橢圓第二定義應(yīng)用及經(jīng)典例題解析

高考數(shù)學(xué)橢圓第二定義應(yīng)用一、隨圓的第二定義（比值定義若

MFd

,為常數(shù)則的軌跡是以F為焦點(diǎn)，L為準(zhǔn)線(xiàn)的橢圓。注：①其中F為定點(diǎn)，F(xiàn)，0為M到定直線(xiàn)L：

a2x的距離c②F與是對(duì)應(yīng)的，即：左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)左準(zhǔn)線(xiàn)，右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)右準(zhǔn)線(xiàn)。二、第定義的應(yīng)用[例1]知

2y(3),F是1612

1

的右焦點(diǎn)點(diǎn)M為橢圓的動(dòng)點(diǎn)求MAMF的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)。分析：此題主要在于2MF的轉(zhuǎn)化，由第二定義：

MFd

12

，可得出MFd，即為M到（右準(zhǔn)線(xiàn)）的距離。再求最小值可較快的求出。解：圖，過(guò)M作l于，L為右準(zhǔn)線(xiàn)：x，由第二定義，知：

MFd

12

，MFdMNMAMF要使MAMF為最小值，即：MA為“最小由圖知：當(dāng)A、M、N共線(xiàn)，1

y2000y2000即：AMl時(shí)，MAMF為最?。磺易钚≈禐锳到的距離10，此時(shí)，可設(shè)M(x,0

，代入橢圓方程中，解得：

x0

故當(dāng)M(23)，MAMF為的最小值為10[評(píng)注：（1）以上解法是橢圓第二定義的巧用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離去求，可使題目變得簡(jiǎn)單。（2）一般地，遇到一個(gè)定點(diǎn)到定直線(xiàn)問(wèn)題應(yīng)想到橢圓的第二定義。[例2]設(shè)()為橢圓(a0)ab2

的一點(diǎn)，離心率為e到左焦點(diǎn)和右焦1點(diǎn)F的距離分別為r，r212

求證：

rex,r12

0證明作圖，由第二定義：

PF12

即：

rPF1

22)又PFPF12raaa21

0注：①上述結(jié)論

r，r稱(chēng)為橢圓中的焦半徑公式1020②PFr1

由0

a0

得出raea且a11

即aPF1當(dāng)PF1

為

a2

當(dāng)PF時(shí)為1[練習(xí)（1）過(guò)

x

y2

的左焦點(diǎn)F作傾斜角為30的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)則弦AB的長(zhǎng)為2分析AB是焦點(diǎn)弦

ABAFBF

a

只需求用AB聯(lián)立方程后，韋達(dá)定理的方法可解）（2）

x2y2F2為

的左、右焦點(diǎn)，P橢圓上的一點(diǎn)，若PFPFP到左2準(zhǔn)線(xiàn)的距離為24分析：由焦半徑公式，設(shè)px

0

0

得0

即0又左準(zhǔn)線(xiàn)為：

則P到左準(zhǔn)線(xiàn)距離為8-（-16[例設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，AB過(guò)F的弦，試分析以AB為直徑的圓與左準(zhǔn)線(xiàn)L的位置關(guān)系解，設(shè)M弦AB的中點(diǎn)為“圓心作AAL于ABB于11L由橢圓的第二定義知：(BB)1又在直角梯形

ABAA11中，MM是中位線(xiàn)1BBMM11

1即：

ABMM

1

2

3

（

2

為圓M半徑rMM為圓心M左準(zhǔn)線(xiàn)的距離drd故以AB為直徑的圓與左準(zhǔn)線(xiàn)相離4

B.C.B.D.x2y2B.C.B.D.x2y2橢圓第二定義的應(yīng)用練習(xí)1、橢圓兩準(zhǔn)線(xiàn)間的距離等于焦距的4倍，則此橢圓的離心率e等于（）A．

11234

D.

242橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F和F一條準(zhǔn)線(xiàn)方程是

163

則此橢圓方程（）A．C.

xy2xyx2y2xy7

3、由橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的高等于：

。4、不論k為何實(shí)數(shù)值，直線(xiàn)y=kx+1焦點(diǎn)在x軸的橢圓

x2

總有公共點(diǎn)，則的取值范圍是：。5、已橢圓22m的一焦點(diǎn)為0）求的值．6、已橢圓的中心原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程5

42427、已知P在以坐軸為對(duì)稱(chēng)軸橢圓上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離分為作焦點(diǎn)在軸的垂線(xiàn)它恰好橢圓的一個(gè)點(diǎn)，求圓方程．

和過(guò)P點(diǎn)38、求心在原點(diǎn)，稱(chēng)軸為標(biāo)軸，且經(jīng)A3和(3兩的橢圓程．分析：可設(shè)其方程為

2

2

()，且不必去考慮焦點(diǎn)哪個(gè)坐標(biāo)軸上，直接可求出方程．6

橢