計(jì)算。4．設(shè)在上的最佳二次逼近多項(xiàng)式為，最佳二次平方逼近多項(xiàng)式為。5．高斯求積公式的系數(shù)，，節(jié)點(diǎn)，。6．方程組，建立迭代公式，寫(xiě)出雅可比迭代法和高斯-賽德?tīng)柕ǖ牡仃?，，?．，其條件數(shù)。8．設(shè)，計(jì)算矩陣A的范數(shù)，=，=。9．求方程根的牛頓迭代格式是

。10．對(duì)矩陣作LU分解，其L=________________，U=__________________。二、計(jì)算題（每題10分，共50分）1.求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式P(x),使它滿足:并寫(xiě)出其余項(xiàng)表達(dá)式（要求有推導(dǎo)過(guò)程）。2.若用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分，問(wèn)區(qū)間[0,1]應(yīng)分成多少等分才能使截?cái)嗾`差不超過(guò)?若改用復(fù)合辛普森公式，要達(dá)到同樣的精度區(qū)間[0,1]應(yīng)該分成多少等份?由下表數(shù)據(jù)，用復(fù)合辛普森公式計(jì)算該積分的近似值。00.250.50.75111.281.642.112.713.線性方程組，其中，，（1）建立雅可比迭代法和高斯-賽德?tīng)柕ǖ姆至啃问?。?）問(wèn)雅可比迭代法和高斯-賽德?tīng)柕ǘ际諗繂?/p>

?4.已知如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算最小二乘法的誤差。1234544.5688.55.用改進(jìn)的歐拉公式(預(yù)估-校正方法)，解初值問(wèn)題，取步長(zhǎng)計(jì)算到（保留到小數(shù)點(diǎn)后四位）。三、證明題（共10分）1．如果A是對(duì)稱正定矩陣，則A可唯一地寫(xiě)成，其中L是具有正對(duì)角元的下三角陣。，為任意初始值。(2)Jacobi迭代法的迭代矩陣，故Jacobi迭代法不收斂。Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣，故G-S迭代法收斂。4.已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如下表，用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算均方誤差。1234544.5688.5解：令故由法方程得線性方程組解得于是所求擬合曲線為2-范數(shù)的誤差5.用改進(jìn)的歐拉公式（預(yù)估-校正方法）解初值問(wèn)題，為步長(zhǎng)，（1）取步長(zhǎng)計(jì)算到（保留到小數(shù)點(diǎn)后四位）。解：（1）由改進(jìn)的歐拉公式因?yàn)椋?，=0.00050.0015=0.0030三、證明題（共10分）1、證明：如果A是對(duì)稱正定矩陣，則A可唯一地寫(xiě)成，其中L是具有正對(duì)角元的下三角陣。法一：因?yàn)锳對(duì)稱正定，A的所有順序主子式不為零。A有唯一的Dooli