2014屆高考空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題專項突破復(fù)習(xí)

PAGEPAGE62014屆高考球體問題專項突破復(fù)習(xí)例1球面上有三點、、組成這個球的一個截面的內(nèi)接三角形三個頂點，其中，、，球心到這個截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積．分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑．解：∵，，，∴，是以為斜邊的直角三角形．∴的外接圓的半徑為，即截面圓的半徑，又球心到截面的距離為，∴，得．∴球的表面積為．說明：涉及到球的截面的問題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過兩個量求第三個量，也可能是抓三個量之間的其它關(guān)系，求三個量．例2．自半徑為的球面上一點，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值．分析：此題欲計算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個封閉的圖形內(nèi)進行計算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)．解：以為從一個頂點出發(fā)的三條棱，將三棱錐補成一個長方體，則另外四個頂點必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑．=．說明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中體積計算．例3．試比較等體積的球與正方體的表面積的大?。治觯菏紫茸ズ们蚺c正方體的基本量半徑和棱長，找出等量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為其面積的大小關(guān)系．解：設(shè)球的半徑為，正方體的棱長為，它們的體積均為，則由，，由得．．．，即．例4一個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個半徑為的鐵球，這時水面恰好和球面相切．問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時的位置特征，利用鐵球取出后，錐內(nèi)下降部分(圓臺)的體積等于球的體積，列式求解．解：如圖作軸截面，設(shè)球未取出時水面高，球取出后，水面高∵，，則以為底面直徑的圓錐容積為，球取出后水面下降到，水體積為．又，則，解得．例5．設(shè)正四面體中，第一個球是它的內(nèi)切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的表面積之比及體積之比．分析：此題求解的第一個關(guān)鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個關(guān)鍵是兩個球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的．解：如圖，正四面體的中心為，的中心為，則第一個球半徑為正四面體的中心到各面的距離，第二個球的半徑為正四面體中心到頂點的距離．設(shè)，正四面體的一個面的面積為．依題意得，又即．所以．．說明：正四面體與球的接切問題，可通過線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑．例6．把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離．分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點且正四面體的棱長為兩球半徑之和2．解：四球心組成棱長為2的正四面體的四個頂點，則正四面體的高．而第四個球的最高點到第四個球的球心距離為求的半徑1，且三個球心到桌面的距離都為1，故第四個球的最高點與桌面的距離為．7.直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為.8．正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點的球面距離為，則正三棱柱的體積為．答案89.表面積為的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為A．B．C．D．答案A【解析】此正八面體是每個面的邊長均為的正三角形，所以由知，，則此球的直徑為，故選A。10.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于（D）A.2B.C.D.11.正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為(C)A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶912.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為．()13.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為．ABCPDEF14.一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1ABCPDEF15.如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是________．16.棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是.16.一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（C） A． B．C． D．以上都不對 17.設(shè)正方體的棱長為EQ\f(2\r(3),3)，則它的外接球的表面積為（C） A．B．2πC．4π D．18．（2012新課標理）已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上,是邊長為的正三角形,為球的