2023屆四川省巴中市高三下學(xué)期“一診”考試數(shù)學(xué)（文）試題

巴中市普通高中2020級(jí)“一診”考試數(shù)學(xué)（文科）（滿分150分120分鐘完卷）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合A={-1，0，1}，，則（）A．{-1} B．{-1，0} C．{0，1} D．{-1，1}2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B．1 C． D．23．若一組樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別為2，，則數(shù)據(jù)的均值和方差分別為（）A．3，1 B．11，1 C．3，0.2 D．11，4．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A．33 B．66 C．22 D．445．若雙曲線的漸近線為，則雙曲線的離心率為（）A． B. C． D．6．已知a，b是兩條不同直線，若平面，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則a=（）A．-1 B．-2 C．2 D．18．已知，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．10．在中，若，則A=（）A． B． C． D．11．隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)之和除以4，余數(shù)分別為0，1，2，3，所對(duì)應(yīng)的概率分別為，則（）A． B．C． D．12．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．拋物線的準(zhǔn)線方程為______．14．若直線過點(diǎn)，則的最小值為______．15．已知長(zhǎng)方體的表面積為22，過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)之和為6，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為______．16．已知，為單位向量，若，，則的取值范圍為______．三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都要作答．22、23為選考題，考生按要求作答．（一）必考題：共60分17．（本小題滿分12分）某中學(xué)為了解高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中抽象思維與性別的關(guān)系，隨機(jī)抽取了男生120人，女生80人進(jìn)行測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)按[0，20），[20，40），［40，60），［60，80），［80，100］分組得到右圖所示的頻率分布直方圖，并且男生的測(cè)試成績(jī)不小于60分的有80人．（1）求這200人測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)的估計(jì)值；（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作代表）（2）填寫下面的2×2列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中抽象思維與性別有關(guān)．成績(jī)小于60成績(jī)不小于60合計(jì)男女合計(jì)附：k18．（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．（本小題滿分12分）如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，將，分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P，過P作，垂足為H．（1）證明：平面BFDE；（2）若四棱錐的體積為12，求正方形的邊長(zhǎng)．20．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，．（1）當(dāng)b=0時(shí)，設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求b的取值范圍．21．（本小題滿分12分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為D，離心率為1，經(jīng)過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓C的方程；（2）過直線x=4上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，①證明：直線MN過定點(diǎn)；②求的最大值．備注：若點(diǎn)在橢圓C：上，則橢圓C在點(diǎn)處的切線方程為．（二）選考題，共10分，請(qǐng)考生在22，23題中任選一題作答，如果多做，按第一題記分．22．［選修4-4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求l的普通方程和C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，直線，與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求的值．23．［選修4-5，不等式選講］（10分）設(shè)函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若，，且，求的最小值．巴中市高2023屆一診考試文科數(shù)學(xué)參考答案一．選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．DCBABDACDBAB二．填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．14．815．16．三．解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17—21題為必考題，每個(gè)試題考生都要作答．22、23為選考題，考生按要求作答．（一）必考題：共60分17．解：（1）設(shè)中位數(shù)的估計(jì)值為，則化簡(jiǎn)得，解得∴中位數(shù)的估計(jì)值為64∴設(shè)平均數(shù)的估計(jì)值為，則∴平均數(shù)的估計(jì)值為59注：中位數(shù)估計(jì)值的另一算法，化簡(jiǎn)得，解得（2）成績(jī)小于60分的人數(shù)為：由題意，得2×2列聯(lián)表如下表：成績(jī)小于60成績(jī)不小于60合計(jì)男4080120女404080合計(jì)80120200故有95%的把握認(rèn)為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中抽象思維與性別有關(guān)18．解：（1）由得：由知：∴，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（2）方法一由（1）得：，∴∴①②②-①得：∴．方法二由（1）得：，∴∴①②②-①得：∴．19．解：（1）證明：方法一在正方形ABCD中，有AC⊥BD，由已知得，∴EF⊥BD由折疊的性質(zhì)知：PD⊥PE，PD⊥PF，，∴PD⊥平面PEF又平面PEF，故PD⊥EF∵，∴EF⊥平面PBD又平面PBD，故EF⊥PH∵PH⊥BD，EF，平面BFDE，且EF與BD相交∴PH⊥平面BFDE方法二在正方形ABCD中，有AC⊥BD，由已知得，∴EF⊥BD由折疊的性質(zhì)知：PD⊥PE，PD⊥PF，，∴PD⊥平面PEF又平面PEF，故PD⊥EF∵，∴EF⊥平面PBD又平面BFDE，故平面BFDE⊥平面PBD∵平面PBD，平面平面PBD=BD，PH⊥BD∴PH⊥平面BFDE（2）方法一連結(jié)EF，設(shè)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為則由已知得：，，，∴PE⊥PF，由（1）知PD⊥PQ，在直角中，由PH⊥DQ得：又由（1）知：PH⊥平面BFDE∴，解得a=3∴正方形的邊長(zhǎng)6．方法二連結(jié)EF，設(shè)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為由已知得：，，，，EF⊥BD∴PE⊥PF，∴∴由PE⊥PF，PD⊥PF，PD⊥PE得：又，解得a=3∴正方形的邊長(zhǎng)6．21．解：（1）當(dāng)b=0時(shí)，，又a<0，故得x=-2，或①當(dāng)，即時(shí)，恒成立∴的減區(qū)間為，無增區(qū)間②當(dāng)，即時(shí)，由得，或；由得∴的減區(qū)間為，，增區(qū)間為③當(dāng)，即時(shí)，由得，或；由得∴的減區(qū)間為，，增區(qū)間為綜上可得：當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為（2）方法一，當(dāng)時(shí)，恒成立，在R上是增函數(shù)，至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意當(dāng)b>0時(shí)，由得，此時(shí)：若，則，是減函數(shù)；若，則，是增函數(shù)∴由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得：，解得當(dāng)時(shí)，有∵∴在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)令，則令，則在恒正∴在上單調(diào)遞增，故∴在上單調(diào)遞增∴∴∴在內(nèi)也有一個(gè)零點(diǎn)即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為方法二由得：故有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)∴當(dāng)時(shí)，直線應(yīng)在過點(diǎn)的曲線的切線的上方設(shè)過點(diǎn)的曲線的切線與曲線切于點(diǎn)則有，解得∴過點(diǎn)的曲線的切線方程為，∴當(dāng)時(shí)，由，知在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)由直線上升與指數(shù)爆炸兩種增長(zhǎng)形知，總存在正數(shù)m，當(dāng)時(shí)有∴在內(nèi)也有一個(gè)零點(diǎn)∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為方法三由得，當(dāng)時(shí)等式不成立，故∴設(shè)，則當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴在，內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴關(guān)于x方程有兩個(gè)不同的解的必要條件為又當(dāng)時(shí)，若，或時(shí)均有∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為方法四由得，當(dāng)b=0時(shí)等式不成立，故于是對(duì)變形得設(shè)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減∴又當(dāng)x時(shí)，；當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)∴時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為注：上述解法中，若僅說明了在的某一側(cè)有一個(gè)零點(diǎn)但未說明在兩側(cè)各有一零點(diǎn)的扣1分；若未由零點(diǎn)存在定理說明時(shí)一定有兩個(gè)零點(diǎn)的扣2分．20．說明：若點(diǎn)在橢圓C：上，則橢圓C在點(diǎn)處的切線方程為．解：（1）由橢圓的定義及的周長(zhǎng)為8得：，解得a=2由離心率為得：，化簡(jiǎn)得∴橢圓C的方程為（2）①證明由（1）知，，設(shè)，，，則以M為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程為以N為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程為又兩切線均過點(diǎn)P，故，且整理化簡(jiǎn)得，且∴點(diǎn)，，均在直線上∴直線MN的方程為，且直線MN過定點(diǎn)②由消去x得：于是，，由求根公式得：方法一設(shè)點(diǎn)D到直線MN的距離為d，則∴令，則且設(shè)，，則，∴函數(shù)在是減函數(shù)，從而∴的最大值為．方法二下同方法一方法三由方法一①知，直線MN的方程為，且直線MN過定點(diǎn)令，則MN的方程化為：由消去x得：于是，，由求根公式得：∴下仿方法一求解，略22．解：（1）由消去t得：，整理得∴l(xiāng)的普通方程為由得代入，，整理得∴C的直角坐標(biāo)方程為（2）方法一設(shè)，由解得或∴∴．方法二點(diǎn)在直線l上，設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)A，B分別對(duì)應(yīng)參數(shù)，則，∴代入整