(典型題)高中數(shù)學(xué)必修四第二章《平面向量》檢測卷(包含答案解析)

一、選擇題1．已知中，，，若是其內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．點(diǎn)M，N，P在所在平面內(nèi)，滿足，，且，則M、N、P依次是的（）A．重心，外心，內(nèi)心 B．重心，外心，垂心C．外心，重心，內(nèi)心 D．外心，重心，垂心3．設(shè)向量，，滿足，，，則的最小值是（）A． B． C． D．14．過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B． C．10 D．205．若平面向量a與b的夾角為60°，|b|=4，(aA．2 B．4 C．6 D．126．已知非零向量，且，為垂足，若，則等于()A． B． C． D．7．在中，為的中點(diǎn)，且，若的面積為，則的長為（）A． B． C．3 D．8．如圖，已知點(diǎn)D為的邊BC上一點(diǎn)，，為AC邊的一列點(diǎn)，滿足，其中實(shí)數(shù)列中，，，則的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．9．在中，為的中點(diǎn)，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．10．是邊長為的正三角形，是的中心，則（）A．2 B．﹣2 C． D．11．在中，，，為所在平面上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A．1 B． C．－1 D．-212．在中，是邊上的一點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且滿足和，連接并延長交于，若，則的值為（）A． B．C． D．二、填空題13．不共線向量，滿足，且，則與的夾角為________.14．把單位向量繞起點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再把模擴(kuò)大為原來的3倍，得到向量，點(diǎn)在線段上，若，則的值為__________．15．已知平面非零向量兩兩所成的角相等，，則的值為_____．16．已知平面非零向量，滿足且，已知，則的取值范圍是________17．如圖，在矩形中，，，圓M為的內(nèi)切圓，點(diǎn)P為圓上任意一點(diǎn)，且，則的最大值為________.18．在中，已知，，.若點(diǎn)C，D滿足，，則的值為_______________.19．已知，，則在的方向上的投影為________．20．已知夾角為的兩個單位向量，向量滿足，則的最大值為______.三、解答題21．已知，．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，向量與互相垂直？22．已知，，k為何值時(shí)，（1）與垂直？（2）與平行？23．已知，，函數(shù)．（1）求函數(shù)圖象的對稱軸方程；（2）若方程在上的解為，，求的值．24．設(shè)，.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且，與的夾角為，求，的值.25．如圖一，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，請根據(jù)以下信息，處理問題（1）和（2）.信息一：為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量，則，且；信息二：與的夾角記為，與的夾角記為，則；信息三：；信息四：，叫二階行列式.（1）求證：，（外層“”表示取絕對值）；（2）如圖二，已知三點(diǎn)，，，試用（1）中的結(jié)論求的面積.26．已知平行四邊形中，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)求的值；(2)若，且，求的值.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．C解析：C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出，，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是其內(nèi)一點(diǎn)，所以，，計(jì)算得最值，即可求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，因?yàn)?，所以，可得，，所以?設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是其內(nèi)一點(diǎn)，所以，，當(dāng)，時(shí)最大為，當(dāng)時(shí)最小為，所以的取值范圍是，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是建立直角坐標(biāo)系，將數(shù)量積利用坐標(biāo)表示，根據(jù)點(diǎn)是其內(nèi)一點(diǎn)，可求出的范圍，可求最值.2．B解析：B【分析】由三角形五心的性質(zhì)即可判斷出答案．【詳解】解：，，設(shè)的中點(diǎn)，則，，，三點(diǎn)共線，即為的中線上的點(diǎn)，且．為的重心．，，為的外心；，，即，，同理可得：，，為的垂心；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形五心的性質(zhì)，平面向量的線性運(yùn)算的幾何意義，屬于中檔題．3．B解析：B【分析】建立坐標(biāo)系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)的坐標(biāo)為，由已知可得，表示以為圓心，為半徑的圓，求出圓心到原點(diǎn)的距離，再減去半徑即為所求【詳解】解：建立坐標(biāo)系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，化簡得，表示以為圓心，為半徑的圓，則的最小值表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值，因?yàn)閳A到原點(diǎn)的距離為，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是寫出滿足條件的對應(yīng)的點(diǎn)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題4．D解析：D【分析】判斷函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)P對稱，得出過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，得出A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P對稱，則有，再計(jì)算的值．【詳解】，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，∴過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，∴，則．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的對稱性，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問題，是中檔題．5．C解析：C【解析】∵(a+2b)·(a-3b)=-72，∴6．B解析：B【解析】試題分析：,即，即，．考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用.7．B解析：B【分析】設(shè)先化簡得，由的面積為得，即得的長.【詳解】設(shè)由題得，所以，所以.因?yàn)榈拿娣e為，所以.所以.所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查三角形的面積的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8．D解析：D【分析】以和為基底，表示，根據(jù)，A，C三點(diǎn)共線，可得，構(gòu)造等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式.【詳解】,又因?yàn)?，A，C三點(diǎn)共線，即，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3．，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.9．D解析：D【分析】作出圖形，用、表示向量、，由可得出，利用基本不等式求得的最小值，結(jié)合二倍角的余弦公式可求得的最小值.【詳解】如下圖所示：，，，則，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦值最值的求解，考查平面向量垂直的數(shù)量積的應(yīng)用，同時(shí)也考查了基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10．B解析：B【分析】根據(jù)是邊長為的正三角形，是的中心，得到，然后利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)槭沁呴L為的正三角形，是的中心，所以，所以故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算以及三角形的知識，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.11．C解析：C【分析】以為建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，把向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示后可得最小值．【詳解】如圖，以為建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，，，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題方法是建立平面直角坐標(biāo)系，把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示．12．C解析：C【分析】首先過做，交于，根據(jù)向量加法的幾何意義得到為的中點(diǎn)，從而得到為的中點(diǎn)，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】如圖所示，過做，交于.因?yàn)?，所以為的中點(diǎn).因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，?又因?yàn)?，所以，?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量加法運(yùn)行的幾何意義，同時(shí)考查了相似三角形的性質(zhì)，屬于中檔題.二、填空題13．【解析】由垂直可知=0即又因?yàn)樗蕴睿ɑ颍┙馕觯骸窘馕觥坑纱怪笨芍?0,即,,,又因?yàn)?所以.填（或）.14．【分析】由題意可得與夾角為先求得則再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可【詳解】單位向量繞起點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)再把模擴(kuò)大為原來的3倍得到向量所以與夾角為因?yàn)樗运怨蚀鸢笧椤军c(diǎn)睛】本題主要考查平面向量幾何解析：【分析】由題意可得，與夾角為，先求得，則，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】單位向量繞起點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再把模擴(kuò)大為原來的3倍，得到向量，所以，與夾角為，因?yàn)椋?，所以，故答案?【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量幾何運(yùn)算法則以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.向量的運(yùn)算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）．15．3或0【分析】由于三個平面向量兩兩夾角相等可得任意兩向量的夾角是或由于三個向量的模已知當(dāng)兩兩夾角為時(shí)直接算出結(jié)果；當(dāng)兩兩夾角為時(shí)采取平方的方法可求出三個向量的和向量的?！驹斀狻坑深}意三個平面向量兩兩解析：3或0【分析】由于三個平面向量兩兩夾角相等，可得任意兩向量的夾角是或，由于三個向量的模已知，當(dāng)兩兩夾角為時(shí)，直接算出結(jié)果；當(dāng)兩兩夾角為時(shí)，采取平方的方法可求出三個向量的和向量的模．【詳解】由題意三個平面向量兩兩夾角相等，可得任意兩向量的夾角是或，當(dāng)兩兩夾角為時(shí)，方向相同，則；當(dāng)兩兩夾角為時(shí)，由于，則，則，.綜上的值為3或0.故答案為：3或0.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的模的求法，涉及向量的夾角和向量的數(shù)量積運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解向量夾角的定義，考查運(yùn)算能力.16．【分析】設(shè)設(shè)則由得到再利用得到再設(shè)得到根據(jù)可解得結(jié)果【詳解】因?yàn)樗钥稍O(shè)設(shè)則由得所以由得化簡得所以所以由得所以設(shè)則所以所以由得解得所以所以所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算考查了解析：【分析】設(shè)，，設(shè)，則，由，得到，，再利用，得到，再設(shè)，得到，根據(jù)，可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋钥稍O(shè)，，設(shè)，則，由，得，所以，由，得，化簡得，所以，所以由，得，所以，設(shè)，則，所以，所以，由，得，解得，所以，所以，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了向量的模長公式，屬于中檔題.17．【分析】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示由已知條件得出點(diǎn)坐標(biāo)圓M的方程設(shè)由得出再設(shè)（為參數(shù)）代入中根據(jù)三角函數(shù)的值域可求得最大值【詳解】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示因?yàn)樵诮馕觯骸痉治觥恳渣c(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，由已知條件得出點(diǎn)坐標(biāo)，圓M的方程，設(shè)，由，得出，再設(shè)（為參數(shù)），代入中，根據(jù)三角函數(shù)的值域，可求得最大值.【詳解】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，因?yàn)樵诰匦沃?，，，所以圓M的半徑為，所以，，，，，圓M的方程為，設(shè)，又，所以，解得，又點(diǎn)P是圓M上的點(diǎn)，所以（為參數(shù)），所以，其中，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性表示，動點(diǎn)的軌跡中的最值問題，屬于中檔題.18．【分析】以為基底向量表示再由數(shù)量積的運(yùn)算律定義計(jì)算即可【詳解】∵∴D為OB的中點(diǎn)從而∴∵∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積需要根據(jù)題意確定基底向量再根據(jù)平面向量基本定理表示所求的向量數(shù)量解析：【分析】以為基底向量表示，再由數(shù)量積的運(yùn)算律、定義計(jì)算即可．【詳解】∵，∴D為OB的中點(diǎn)，從而，∴∵，，，∴∴.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，需要根據(jù)題意確定基底向量，再根據(jù)平面向量基本定理表示所求的向量數(shù)量積，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積公式求解．屬于中檔題.19．2【分析】根據(jù)向量在的方向上的投影為結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和模的計(jì)算公式即可求解【詳解】由題意向量可得則在的方向上的投影為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和模計(jì)算公式的應(yīng)解析：2【分析】根據(jù)向量在的方向上的投影為，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，可得，，則在的方向上的投影為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和模計(jì)算公式的應(yīng)用，以及向量的投影的概念與計(jì)算，其中解答熟記平面向量的數(shù)量積、模及投影的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.20．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)出向量的坐標(biāo)得出向量的終點(diǎn)的軌跡方程再運(yùn)用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以得到的最大值【詳解】由已知建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)又所以所以點(diǎn)在以為圓心以為半徑的圓上所以的最大值為所以的最大值解析：【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出向量的坐標(biāo)，得出向量的終點(diǎn)的軌跡方程，再運(yùn)用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以得到的最大值.【詳解】由已知建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，又，所以，所以點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，所以的最大值為，所以的最大值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模的最值，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出向量坐標(biāo)，得出向量的終點(diǎn)的軌跡方程是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題21．（Ⅰ），＝2；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）根據(jù)數(shù)量積與模的坐標(biāo)表示計(jì)算；（Ⅱ）由向量垂直的坐標(biāo)表示求解．【詳解】（Ⅰ）由題意；．（Ⅱ），因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，解得．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積與模的坐標(biāo)表示，考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．22．（1）1（2）-1【分析】（1）分別表示出與，再利用數(shù)量積為0求解即可；（2）若與平行，則等價(jià)于，化簡即可；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)時(shí)（2）當(dāng)與平行時(shí)時(shí)，與平行【點(diǎn)睛】本題考查向量加法與減法的坐標(biāo)運(yùn)算，由兩向量平行與垂直求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題23．（Ⅰ）;（Ⅱ）.【分析】（1）先根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出,利用二倍角公式與輔助角公式化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性即可求出函數(shù)的對稱軸；（2）由方程在（上的解為，及正弦函數(shù)的對稱性可求，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：，，令可得，函數(shù)圖象的對稱軸方程，方程在上的解為，，由正弦函數(shù)的對稱性可知，，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，正弦函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．以三角形和平面向量為載體，三角恒等變換為手段，對三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問題，兩