2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市阜寧中學(xué)高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第一次綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市阜寧中學(xué)高一下學(xué)期第一次綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在中，，是，所對(duì)的邊，已知，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【分析】由正弦定理得，化簡(jiǎn)得,即得解.【詳解】由正弦定理得，所以，所以,因?yàn)?所以.所以三角形是等腰三角形.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，考查差角的正弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.2．已知，均為單位向量，它們的夾角為，則（

）A． B． C． D．13【答案】A【分析】先由題意，求出，再由向量模的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，均為單位向量，它們的夾角為，所以，因此.故選：A.3．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)的虛部等于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再求其共軛復(fù)數(shù)，從而可求得答案【詳解】因?yàn)椋云涔曹棌?fù)數(shù)為，則其虛部為，故選：B4．已知，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用以及倍角公式求出，進(jìn)而根據(jù)可得，再代入計(jì)算即可.【詳解】，，，,解得或，又，則，，故選：B.5．在中，“是鈍角三角形”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】注意三角形內(nèi)角和是，然后討論哪個(gè)角是鈍角即可.【詳解】若是鈍角三角形，或?yàn)殁g角時(shí)，，滿(mǎn)足條件，為鈍角時(shí)，，由于則，滿(mǎn)足條件，所以是充分條件.時(shí)，當(dāng)時(shí)，或?yàn)殁g角，為鈍角三角形.當(dāng)時(shí)，或，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，為鈍角，為鈍角三角形，所以是必要條件.故選：A.6．在中，有，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理和數(shù)量積定義化簡(jiǎn)得出三角形三邊，，的關(guān)系，利用基本不等式求出的最小值，顯然為銳角，要使取最大值，則取最小值，從而得出的最大值，即可求出的最大值．【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以又，，，所以，即，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，顯然為銳角，要使取最大值，則取最小值，此時(shí)，所以，即的最大值是．故選：D．7．圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標(biāo)志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對(duì)稱(chēng)之美.犇犇同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高約為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（，，三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂、教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則犇犇估算索菲亞教堂的高度約為（結(jié)果保留整數(shù)）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在，由邊角關(guān)系得出，再由正弦定理計(jì)算出中的，最后根據(jù)直角三角形算出即可.【詳解】解：由題意知：，，所以，在中，，在中，由正弦定理得，所以，在中，，故選：D.8．自平面上一點(diǎn)引兩條射線，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)且保持為定值（點(diǎn)，不與點(diǎn)重合），已知，，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，將所求式子通過(guò)公式整理為，則根據(jù)正弦函數(shù)的最值可求得所求式子的取值范圍.【詳解】設(shè)，則其中，則當(dāng)時(shí)，原式取最大值：

本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)⑾蛄康臄?shù)量積和模長(zhǎng)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的形式，從而根據(jù)三角函數(shù)的值域求解方法求得結(jié)果.二、多選題9．已知向量，，則（

）A．B．向量在向量上的投影向量是C．D．與向量共線的單位向量是，【答案】AC【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示，數(shù)量積的定義，模的坐標(biāo)表示，共線向量的坐標(biāo)表示及單位向量的定義計(jì)算后判斷．【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，故，?duì)于A，，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，向量在向量上的投影向量是，（注是向量的夾角），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，故C正確；對(duì)于D，共線的單位向量是，即，或，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列命題中正確的有（

）A．若，則△ABC一定是等邊三角形B．若，則△ABC一定是等腰三角形C．是成立的充要條件D．若，則△ABC一定是銳角三角形【答案】AC【分析】根據(jù)正選定理和余弦定理在三角形中的應(yīng)用對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)正弦定理可知，，即，所以在三角形中，△ABC一定是等邊三角形，A正確；，故或，在三角形中故，或，故三角形是等腰三角形或者直角三角形，B錯(cuò)誤；三角形中等價(jià)于，根據(jù)正弦定理可知，充分性成立，根據(jù)正弦定理可知，故，必要性成立，故C正確；，可得角C為銳角，但不可證明A、B兩角大小，不可判斷△ABC一定是銳角三角形，D錯(cuò)誤.故選：AC.11．設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A．B．z2＝|z|2C．若|z|＝1，則|z+i|的最大值為2D．若|z﹣1|＝1，則0≤|z|≤2【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及其幾何意義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】設(shè)，則，對(duì)A：，故A正確；對(duì)B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，則該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上的點(diǎn)，而表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到的距離，故當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為時(shí)，取得最大值2，故C正確；對(duì)D：若，其表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是以為圓心，為半徑的圓上的點(diǎn)，又表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，顯然，故D正確.故選：ACD.12．已知均為第二象限角，且，則可能存在（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，得到的關(guān)系，然后分類(lèi)討論即可.【詳解】因?yàn)榫鶠榈诙笙藿?，所以，所以，，化?jiǎn)得：，即.若，則，得在第二象限，故A錯(cuò)；若，則，因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以?但是由為第二象限角，可得，為第三、四象限角或終邊在軸負(fù)半軸，顯然角的位置不同，不可能相等，所以C錯(cuò)誤；由終邊相同的角的概念結(jié)合上面的計(jì)算易知，可以出現(xiàn)，的情況，故B，D正確.故選：BD.三、填空題13．已知非零實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足關(guān)系式，則的值是______．【答案】【詳解】由題可得，其中，，所以，，所以．14．趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“趙爽弦圖”——由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖1所示.類(lèi)比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖2所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.在中，若，則___________.【答案】【分析】由條件可得，，由余弦定理可得答案.【詳解】由題意為等邊三角形，則,所以根據(jù)條件與全等，所以在中，所以故答案為：15．在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），記對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值_________________【答案】【分析】根據(jù)已知條件，集合復(fù)數(shù)模公式，求出點(diǎn)Z的軌跡方程，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】設(shè)，，,即，化簡(jiǎn)整理可得，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值為，故答案為：16．已知直角梯形中，，，，，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】5【分析】以為軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示求模長(zhǎng)的最小值.【詳解】由題：以為軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，當(dāng)取得最小值.故答案為：5【點(diǎn)睛】此題考查平面向量線性運(yùn)算和模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示，恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系將模長(zhǎng)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化利于解題.四、解答題17．平面內(nèi)給定三個(gè)向量，，.(1)求；(2)求；(3)若，求實(shí)數(shù)k.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平面向量夾角的坐標(biāo)公式即可求解；（2）根據(jù)平面向量模長(zhǎng)公式的坐標(biāo)表示即可求解；（3）根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以，，，所以；?）解：因?yàn)?，，所以，所以；?）解：因?yàn)?，，，又，所以，解?18．已知（1）求的值；（2）已知，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先化簡(jiǎn)，算出，即可齊次化求解.（2）先求出，進(jìn)而求出，再通過(guò)即可求解.【詳解】（1）由已知得，所以（2）由，可得，則因?yàn)?，所以，又，則因?yàn)?，，則，則，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是縮小角的范圍，要注意和一些特殊角的三角函數(shù)值比較大小，從而縮小角的范圍.19．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為.若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，(1)求點(diǎn)A?C的坐標(biāo)；(2)若是鈍角，求b的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程即可求得；（2）利用向量的夾角公式可以求得.【詳解】（1）因?yàn)樘摂?shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，所以虛數(shù)也是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根.所以由根與系數(shù)的關(guān)系得：，，解得：.故.（2）由（1）可知：，所以.所以.要使是鈍角，只需，解得：或.故b的取值范圍為.20．在中，記角的對(duì)邊分別為，已知，且，點(diǎn)在線段上.(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若的面積為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)給定等式，再由正弦定理即可求出答案.（2）設(shè)，則，由三角形的面積公式可求出，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理可得，同理在中，可得，兩式相出即可求出的值.【詳解】（1）依題意有.,.,因?yàn)?，所以，?，則，在中，由正弦定理得，解得.（2）設(shè)，則，又，即，可得，故，由余弦定理可得，在中，由正弦定理可得，故，在中，由正弦定理可得，故，因?yàn)椋?1．某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費(fèi)者，工藝品的平面設(shè)計(jì)如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點(diǎn)為半圈上一點(diǎn)（異于，），點(diǎn)在線段上，且滿(mǎn)足.已知，，設(shè).（1）為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，需滿(mǎn)足，且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí)，工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果；（2）為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿(mǎn)足，且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求該最大值.【答案】（1）（2）當(dāng)，達(dá)到最大，最大值為【解析】（1）設(shè)，則在直角中，，，計(jì)算得到，計(jì)算最值得到答案.（2）計(jì)算，得到，得的最值.【詳解】（1）設(shè)，則在直角中，，.在直角中，，.，，所以當(dāng)，即，的最大值為.（2）在直角中，由，可得.在直角中，，所以，，所以，所以當(dāng)，達(dá)到最大值.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角函數(shù)求最值，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用能力.22．如圖，設(shè)中角所對(duì)的邊分別為為邊上的中線，已知且.(1)求中線的長(zhǎng)度；(2)設(shè)點(diǎn)分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，線段交于，且的面積為面積的一半