2022-2023學年江蘇省南京市第五高一年級下冊學期4月期中數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年江蘇省南京市高一下學期4月期中數(shù)學試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用和差角的余弦公式計算即可.【詳解】.故選：D.2．如圖，已知，用，表示，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量加法和減法的三角形法則即可求解.【詳解】解：，，故選：C.3．已知，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】根據(jù)兩角差的正切公式，由題中條件，直接得出結果.【詳解】因為，，則.故選：A.4．已知向量、的夾角為，，，則（

）A．4 B．5 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式可得，再根據(jù)可求得結果.【詳解】因為，所以.故選：B5．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理，結合余弦定理進行求解即可.【詳解】因為，由正弦定理可得，又，所以，故選：A6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角和差余弦公式和輔助角公式可求得，結合二倍角余弦公式可求得結果.【詳解】，，.故選：A.7．在中，已知，，D為BC的中點，則線段AD長度的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.【詳解】解：由余弦定理得，即，即，所以，∴，當且僅當b=c時等號成立.因為，所以，，∴，故選：C．8．任何一個復數(shù)z=a+bi（其中a，b∈R，i為虛數(shù)單位）都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常稱之為復數(shù)z的三角形式，法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：[r（cosθ＋isinθ）]n=rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我們稱這個結論為棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，若復數(shù)為純虛數(shù)，則正整數(shù)m的最小值為（

）A．2 B．4C．6 D．8【答案】B【分析】由棣莫弗定理可得，再由此復數(shù)為純虛數(shù)，可得，從而可求出m的值【詳解】解：由棣莫弗定理可得，因為復數(shù)為純虛數(shù)，所以且，所以，得，因為，所以正整數(shù)m的最小值為4，故選：B二、多選題9．設z為復數(shù)，則下列命題中正確的是（）A．z2＝|z|2 B． C．若|z|＝1，則|z+i|的最大值為2 D．若|z﹣1|＝1，則0<|z|<2【答案】BC【分析】設，則，通過計算可證明選項A錯誤選項B正確；利用數(shù)形結合可以證明選項C正確選項D錯誤.【詳解】解：設，則，對A：，故A錯誤；對B：，故B正確；對C：若，則該復數(shù)對應點為以原點為圓心，半徑為1的圓上的點，而表示復數(shù)對應點到的距離，故當且僅當對應點為時，取得最大值2，故C正確；對D：若，其表示復數(shù)對應的點是以為圓心，為半徑的圓上的點，又表示復數(shù)對應點到原點的距離，顯然，故D錯誤.故選：BC.10．下列說法中，正確的是（

）A．存在，的值，使B．不存在無窮多個，的值，使C．對于任意的，，都有D．不存在，的值，使【答案】AD【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式，結合特值法判斷即可.【詳解】令，則，，此時，故A正確；令，，，此時，故B錯誤；由兩角和的余弦公式可知，對于任意的和，，故C錯誤；不存在，的值，使，若存在和，則與兩角和的余弦公式矛盾，故D正確.故選：AD.11．已知O為坐標原點，點A(1，0)，P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，-sinβ)，P3(cos（α+β），sin（α+β）)，則（

）A．OP1=OP2 B．AP1=AP2 C．P1P2=AP3 D．P2P3=AP1【答案】AC【分析】利用向量的坐標公式，結合同角三角函數(shù)的平方關系及三角恒等變換求各選項線段對應向量的模長，判斷是否相等即可.【詳解】A：，，則，正確；B：，，則，，所以、不一定相等，錯誤；C：，，則，，所以，正確；D：，，則，，所以、不一定相等，錯誤；故選：AC12．在中，已知，則以下四個結論正確的是（

）A．最大值B．最小值1C．的取值范圍是D．為定值【答案】ACD【分析】根據(jù)可判斷是以為直角的直角三角三角形，進而根據(jù)三角函數(shù)的性質以及恒等變換和誘導公式即可逐一求解.【詳解】由得，因為，所以，故，對于A;，當,所以，最大值為，故A正確，對于B;，因為,故，故取不到1，故B錯誤，對于C;，由選項A可知，故C正確，對于D;,故D正確，故選：ACD三、填空題13．若復數(shù)滿足，則________．【答案】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則，化簡復數(shù)為，結合復數(shù)模的運算公式，即可求解.【詳解】由復數(shù)的運算法則，可得，則.故答案為：.14．如圖，在中，是線段上的一點，若，則實數(shù)_________．【答案】【分析】設，根據(jù)向量的運算關系可求得，再結合已知建立關系即可求出.【詳解】設，則，，，解得.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題考查平面向量基本定理的應用，解題的關鍵是設出，利用向量關系將表示出來.15．在中，角A，B，C的對邊a，b，c為三個連續(xù)偶數(shù)，且，則______.【答案】8【解析】根據(jù)大邊對大角，可得,可設,由已知條件，利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到關于的方程求解即可.【詳解】由題意可得,,又角A，B，C的對邊a，b，c為三個連續(xù)偶數(shù)，故可設由,,由余弦定理得.所以,即解得,故.故答案為：.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的綜合運用，關鍵是熟練使用二倍角公式，正弦定理角化邊，正余弦定理聯(lián)立得到方程求解.四、雙空題16．如圖所示，在等腰直角中，為的中點，，分別為線段上的動點，且.（1）當時，則的值為__________.（2）的最大值為__________.【答案】【分析】第一個空：過點作于點，在Rt中，可求出，從而在中，根據(jù)余弦定理即可求出答案；第二空需要選擇恰當?shù)慕嵌缺硎境龅闹担倮萌呛愕茸儞Q以及三角函數(shù)的性質求解出最值.【詳解】當時，，過點作于點，在Rt中，，，，在中，由余弦定理，得.（2）設，則，過點分別作的垂線于兩點，則，在與中，，，所以，所以當時，.故答案為：；.五、解答題17．已知復數(shù)，其中．(1)若z為純虛數(shù)，求m的值；(2)若z在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱得到的點在第一象限，求m的取值范圍．【答案】(1)6(2)【分析】（1）由z為純虛數(shù)，列方程組，求出m；（2）由題意列不等式組，即可求出m的范圍．【詳解】（1）因為復數(shù)，其中，所以，解得：m=6.（2）因為在復平面內(nèi)對應的點為，所以z在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱得到的點.由題意得：，解得：.即m的取值范圍為.18．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．(1)若∥，求的值；(2)若⊥（＋2），求實數(shù)k的值；(3)若與的夾角是鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)3；(2)k＝；(3)k＜且k≠－6.【分析】（1）解方程1×k－2×＝0即得解；（2）解方程1×＋2×＝0即得解；（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.【詳解】（1）解：因為向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，所以＝＝3．（2）解：因為＋2＝，且⊥，所以1×＋2×＝0，解得k＝．（3）解：因為與的夾角是鈍角，則＜0且與不共線．即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．19．已知．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)化簡原式的分子分母，然后分式上下同除，將原式變形為的表示形式，由此計算出原式的值；（2）先根據(jù)正切的二倍角公式計算出的值，然后根據(jù)角的關系：，結合兩角和的正切公式求解出的值.【詳解】（1）因為，所以且，所以；（2）因為，所以，.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的第二問的關鍵是找到與的之間的關系，從而借助正切的兩角和公式、二倍角公式完成求解.20．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．（1）求的值；（2）若cosB，△ABC的面積為，求△ABC的周長．【答案】（1）2（2）5【分析】（1）利用正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式即可求解；（2）由（1）利用正弦定理可得，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求的值，結合三角形的面積公式可求，聯(lián)立解得，的值，根據(jù)余弦定理可求的值，即可得解三角形的周長．【詳解】（1）∵，∴sinBcosA﹣2sinBcosC＝2sinCcosB﹣sinAcosB，sinBcosA+sinAcosB＝2sinCcosB+2sinBcosC，可得sin（A+B）＝2sin（B+C），即sinC＝2sinA，∴2．（2）∵由（1）可得sinC＝2sinA，∴由正弦定理可得c＝2a，①∵cosB，△ABC的面積為，∴sinB，由acsinBac?，解得ac＝2，②∴由①②可得a＝1，c＝2，∴由余弦定理可得b2，∴△ABC的周長a+b+c＝1+2+2＝5．【點睛】本題主要考查了正弦定理、兩角和的正弦函數(shù)公式、同角三角函數(shù)基本關系式，考查了三角形的面積公式、余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．21．已知，其中，．(1)求的最小正周期和最小值；(2)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，，求的值．【答案】(1)最小正周期為，最小值為(2)【分析】（1）向量內(nèi)積展開后利用倍角公式和輔助角公式整理成正弦型函數(shù)，并根據(jù)正弦函數(shù)圖像性質得解；（2）根據(jù)函數(shù)值先求出，利用正弦定理將邊化角，結合，以及兩角和的正弦公式和誘導公式解出答案.【詳解】（1）∴的最小正周期為，∵，∴的最小值為，∴函