數(shù)學(xué)分析2期末考試題庫(kù)

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦數(shù)學(xué)分析2期末考試題庫(kù)數(shù)學(xué)分析2期末試題庫(kù)《數(shù)學(xué)分析II》考試試題（1）

一、講述題：（每小題6分，共18分）

1、牛頓-萊不尼茲公式

2、

∑∞

=1

nn

a

收斂的cauchy收斂原理

3、全微分二、計(jì)算題：（每小題8分，共32分）

1、4

20

2

sinlim

xdttxx?→

2、求由曲線2xy=和2yx=圍成的圖形的面積和該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積。

3、求∑∞

=+1

)1(nn

nnx的收斂半徑和收斂域，并求和

4、已知z

yxu=，求y

xu

???2

三、（每小題10分，共30分）

1、寫出判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性常用的三種辦法并判別級(jí)數(shù)

2、研究反常積分

?

+∞

--0

1dxexxp的斂散性

3、研究函數(shù)列),(1)(2

2+∞-∞∈+

=

xnxxSn的全都收斂性

四、證實(shí)題（每小題10分，共20分）

1、設(shè))2,1(1

1,01=->>+nnxxxnnn，證實(shí)∑∞

=1

nnx發(fā)散

2、證實(shí)函數(shù)??

?

??

=+≠++=0

00),(22222

2yxyxyxxyyxf在（0，0）點(diǎn)延續(xù)且可偏導(dǎo)，

但它在該點(diǎn)不行微。，

一、講述題：(每小題5分，共10分）

1、講述反常積分

adxxfb

a

,)(?

為奇點(diǎn)收斂的cauchy收斂原理

2、二元函數(shù)),(yxf在區(qū)域D上的全都延續(xù)二、計(jì)算題：（每小題8分，共40分）1、)21

2111(

limn

nnn+++++∞

→2、求擺線]2,0[)cos1()

sin(π∈?

?

?-=-=ttayttax與x軸圍成的面積

3、求?

∞

+∞-++dxxx

cpv2

11)(

4、求冪級(jí)數(shù)∑∞

=-1

2

)1(nn

nx的收斂半徑和收斂域5、),(yxxyfu=，求y

xu

???2

三、研究與驗(yàn)證題：（每小題10分，共30分）

1、y

xyxyxf+-=2

),(，求),(limlim

),,(limlim0000yxfyxfxyyx→→→→；),(lim)0,0(),(yxfyx→是否存在？為什么？

2、研究反常積分

?

∞

+0

arctandxxx

p

的斂散性。3、研究∑∞

=-+1

33))1(2(nn

n

nn的斂散性。四、證實(shí)題：（每小題10分，共20分）

1、設(shè)f（x）在[a,b]延續(xù)，0)(≥xf但不恒為0，證實(shí)0)(>?

b

a

dxxf

2、設(shè)函數(shù)u和v可微，證實(shí)grad(uv)=ugradv+vgradu

五、講述題：（每小題5分，共15分）1、定積分2、連通集

3、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的全都延續(xù)性六、計(jì)算題：（每小題7分，共35分）1、

?e

dxx1

)sin(ln

2、求三葉玫瑰線],0[3sinπθθ∈=ar圍成的面積

3、求5

2cos12π

nnnxn+=

的上下極限4、求冪級(jí)數(shù)∑∞

=+1

2)1(nn

n

x的和5、),(yxfu=為可微函數(shù)，求22)()(

y

u

xu??+??在極坐標(biāo)下的表達(dá)式七、研究與驗(yàn)證題：（每小題10分，共30分）

1、已知??

?

??==≠≠+=0

000,01cos1sin)(),(2

2yxyxy

xyxyxf或，求

),(lim)

0,0(),(yxfyx→，問(wèn)

),(limlim),,(limlim0

00

0yxfyxfxyyx→→→→是否存在？為什么？

2、研究反常積分

?

∞

++0

1

dxxxq

p的斂散性。

3、研究]1,0[1)(∈++=

xx

nnxxfn的全都收斂性。

八、證實(shí)題：（每小題10分，共20分）

1、設(shè)f（x）在[a,+∞）上單調(diào)增強(qiáng)的延續(xù)函數(shù)，0)0(=f，記它的反函數(shù)f--1

（y），

證實(shí)

)0,0()()(0

10

>>≥+??

-baab

dyyfdxxfb

a

2、設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞

=1

nn

x

收斂，證實(shí)級(jí)數(shù)

∑∞

=1

2

nn

x

也收斂

《數(shù)學(xué)分析》（二）測(cè)試題（4）

一．推斷題（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”；每小題3分，共15分）：

1．閉區(qū)間[]ba,的全體聚點(diǎn)的集合是[]ba,本身。2．函數(shù)(

)

1ln2-+

xx是

1

12

-x在區(qū)間()∞+,1內(nèi)的原函數(shù)。

3．若()xf在[]ba,上有界，則()xf在[]ba,上必可積。4．若()xf為延續(xù)的偶函數(shù)，則()()dttfxFx

?=0

亦為偶函數(shù)。

5．正項(xiàng)級(jí)數(shù)()∑

∞

=+1

!

110nn

n是收斂的。

二．填空題（每小題3分，共15分）：

1．?dāng)?shù)列()

?

??

?

??

+-131nnn

的上極限為，下極限為。2．

=?????++++++∞

→222222221

1

lim

nnnnnn。3．

=?xt

dtedxdtan0

。4．冪級(jí)數(shù)

∑

∞

=?1

3

nn

n

nx的收斂半徑=R。5．將函數(shù)()()ππ≤???=2

02

________)1(,)

0()0(dxxfxxe

xxfx則）（設(shè)

4.求?=→x

xdttx0

23

sin1lim

________________

5.求(_______)123的拐點(diǎn)坐標(biāo)+-=xxy6．用定積分求________12111lim=??

???++++++∞→nnnnn

7.冪級(jí)數(shù)n

n

xn∑

?2

1的收斂半徑R＝三.計(jì)算（4*7=28分）(要有須要的計(jì)算過(guò)程)

1.?dxxex

2.dxxx?

-1

12

3.dxx?1

arcsin

4．求曲線所圍成的圖形的面積與xyxy=-=2

2

四．判別級(jí)數(shù)的斂散性（2*9=18分）(要有須要的過(guò)程)

1.∑∞

=?1!

2nnnn

n

2.判別∑∞

=+-1

2

2)

1(nn

x

nn

在）（∞+∞-,上是否全都收斂，為什么五．證實(shí)：(9+10=19分)

1．設(shè)級(jí)數(shù)∑2

na與∑2

nb都收斂，證實(shí)：∑nnba肯定收斂

2．設(shè)[]baxf,)(在上二階可導(dǎo)，0)()(='='bfaf，證實(shí)：存在一點(diǎn)),(ba∈ξ，使得)()()

(4

)(2

af

bfabf--≥

''ξ

《數(shù)學(xué)分析》（二）測(cè)試題（7）

一．推斷（2*7=14分）

（）1.設(shè)0)(0='xf，則)(0xfx必為的極值點(diǎn)

（）2.若在[]ba,內(nèi))()(],,[),()(),()(xgxfbaxbgbfxgxf≥∈?='≥'有則對(duì)（）3.若AxAx可能不屬于的聚點(diǎn)，則為點(diǎn)集

（）4.若()CxFdxxFxF+='?)()()(則延續(xù)，

（）5.若[][])()(,,,(xfdttfabxbaxfbx-='??

???--∈?-則上延續(xù)，）在

（）6.若收斂則級(jí)數(shù)，∑≤???+=202________)1(,)0()

0(1dxxfxxx

xxf則）（設(shè)4.求?=-→xxdtt

t

x00cos11lim

________________5.求_____(__)12

13

1

)(23=+-=fxxxf的極大值為

6．用定積分求________211lim=???

?

??+++∞→nnnnnn7.冪級(jí)數(shù)n

nxn

∑2的收斂半徑R＝

三.計(jì)算（4*7=28分）(要有須要的計(jì)算過(guò)程)

1.?xdxxln

2.dxxx?-1

12

3.dxxx?1

arctan

4．求曲線的弧長(zhǎng)到從103===

xxxy

四．判別級(jí)數(shù)的斂散性（2*9=18分）(要有須要的過(guò)程)1.∑

∞

=??

?

??+12

121nnnnn

2.判別∑∞

=+-1

2

2)

1(nn

x

nn

在）（∞+∞-,上是否全都收斂，為什么五．證實(shí)：(9+10=19分)

1．設(shè)級(jí)數(shù)∑2na與∑2

nb都收斂，證實(shí)：∑+2

)(nnba收斂

2．[][]baxxfdxxfxfbaxfb

a,0)(,0)(,0)(,)(∈≡=≤?，證實(shí)：上延續(xù)，在若

《數(shù)學(xué)分析》（二）測(cè)試題（8）

三．推斷題（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”；每小題3分，共15分）：

1．開(kāi)區(qū)間(),ab的全體聚點(diǎn)的集合是(),ab本身。2．函數(shù)(

)

1ln2-+

xx是

1

12

-x在區(qū)間()∞+,1內(nèi)的原函數(shù)。

3．若()xf在[]ba,上有界，則()xf在[]ba,上必可積。

4．若()xf為[]ba,上的延續(xù)函數(shù)，則()()dx

aFxftt=?在[]

ba,上可導(dǎo)。

5．正項(xiàng)級(jí)數(shù)1

1

nn

∞

=∑是收斂的。

二．填空題（每小題4分，共16分）：

1．

=??

???++++++∞

→2222222211

lim

nnnnnn。2．

ddxt

et=?。3．冪級(jí)數(shù)

∑

∞

=?1

3

nn

n

nx的收斂半徑=R。4．將函數(shù)()()ππ?>?Nε使得Nnm>>?，成立ε0時(shí)?--1

1dxex

x

p收斂（4分）

；?+∞

--1

1dxexx

p，因?yàn)?(012+∞→→--xex

xx

p（4分）故對(duì)一切的p

?

+∞

--1

1dxexxp收斂，綜上所述p>0，積分

收斂

3、解：221

)(n

xxSn+

=

收斂于x（4分）0)(suplim),(=-+∞-∞∈∞→xxSnxn所以函數(shù)列全都收斂性（6分）

四、證實(shí)題（每小題10分，共20分）1、證實(shí)：

1

1

123221213423-=

-->=-nnnxxxxxxxxnnn)2(,112>->nxnxn（6分）∑∞

=-2

11

nn發(fā)散，由比較判別法知級(jí)數(shù)發(fā)散（4分）

2、證實(shí)：||||

02

2

xyy

xxy≤+≤（4分）

2

2

)

0,0(),(lim

y

xxyyx+→=0所以函數(shù)在（0，0）

點(diǎn)延續(xù)，（3分）又00

lim

0=?→?x

x，)0,0(),0,0(yxff存在切等于0，（4分）但

2

2)0,0(),(lim

yxy

xyx?+???→??不存在，故函數(shù)在（0，0）點(diǎn)不行微（3分）

參考答案（2）

1、,0.0>?>?δε使得δδδ?>?δε使得

Dxxxx∈1?∞+1arctandxx

xp收斂，綜上所述13、解：13123])1(2[lim3xf（4分），0)()(>≥??

d

c

b

a

dxxfdxxf（4分）

2、證實(shí)：以二元函數(shù)為例

ugradv

vgraduvvuuuvuvuvvuvuuvvuuvvuuvgradyxyxyxyxyyxx+=+=+=++=),(),(),(),(),()(（10分）

參考答案（3）

一、1、設(shè)有定數(shù)I，,0.0>?>?δε使得對(duì)隨意的分法

bxxxan=?>?εεN使得Nnm>>?，成立εqp?

∞

++1

1

dxxxq

p收斂，綜上所述1),min(qp時(shí)，積分收

斂（2分）

3、解：)()(limxfxxfnn==∞→（3分），0

1suplim)()(suplim2

=+++=-∞→∞→x

nnnx

nxxxfxf所以函數(shù)列全都收斂（7分）

四、證實(shí)題（每小題10分，共20分）

1證實(shí)：當(dāng))(afb=時(shí)，)0,0()()(0

10

>>=+??

-baab

dyyfdxxfb

a

（4分）

當(dāng))(afb>時(shí)，)0,0()()()

(0

10

>>>+?

?

-baab

dyyfdxxfafa

（3分）

當(dāng))(afb>>+??

--baab

dyyfdxxfb

bf（3分）

2、證實(shí)：因?yàn)槭諗?/p>

∑∞

=1

nn

x

，故0lim=∞

→nnx（2分），于是，總存在0n?使得0nn≥時(shí)，

有10x冪級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂半徑1=R。（2分）

又當(dāng)1±=x時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂域?yàn)?)1,1-。（2

分）

設(shè)()∑∞

=--=1

1

212nnnxxS，則()2

12211xxxSnn-=='∑∞

=-，從而（2分）

()x

xdxxxSx

-+=-=?

11ln211102，()1,1-∈x。（2

分）

五．證實(shí)題（12分）：

證實(shí)：函數(shù)()∑

∞

==

1

4

sinnn

nx

xf在()∞+∞-,上有延續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，并求()xf''。證實(shí)：由于()∞+∞-∈?,x，有

441sinnnnx≤，3341cossinnnnxnnx≤='?????，2

231sincosnnnxnnx≤-='

??

?

??（3分）

而級(jí)數(shù)∑∑∑2341,

1,

1nnn

都收斂，故級(jí)數(shù)∑∑∑∞

=∞

=∞

=-1

2

1314

sin,cos,sinnnnnnx

nnxnnx，都在

()∞+∞-,

上全都收斂。（3

分）

又級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是延續(xù)的，故由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的延續(xù)性和可微性知，

()()()xfxfxf''',,

都在()∞+∞-,上延續(xù)，且（3

分）

()∑∞

=='13cosnnnxxf，()∑∞

=-=''1

2sinnnnx

xf，(),x?∈-∞+∞

。（2分）

標(biāo)準(zhǔn)答案（5）

五．推斷題（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”；每小題3分，共15分）：

1．×2．√3．√4．×5．√

二．填空題（每小題3分，共15分）：

1．3，1；2．2ln1-；3．xexcossin；4．

4

1

；5．=0aπ，=na()(

)π2

21

1nn

--，=n

b

三．計(jì)算題（每小題7分，共28分）：

1．dxx

x?+239＝()

?+222921xxdx＝()

2

299121xdx??????+-＝()Cxx++-229ln2921；（2分）（3分）（2分）2．

?

1

dxe

x

＝?10

2dtett＝dteettt

?-1

10

22＝2；

（tx=）（3分）（3分）（1分）3．

?

∞+-+2

2

2xxdx

＝lim+∞→b?-+b

xxdx222＝lim31

+∞

→bdxxxb

???

???+--22111

＝2ln32；（2分）（3分）（2分）4．

?

-1

2

1x

xdx＝

lim1

-

→a?

-a

x

xdx0

2

1＝

lim

1

-

→a()

a

x

2

1--

＝1。

（2分）（3分）（1分）

四．解答題（每小題10分，共30分）：

1．求由兩拋物線2

xy=與2

2xy-=所圍圖形的面積。解：兩交點(diǎn)為()()1,1,1,1-，則（3分）

(

)

=--=?

-dxxxS1

1

2221

1

3322-?

???

?

-xx＝

3

8

（3分）（3分）（1分）2．推斷級(jí)數(shù)

()∑

∞

=+-1

1ln1nn

n

n是否收斂，若收斂，是肯定收斂還是條件收斂？解：設(shè)n

nan1

ln

+=，0≥na，則()∞→→≥+naaannn0,1，（3分）

由Leibniz判別法知，級(jí)數(shù)()

∑∞

=+-1

1

ln

1nn

n

n收斂。（3分）

而由

111

ln

lim

=+∞

→n

nnn知，級(jí)數(shù)∑∞

=+1

1

ln

nn

n發(fā)散，故原級(jí)數(shù)條件收斂。（4分）

3．確定冪級(jí)數(shù)

∑∞

=-1

1

nnx

n的收斂域，并求其和函數(shù)。

解：由于

11lim=+∞

→nn

n，所以收斂半徑1=R。（3分）

又當(dāng)1±=x時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂域?yàn)?)1,1-。（3

分）設(shè)

()∑∞

=-=1

1

nnnx

xS，則

()x

x

xdtnt

dttSnnnx

nx

-=

==∑∑??

∞

=∞

=-11

1

1

，（2分）

從而()()()20221xxxdttSxSx

-='

??

???-==?，()1,1-∈x。（2分）

五．證實(shí)題（12分）：

證實(shí)：函數(shù)()2

21

21

nxnen

xf-

∞

=∑

=

在[)∞+,0上延續(xù)。

證實(shí)：由于[)∞+∈?,0x，有

2

2

11

2

2nennx≤

-

，（4分）

而級(jí)數(shù)

∑21

n收斂，故級(jí)數(shù)

21

21nxnen

-

∞

=∑

在[)∞+,0上全都收斂。

（4分）

又級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是延續(xù)的，故由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的延續(xù)性知，

()

xf在

()

∞+∞-,上延續(xù)。

（4分）

答案（6）

三.計(jì)算(要有須要的計(jì)算過(guò)程)

1.?dxxex=Cexexx+-

2.dxxx?

-1

12

（令1

1

-+=xxt）

)1

arccos(11arctan2arctan21

22

CxCxxCtdtt+=+-+-=+-=+-=?

或

3.12

arcsin1

-=

?π

dxx

4．求曲線所圍成的圖形的面積與xyxy=-=2

2

解：29)2(1

2

2=--?

-dxxx

四．判別級(jí)數(shù)的斂散性

1.∑∞

=?1!2nnnn

n解：收斂?=

??

?

??+∞

→12

121lim2

e

nnn

nnn2.判別∑∞

=+-1

2

2)

1(nn

x

nn

在）（∞+∞-,上是否全都收斂，為什么解：?jiǎn)握{(diào)遞減，對(duì)每一個(gè)即全都有界?

??

??

?++∞-∞∈≤-∑=221

),,()(1)1(xnnxn

kk，且?∞→+）（全都趨向于nx

nn02

2∑∞

=+-1

2

2)1(nn

x

nn

在）（∞+∞-,上全都收斂

五．證實(shí)：(9+10=19分)

1．設(shè)級(jí)數(shù)∑2na與∑2

nb都收斂，證實(shí)：∑+2

)(nnba收斂

解：∑∑+?++≤+)()(2)(2)(22

2222收斂收斂，而nnnnnnnnbabababa2．[][]baxxfdxxfxfbaxfb

a,0)(,0)(,0)(,)(∈≡=≤?，證實(shí)：上延續(xù)，在若

證實(shí)：（反證）若[]000,0)(,xxfbax號(hào)性，存在則由延續(xù)函數(shù)的局部保使得<∈?

[]）時(shí)，

（使得當(dāng)）的某鄰域（δδδδ+-∈?+-0000,,,,xxxbaxx2

)

()(0xfxf≤0<,則?

?

?

?++--++=bxxxxa

b

adxxfdxxfdxxfdxxfδ

δδ

δ0000)()()()(

0)(02

)

(00000<=++≤?

+-δδδ

xfdxxfxx與

)(=?b

adxxf沖突

[]baxxf,0)(∈≡?，

標(biāo)準(zhǔn)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（8）

六．推斷題（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”；每小題3分，共15分）：

1．×2．√3．×4．√5．×

二．填空題（每小題4分，共16分）：

1．

2ln2

1

；2．xe；3．3；4．=0a0，=na0，=nb()

n

n211

--三．計(jì)算題（每小題10分，共30分）：

1．2

d1xx?-＝()

111d211xxx+?+-＝11ln21x

Cx++-；（5分）（5分）

2．1lnde

xx?＝11ln1de

e

xxx-?＝()1ee--＝1；

(5分)（4分）（1分）3．

dxxx

?

∞++0

41＝lim+∞→bdxxxb

?+04

1＝lim21

+∞

→b()

?+b

xxd042

1＝