《一元二次方程》word優(yōu)秀獲獎(jiǎng)教案

2021年4月，教育部發(fā)布文件第二章一元二次方程教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】【過程與方法】【情感態(tài)度】【教學(xué)重點(diǎn)】運(yùn)用知識、技能解決問題.【教學(xué)難點(diǎn)】解題分析能力的提高．教學(xué)過程一、知識框圖，整體把握二、釋疑解惑，加深理解1.一元二次方程的概念：如果一個(gè)方程通過移項(xiàng)可以使右邊為0，而左邊是只含有一個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，那么這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2+bx+c=0，(a，b，c是已知數(shù)且a≠0)，其中a，b，c分別叫作二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).直接開平方法：對于形如（x+n）2=d(d≥0)的方程，可用直接開平方法解.d直接開平方法的步驟是：把方程變形成x+=d(≥0)，然后直接開平方得x+n=dd和x+n=- ，分別解這兩個(gè)一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的.d配方法：通過配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，這種方法稱為配方法.用配方法解一元二次方程的步驟：把方程化為一般形式ax2+bx+c=0；把方程的常數(shù)項(xiàng)通過移項(xiàng)移到方程的右邊；1a；方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；兩個(gè)一元一次方程來解．求根公式－b －b

（b2-4ac≥0）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．用公式法解一元二次方程的一般步驟：首先要把原方程化為一般形式，從而正確地確定a，b，c的值；其次要計(jì)算b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，再用求根公式求解.因式分解法：利用因式分解來解一元二次方程的方法叫做因式分解法.因式分解法解一元二次方程的一般步驟：把方程化成一邊為0，另一邊是兩個(gè)一次因式的乘積的形式，然后使每一個(gè)一次因式等于0，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到的兩個(gè)解就是原一元二次方程的解.一元二次方程的根的判別式：我們把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“Δ”表示.即：Δ=b2-4ac⑴當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根即，x－b x，1 2a 2

－b－b2－4ac2a .⑵當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根⑶當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實(shí)數(shù)根.7.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)Δ≥0時(shí)，一元二次方程的根與系數(shù)之間具有以下關(guān)系：兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.即：8.運(yùn)用一元二次方程模型解決實(shí)際問題的步驟：實(shí)際問題建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根的檢驗(yàn)實(shí)際問題的解.【教學(xué)說明】通過對重點(diǎn)知識的回顧為本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容做好鋪墊.三、典例精析，復(fù)習(xí)新知1（）(m+1)x2-2m-1+7x-m=0是一元二次方程，則m是多少？分析：首先根據(jù)一元二次方程的定義得，m2-2m-1=2；再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定義中a≠0這一條件得m+1≠0來求m的值．【答案】m=3．（2）若關(guān)于x的一元二次方(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0，則m等于（ ）A．1 或2 -3m+2=a2+bx+c=0(≠0)的定義中0這一條m-1≠0m【答案】B命題者常利用a≠02.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?1)x2=3x (2)(x-1)2=3(3)x2-2x-99=0 分析：方程（1）選用因式分解法；方程（2）選用直接開平方法；方程（3）選用配方法；方程（4）選用公式法.33解（）x=0,x=3;(2)x=1+ ,x=1- ;(3)x=11,x=-9;(4)x=1/2,x=-3.331 2 1 2 1 2 1 23.若(x2+y2)2-4(x2+y2)-5=0,則x2+y2= .分析：用換元法設(shè)x2+y2=mm2-4m-5=0，解得m5，m=-11 2對所求結(jié)果，還要結(jié)合“x2+y2”進(jìn)行取舍，從而得到最后結(jié)果．【答案】5若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是A．k>-1 B．k>-1且k≠0C．k<1 D．k<1k≠0b2-4ac=(-2-×(-1)k=4k+0得＞-ax2+bx+c=0(≠0)的定義中a≠0k≠0．【答案】B3040600110100％，那么銷售這種臺燈每月要獲利10000分析：如果這種臺燈售價(jià)上漲x元，那么每個(gè)臺燈獲利(40＋x－30)元，每月平均銷售(40＋x－30)和(600－10x解：設(shè)這種臺燈的售價(jià)上漲x元，根據(jù)題意，得(40＋x－30)(600－10x)=10000．即x2-50x+400=0．x=10，x=40．1 2所以每個(gè)臺燈的售價(jià)應(yīng)定為50元或80元．當(dāng)臺燈售價(jià)定為80元時(shí)，銷售利潤率為5/3，不符合要求；當(dāng)臺燈售價(jià)定為50元時(shí)，銷售利潤率為2/3，符合要求．答：每個(gè)臺燈售價(jià)應(yīng)是50元.60m，寬40m，有兩條縱向甬道和一條橫向甬10m22xm．(π3)用含x當(dāng)所有甬道的面積之和比矩形面積的1/536m2時(shí)，求x（）π（10+）2π102=32+60（2；（2）依題意，得40×x×2+60×2x-2x2×2+3x2+60x=1/5×60×40+36，整理，得x-260x+516=，解得x=2x=25（不符合題意，舍去，1 2∴x=2；答：x的值為2．四、復(fù)習(xí)訓(xùn)練，鞏固提高一元二次方程x2-2x-1=0的根的情況為（ Ａ．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根Ｂ．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根Ｃ．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根Ｄ．沒有實(shí)數(shù)根分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)=8【答案】B關(guān)于x的一元二次方(a－1)x2+x+a－1=0的一個(gè)根為0，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）A．－1 分析：把x=0|a|－1=0，∴a=±1.∵a－1≠0，∴a=－1．故選A.【答案】A已知關(guān)于x的方程x+2k+x+2-2=0的兩實(shí)根的平方和等于11則k的值 分析：設(shè)方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的兩根為x，x，得1 2∵Δ=（2k+1）2-4×（k2-2）=4k+9＞0，∴k＞-9/4.∵x+x=-2k+，x·x=-2，1 2 1 2又∵x1+x2 2∴（x+x）2-2xx=11.1 2 12∴（2k+1）2-2（k2-2）=11，解得k=1或-3.∵k＞-9/4，∴k=1.【答案】1若關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍分析：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)根解之得a≤1.【答案】a≤1xx2－4x+k－3=0xxx=3x1 2 1 2求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根及k的值.x=3x1 2即可.:x+x4①，1 2x·x=k－3②1 2又∵x=3x1 2x31 .∴k=xx+3=3×1+3=6.x1 122方程兩根為x=3,x=1;k=6.1 2某汽車銷售公司612710.1萬元10輛以內(nèi)（含10輛，每輛返利0.5萬元，銷售量在10輛以上，每輛返利1萬.若該公司當(dāng)月售出3輛汽車，則每輛汽車的進(jìn)價(jià)為 萬元；28/12輛汽車？（）（）2－3－）0.1=26.8.（2）設(shè)銷售汽車x輛，則汽車的進(jìn)價(jià)為27－（x－1）×0.1=（27.1－0.1x）萬元，若x≤10,則（28－27.1+0.1x）x+0.5x=12x=6,x=－201 2若x>10,則（28－27.1+0.1x）x+x=12x=5x>10),x－243 4答：公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬元，需要售出6輛汽車.20cm，長60cm豎彩條的寬度比為4∶3，如果要使所有彩條所占面積為原長方形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)每個(gè)彩條的寬度？分析：由橫、豎彩條的寬度比為4∶3，可設(shè)每個(gè)橫彩條的寬為4x，則每個(gè)豎彩條的寬為3x．為更好地尋找題目中的等量關(guān)系，將橫、豎彩條分別集中，原問題轉(zhuǎn)化為如圖②的情況，得到長方形ABCD．x

長方形ABCD的面積cm2；(2)列出方程并完成本題解答1）一條豎紋寬度為3x，長方形寬減去兩條豎紋寬度，即為AB長度，同理，長方形長減去兩條橫紋寬度，即為AD長度；長方形面積為20×60×（1-1/3）=800；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，根據(jù)所有彩條所占面積為原長方形圖案面積的三分之一列方程求解即可．AB20-6cmAD60-8c620（1-1/）=800cm2．（2）由題意列方程得20-660-8）=2/3×1200，x=5，x=1（舍去．答：每個(gè)橫彩紋的寬度為10/3cm，每個(gè)豎彩紋寬度為5/2cm．五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)1、回顧整理今日收獲.2課后作業(yè)2、45、11、12教學(xué)反思通過畫知識框圖，完成對一元二次方程的知識點(diǎn)的梳理，建構(gòu)知識體系；讓學(xué)生對典型例題、自身錯(cuò)題進(jìn)行整理，從而使學(xué)生抓住本章的重點(diǎn)、突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn).[教學(xué)反思]學(xué)生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂園。學(xué)生都獲得了成功的體驗(yàn)，建立自信心。一元二次方程根的判別式教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】能運(yùn)用根的判別式，判別方程根的情況和進(jìn)行有關(guān)的推理論證.【過程與方法】經(jīng)歷思考、探究過程，發(fā)展總結(jié)歸納能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).【情感態(tài)度】積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對其產(chǎn)生好奇心和求知欲.【教學(xué)重點(diǎn)】能運(yùn)用根的判別式，判別方程根的情況和進(jìn)行有關(guān)的推理論證.【教學(xué)難點(diǎn)】從具體題目來推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情況與根的情況的關(guān)系.教學(xué)過程一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知二、思考探究，獲取新知問題：什么是求根公式？它有什么作用？x

2a 回答下列問題：當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有幾個(gè)根？當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有幾個(gè)根？當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有幾個(gè)根？綜上所知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況是由b2-4ac【歸納結(jié)論】我們把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“Δ”表示.即：Δ=b2-4ac⑴當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程ax2 1

，x2

2a .⑵當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根.⑶當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實(shí)數(shù)根.(1)3x2+4x-3=0(2)4x2=12x-9解：(1)因?yàn)棣?b2-4ac=42-4×3×（-3）=52>0所以，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.4x2-12x+9=0因?yàn)棣?b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0所以，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.5y2-7y+5=0因?yàn)棣?b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0所以，原方程沒有實(shí)數(shù)根.三、運(yùn)用新知，深化理解已知方程x2+px+q=0pq【答案】p2-4q=0若方程x2+px+q=0-23，則p，q【答案】-1，-6判斷下列方程是否有解：（1）5x2-2=6x（2）3x2+2x+1=0解析：演算或口算出b2－4ac（）有）沒有（1）16x2+8x=-3（2）9x2+6x+1=0（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情況，只需用b2-4ac00行分析即可．（）化為16+8x+3=0這里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以，方程沒有實(shí)數(shù)根．（2）a=9，b=6，c=1，b2-4ac=36-36=0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．（3）a=2，b=-9，c=8b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根．（4）a=1，b=-7，c=-18b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根．若關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解，求ax+3>0（a的式子表示．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就轉(zhuǎn)化為要判定a．因?yàn)橐辉畏匠蘟-）-2ax+a+1=0沒有實(shí)數(shù)根，即<0就可求出a的取值范圍．解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0沒有實(shí)數(shù)根．∴（-2）-4a-2（a+=4a-4a+4a+8<0∴a<-2∵ax+3>0ax>-3,∴x<-3/a∴所求不等式的解集為x<-3/a已知關(guān)于xx2+2x+m=0．當(dāng)m=3當(dāng)m=-3（=－4ac的值的符號即可方程沒有實(shí)數(shù)根.（2）把m（）∵當(dāng)m=3∴原方程無實(shí)數(shù)根.（2）當(dāng)m=-3x2+2x-3=0，∵（x-x+）=，∴x-1=，x+3=0.∴x1=1，x2=-3.已知一元二次方程x2+px+q+1=0(1)求qp求證：