中考數(shù)學(xué)高頻考點突破-+-圓的綜合

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁中考數(shù)學(xué)高頻考點突破——圓的綜合1．如圖，內(nèi)接于，為優(yōu)弧上的點，弦與相交于點，且，延長到點，使得．(1)求證：是的切線；(2)若是的中點，，求的長．2．如圖，為的內(nèi)接三角形，，垂足為D，直徑平分，交于點F，連結(jié)．(1)求證：；(2)若，求的長；3．如圖，中，，點為上一點，以點為圓心，為半徑的與相切于點，交延長線于點．(1)求證：．(2)若，求的長．4．如圖，是⊙O的直徑，弦，P為弧上一點，分別與直線交于M、N，延長至點E，使得．(1)求證：是⊙O的切線；(2)若，求的長．5．如圖，，，點O在上，交延長線于點D，，以點O為圓心，為半徑作圓．(1)求證：是的切線；(2)已知，，求的長.6．如圖，與交于D，E兩點，是直徑且長為12，．(1)證明：；(2)若，求的長度．7．如圖，是的直徑，點C在的延長線上，平分交于點D，且，垂足為點E．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求半徑與線段的長．8．如圖，在中，，點F在BC邊上，過A，B，F(xiàn)三點的⊙O交于點D，作直徑，連接并延長交AC于點G，連接，，此時．(1)求證：；(2)當(dāng)F為的中點且時，求⊙O的直徑長．9．如圖，在中，，分別以，，為直徑作半圓圍成兩月牙形，過點作分別交三個半圓于點，，．(1)連接、，求證四邊形為矩形；(2)若，，求陰影部分的面積．10．如圖所示，，為⊙O的直徑，、分別交⊙O于E、D，連結(jié)、．(1)求證：；(2)若，，求的長．11．如圖，以的一邊為直徑作，與邊的交點恰好為的中點D，過點D作的切線交于點E．(1)求證：；(2)若，求的值．12．如圖，在中，，點D在上，，過A、D兩點的圓的圓心O在上．(1)判斷所在直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若，，求圖中由、、圍成陰影部分面積．13．如圖，A、B是上的兩點，過O作的垂線交于C，交于E，交的切線于D．(1)求證：；(2)當(dāng)時，求及的長．14．如圖，是的外接圓，平分，交于點F，交于點D，平分，交于點E，連接．(1)求證：；(2)若點A是的中點，求證：．15．如圖，點O在的BC邊上，經(jīng)過點A、C，且與BC相交于點D．點E是下半圓弧的中點，連接AE交BC于點F，已知．(1)求證：AB是的切線；(2)若，，求的值．16．如圖，四邊形中，，點是邊上一點，且平分，作的外接圓．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為6，，求的長．17．如圖所示，是的直徑，點為線段上一點（不與，重合），作，交于點，垂足為點，作直徑，過點的切線交的延長線于點，于點，連接試證明：(1)是的角平分線；(2)．18．如圖，是半圓的直徑，、是半圓上的兩點，且，與交于點．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，，與交與點，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到，利用圓周角定理和垂徑定理得到，利用直角三角形的性質(zhì)，同圓的半徑相等，等腰三角形的性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可得出結(jié)論；（2）通過延長交于點，連接、，可判斷出．根據(jù)是的中點，，即可求出答案．【解析】（1）證明：連接，，與交與點，如圖，，，，∽，，，．．，，，．，，，．．為的半徑，是的切線．（2）解：延長交于點，連接，是的直徑，，．，．，．．，∽．．．是的中點，，，．，．【點評】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．2．(1)見解析；(2)3．【分析】（1）由角平分線的定義得，由圓周角定理得，然后利用余角的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立；（2）過點F作于點M．則，通過證明可得，設(shè)，則，利用勾股定理可求解的值，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可求解．【解析】（1）∵平分，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）如圖，過點F作于點M，則，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，設(shè)，則，∴，∵＝，∴，解得，即，∵平分，，∴．【點評】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，推出為的角平分線，得到，根據(jù)余角的性質(zhì)和角的代換可得到結(jié)論；（2）由第（1）問角度相等可知，通過設(shè)半徑為，表示出，根據(jù)相似比例解出的值即可．【解析】（1）證明：連接，∵，是的切線，∴是的切線，，∵，∴是的角平分線，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，（2）解：，∴，，，，即，∴，設(shè)半徑為，則，，，，，，，，．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握角平分線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．(1)見解析(2)【分析】（1）作直徑，連接，證明，通過等量代換求出，即可證明．（2），通過角的關(guān)系求出，再根據(jù)三角形相似三角形的相似比求出，即可解得．【解析】（1）證明：作直徑，連接，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是⊙O的切線；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，

∴．【點評】此題考查了圓的切線判定、三角形相似，解題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造圖形．5．(1)見解析(2)【分析】（1）作，垂足為E，根據(jù)垂直定義可得，再利用等角的余角相等可得，從而可得，然后利用角平分線的性質(zhì)定理得出，即可解答；（2）先在中，利用勾股定理求出，，進而利用勾股定理進行計算即可解答．【解析】（1）證明：作，垂足為E，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∵，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，，∴，∴，在中，，∴，在中，設(shè)半徑為R，∵，∴，∴，∴在中，【點評】本題考查了切線的判定，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，從而證明結(jié)論；（2）設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，代入即可得出方程，從而解決問題．【解析】（1）證明：∵四邊形內(nèi)接于，∵，∴，∵，∴；（2）解：連接，由（1）得，∴，∵是直徑，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴．【點評】本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，運用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析；(2)，【分析】(1)連接，證明即可．(2)連接，根據(jù)，得到計算即可．根據(jù)，列比例式計算即可．【解析】（1）連接，∵平分，，∴，∴，∵，∴，∴直線是的切線．（2）連接，根據(jù)，∴，∴，解得．∵，∴．∴．【點評】本題考查了切線的證明，勾股定理，平行線分線段成比例定理，熟練掌握切線的證明，勾股定理，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．8．(1)見解析(2)2【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)，推出垂直平分，于是得到；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，求得，得到，求得，，于是得到結(jié)論．【解析】（1）證明：如圖，連接，∵是⊙O的直徑，∴，∵，∴，∵，∴是⊙O的直徑，∴垂直平分，∴；（2）解：∵當(dāng)F為的中點，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，，∴⊙O的直徑長為2．【點評】本題考查三角形的外接圓與外心，勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)、圓周角性質(zhì)等，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由直徑所對的圓周角是，再結(jié)合平行線的性質(zhì)，根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形，證明即可得證；（2）對于不規(guī)則陰影部分面積可以看成是以、為直徑的兩個半圓的面積加上一個的面積減去一個以為直徑的半圓的面積，求出相應(yīng)線段長，從而得到各個規(guī)則圖形面積求解即可得到答案．【解析】（1）證明：連接、，如圖所示：是直徑，，是直徑，，，，，四邊形是矩形；（2）解：四邊形是矩形，，是直徑，，，，，，，，，，，直徑為的半圓的面積直徑為的半圓的面積直徑為的半圓的面積．【點評】本題考查矩形的判定及不規(guī)則圖形面積的計算，涉及圓周角定理的推論、平行線性質(zhì)、矩形判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及扇形面積公式等知識，求不規(guī)則陰影部分的面積要間接看作是幾個規(guī)則圖形的面積的和或差是解決問題的關(guān)鍵．10．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，就是等腰三角形底邊上的高，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點，可得出，根據(jù)圓周角定理即可得出弧=弧，便可證得．（2）由于，那么就是三角形中邊上的高，可用面積的不同表示方法得出．進而求出的長．【解析】（1）如圖，連接，則，在等腰三角形中，，∴（等腰三角形三線合一），∴弧=弧，∴；（2）∵，，∴根據(jù)勾股定理得：，∵，∴，∴．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是用等腰三角形三線合一的特點得出圓周角相等．11．(1)見解析(2)2【分析】（1）連接，可以證得，根據(jù)三角形中位線定理證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明；（2）利用，求出與的比值，再根據(jù)正切的定義計算即可．【解析】（1）證明：連接，∵D是的中點，，∴是的中位線，∴，∵是的切線，∴，∴．（2）解：連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，解得：(舍去)，∴．【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于如何利用三角形相似求出與的比值．12．(1)直線與的位置關(guān)系是相切，證明見解析(2)【分析】（1）連接、，證明，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）分別求出扇形和的面積，根據(jù)即可求出答案．【解析】（1）證明：直線與的位置關(guān)系是相切，理由如下：連接、，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵為半徑，

∴是的切線．（2）解：∵是直徑，∴，∵，，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，

∴，由勾股定理得：，∴陰影部分的面積．【點評】本題考查了切線的判定，圓周角定理，含30°的直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．13．(1)見解析(2)【分析】（1）要證明，只要證明即可，根據(jù)題目中的條件可以得到，結(jié)論得以證明；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和勾股定理可以求得及的長．【解析】（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴設(shè)，則，解得，，∴，∵，∴，∴．【點評】本題考查切線的性質(zhì)，解答此類題目的關(guān)鍵是明確題目中所要證明的結(jié)論和所要解答的問題，然后根據(jù)數(shù)形結(jié)合和勾股定理的相關(guān)知識解答．14．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得到，再利用角平分線平分角以及三角形外角的性質(zhì)，得到，即可得證；（2）根據(jù)等弧對等弦，得到，證明，得到，再根據(jù)等角對等邊，得到，即可得到．【解析】（1）證明：如圖∵平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，即；（2）證明：∵點A是的中點，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點評】本題考查圓周角定理，弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，以及全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握同弧所對的圓周角相等，以及等弧對等弦，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．15．(1)見解析(2)【分析】（1）連接、，利用“連半徑，證垂直”只需證出即可；（2）設(shè)的半徑為r，根據(jù)勾股定理求出，在中，繼續(xù)利用勾股定理得出，再由正弦函數(shù)的定義求解即可．【解析】（1）證明：連接、，∵點是下半圓弧的中點，過，∴，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，即，∵為半徑，∴是的切線；（2）解：設(shè)的半徑為r，∵，，∴，由（1）得，由勾股定理得：，∴，解得：或（不符合題意，舍去），∴．在中，，∴∴，∴．【點評】此題考查的是切線的判定和求一個角的銳角三角函數(shù)值，勾股定理解三角形等，掌握“連半徑，證垂直”和利用直角三角形求一個角的銳角三角函數(shù)值是解決此題的關(guān)鍵．16．(1)證明見解析(2)6【分析】(1)連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義得到，根據(jù)切線的判定定理即可證得結(jié)論；(2)過點O作于F，根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)，可得，，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)勾股定理計算，即可得到答案．【解析】（1）證明:如圖：連接，，的外接圓為，是的直徑，，，平分，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖：過點O作于點F，四邊形是矩形，，，，，【點評】本題考查的是切線的判定、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．17．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等證明即可；（2）欲證明，只要證明≌即可．【解析】（1），，是的切線，，，，，，平分．（2）連接．是直徑，，，，，，，，≌，．解法二