關(guān)于雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)9篇

關(guān)于雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)9篇

關(guān)于雙曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)9篇

關(guān)于雙曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)(1)

雙曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)復(fù)習(xí)

1.雙曲線的定義：

（1）雙曲線：焦點(diǎn)在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png軸上時(shí)0cec9b710303d54ed8956f1155f96ef5.png（2e25fa44ad0b7288d19b52f95572fb53.png），焦點(diǎn)在415290769594460e2e485922904f345d.png軸上時(shí)68073e9634a94eecbe0de392609b557f.png＝1（f47950a73ee734549f8bbedaf73a6184.png）。雙曲線方程也可設(shè)為：9159f202dab41f12b2c7c5745d8d848f.png這樣設(shè)的好處是為了計(jì)算便利。

（2）等軸雙曲線：

（注：在學(xué)了雙曲線之后肯定不要和橢圓的相關(guān)內(nèi)容混淆了，他們之間有聯(lián)系，可以類(lèi)比。）

例一：已知雙曲線0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png和橢圓844932534e5c13d3a9df7ec49c13c071.png有相同的焦點(diǎn)，且過(guò)b3185ef8d330ddb8d62a81ead8d81dae.png點(diǎn)，求雙曲線0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的軌跡方程。（要分清橢圓和雙曲線中的a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png。）

思索：定義中若（1）182e2631e6dd0ddc9ae4d16fb6b2095b.png；（2）9b6752b9b757fefb7f410a25dbb5532f.png，各表示什么曲線？

2.雙曲線的幾何性質(zhì)：

（1）雙曲線（以7091ac995db76b6c5310debeacb387e6.png為例）：①范圍：4ac877c8d6b007b92fc85a9068e2f2dd.png；②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)81b970998b8718701d4941385548bbf2.png；③對(duì)稱(chēng)性：兩條對(duì)稱(chēng)軸c998ef1a593f696a6d32b4f3c8c2f285.png，一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn)f1b7b7fcbb8b135399c9f095374a4441.png，其中實(shí)軸長(zhǎng)為20cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，虛軸長(zhǎng)為292eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線3f9d80ebd97ba757b22d69782e4e3dbb.png；⑤離心率：8e7a42eb98a20c0951a74d8bff591040.png，雙曲線ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pnged024f93a35aaed54160fc856cd7e017.png，e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png越大，雙曲線開(kāi)口越大；e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png越小，雙曲線開(kāi)口越小。⑥通徑9adbfd75d0b37946c7c9f2c2bb718505.png

（2）漸近線：雙曲線87a35911a48a47a373b3aede0af362af.png的漸近線為：

等軸雙曲線的漸近線方程為：，離心率為：

（注：利用漸近線可以較精確?????的畫(huà)出雙曲線的草圖）

例二：方程cee0e02c65ea29937813d1b8c3973231.png表示雙曲線，則8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的取值范圍是___________________

例三：雙曲線與橢圓919dac0f5f476e75e4fd90d6383698b6.png有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線為9d41bad04520a29bdd62232e461f366c.png，則雙曲線的方程為_(kāi)_________________

例四：雙曲線78a23ae8e919b67c43bfd502dec53107.png的離心率635b8575b1c3829689b586d46f68dfb9.png，則92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的取值范圍是___________________

word/media/image37.gif

例五：已知雙曲線7a15810060ddc2f9c49989dc394e7436.png的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作直線PF垂直于該雙曲線的一條漸近線2db95e8e1a9267b7a1188556b2024b33.png于1980bed3d55b6e8c55783884f05da420.png．求該雙曲線的方程為：

3．直線與雙曲線的位置關(guān)系：

（1）相交：55572ad9aeddcc415b04fa3e0e1cc5eb.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png直線與橢圓相交或直線與漸近線平行。（2）相切：1afea4af73213d645ca37914acb12a91.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png直線與橢圓相切；（3）相離：22b283f53d8b0d92b009962318a066af.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png直線與橢圓相離；

例六：過(guò)點(diǎn)P(1,1)與雙曲線c8783276562fbd5336d0fbcbf93c1dda.png只有一個(gè)交點(diǎn)的直線共有條。

例七：過(guò)點(diǎn)cdba072ac7fcad32383e981e5d160829.png的直線2db95e8e1a9267b7a1188556b2024b33.png和雙曲線0691a5878e0fdeb0823b47c1fff3d2b5.png，僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線2db95e8e1a9267b7a1188556b2024b33.png的方程。

d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.png4、焦半徑（雙曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計(jì)算方法：利用雙曲線的其次定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑9e49cfb358121c175c9950e05f4af3f4.png，其中8277e0910d750195b448797616e091ad.png表示P到與F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。

例八：經(jīng)過(guò)雙曲線a0359474a637f33628b8c5bd047b66a1.png的左焦點(diǎn)39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png作傾斜角為81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png的弦430c70f687f1cc20466a738827d4ecf0.png求的0f6c8e89cf4a7499991a8d150abc84cd.png周長(zhǎng)。

例九：已知A（3，2），M是雙曲線H：word/media/image57.gif上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)2是H的右焦點(diǎn)，求word/media/image57.gif的最小值及此時(shí)M的坐標(biāo)。

5、弦長(zhǎng)問(wèn)題：（直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求）

若直線10afe20a154e668773a425e2b93af4cc.png與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且9865b118af4cfc107929ec116ab9eb80.png分別為A、B的橫坐標(biāo)，則74ad26aaeeaa9e7d3038372cf8af55b9.png＝b51b719996b6aa66ab737ce16f1a9a1e.png，若9731e33a6ae612fb4564709febd8a5bc.png分別為A、B的縱坐標(biāo)，則74ad26aaeeaa9e7d3038372cf8af55b9.png＝870db5a8651b3d8a54644de9c9001b1e.png，

（若弦AB所在直線方程設(shè)為fbb0594faf6eabaf5fcf56bdcbceed3f.png，則74ad26aaeeaa9e7d3038372cf8af55b9.png＝a09f186918d0d5abcf33263ad8ed6bd9.png。特殊地，焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用其次定義求解，如例八。）

例十：直線f37095873a385c6512cb745773e5963a.png與雙曲線b5f1b6ce6aeb954b3dd6e9832ab14695.png相交于6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png兩點(diǎn)，則b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png=_____________

六、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：（直線和雙曲線的交點(diǎn)設(shè)而不求）

遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓0cec9b710303d54ed8956f1155f96ef5.png中，以e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=a8a7f19be81fd4a72aaf3a243bb45419.png；

例十一：過(guò)點(diǎn)d14187a3621c5dcb56103dd65d11aa87.png且被點(diǎn)M平分的雙曲線4de44403b61086f6eacdbb23f785fea2.png的弦所在直線方程為_(kāi)____________

例十二：已知雙曲線Cword/media/image75_1.png2x2－y2=2與點(diǎn)P(1，2)

word/media/image76_1.png(1)求過(guò)P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)word/media/image77_1.png

(2)若Q(1，1)，試推斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在word/media/image77_1.png

例十三：過(guò)雙曲線word/media/image57.gif的右焦點(diǎn)F2作傾斜角為word/media/image57.gif的直線word/media/image57.gif，它們的交點(diǎn)為A、B，求：

（1）線段AB的中點(diǎn)M與F2的距離；

（2）線段AB的長(zhǎng)度。

例十四：雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在X軸上，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，且斜率為word/media/image57.gif的直線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，若OP⊥OQ，word/media/image57.gif，求雙曲線的方程。

例十五：過(guò)點(diǎn)P（1，1）作雙曲線word/media/image57.gif的弦AB，使AB的中點(diǎn)恰與P點(diǎn)重合，這樣的弦AB是否存在并說(shuō)明理由。

word/media/image57.gif

例十三：雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在X軸上，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，且斜率為word/media/image57.gif的直線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，若OP⊥OQ，word/media/image57.gif，求雙曲線的方程。

解：設(shè)雙：word/media/image57.gif，直線PQ方程為

由word/media/image57.gif，消去word/media/image57.gif得word/media/image57.gif

設(shè)P（word/media/image57.gif），Q（word/media/image57.gif）

若word/media/image57.gif，故word/media/image57.gif，則直線PQ與雙曲線漸近線平行，與雙曲線只能有一個(gè)交點(diǎn)，與題設(shè)沖突，故word/media/image57.gif

故word/media/image57.gif

由于P、Q在直線word/media/image57.gif上可記為P（word/media/image57.gif），Q（word/media/image57.gif）

由OP⊥OQ，則word/media/image57.gif

整理得word/media/image57.gif

將（*）代入，又由word/media/image57.gif，并整理得word/media/image57.gif

即word/media/image57.gif

由word/media/image57.gif，則word/media/image57.gif

由word/media/image57.gif，得word/media/image57.gif2

整理得word/media/image57.gif將（*）式代入，又word/media/image57.gif

word/media/image57.gif代入，解得word/media/image57.gif，從而word/media/image57.gif，故雙曲線方程word/media/image57.gif

[例7]過(guò)點(diǎn)P（1，1）作雙曲線word/media/image57.gif的弦AB，使AB的中點(diǎn)恰與P點(diǎn)重合，這樣的弦AB是否存在并說(shuō)明理由。

word/media/image57.gif

解：設(shè)AB：word/media/image57.gif代入雙曲線方程并整理得

（*）

若word/media/image57.gif，不合題意，若word/media/image57.gif，由word/media/image57.gif，得word/media/image57.gif

若P是AB的中點(diǎn)，即word/media/image57.gif

word/media/image57.gif得word/media/image57.gif（舍去）

此時(shí)word/media/image57.gif，word/media/image57.gif代入（*）

當(dāng)word/media/image57.gif不存在時(shí)，直線word/media/image57.gif與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)

因此這樣的弦AB不存在

另法：設(shè)A（word/media/image57.gif），B（word/media/image57.gif），由A、B在雙曲線上

word/media/image57.gif兩式相減得word/media/image57.gif

word/media/image57.gif，其中

word/media/image57.gif，得word/media/image57.gif

word/media/image78.gif以下同解法1

關(guān)于雙曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)(2)

雙曲線方程1.雙曲線的第肯定義：

⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：.

一般方程：.

⑵①i.焦點(diǎn)在x軸上：

頂點(diǎn)：

焦點(diǎn)：

準(zhǔn)線方程

漸近線方程：或

ii.焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：.

焦點(diǎn)：.準(zhǔn)線方程：.

漸近線方程：或，參數(shù)方程：或

.

②軸為對(duì)稱(chēng)軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c.

③離心率.

④準(zhǔn)線距（兩準(zhǔn)線的距離）；通徑.

⑤參數(shù)關(guān)系.

⑥焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)）

“長(zhǎng)加短減”原則：

構(gòu)成滿(mǎn)意

（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào)）

⑶等軸雙曲線：雙曲線稱(chēng)為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.

⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.

⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為假如雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為.

例如：若雙曲線一條漸近線為且過(guò)，求雙曲線的方程？

解：令雙曲線的方程為：，代入得.

⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：

區(qū)域①：無(wú)切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；

區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；

區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；

區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；

區(qū)域⑤：即過(guò)原點(diǎn)，無(wú)切線，無(wú)與漸近線平行的直線.

小結(jié)：過(guò)定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.

（2）若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).

⑺若P在雙曲線，則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m=n，則P到兩準(zhǔn)線的距離比為m︰n.

簡(jiǎn)證：

=

.

常用結(jié)論2：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)

常見(jiàn)考法在段考中，多以選擇題、填空題和解答題的形式考查雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)。選擇題和填空題一般屬于簡(jiǎn)單題，解答題一般屬于難題。在高考中，一般以解答題的形式融合其它圓錐曲線聯(lián)合考查雙曲線的幾何性質(zhì)，難度較大。

誤區(qū)提示1、求雙曲線的方程，用待定系數(shù)法，先定位，后定量。不確定時(shí)要分類(lèi)爭(zhēng)論。

2、假如雙曲線中，涉及雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離或涉及焦點(diǎn)弦，一般可考慮使用雙曲線的定義，使用幾何法求解，比使用方程組要簡(jiǎn)潔。

關(guān)于雙曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)(3)

橢圓

學(xué)問(wèn)點(diǎn)一橢圓的定義（重點(diǎn)）

學(xué)問(wèn)點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

學(xué)問(wèn)點(diǎn)三橢圓的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)（重點(diǎn)）

學(xué)問(wèn)點(diǎn)四直線與橢圓的位置關(guān)系及判定

雙曲線

學(xué)問(wèn)點(diǎn)一雙曲線的定義（重點(diǎn)）

學(xué)問(wèn)點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

學(xué)問(wèn)點(diǎn)三雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)（重難點(diǎn)）

求雙曲線的漸近線方程

關(guān)于雙曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)(4)

四、雙曲線

一、雙曲線及其簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)

（一）雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離差的肯定值等于常數(shù)2a（0＜2a＜|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)；|F1F2|=2c，叫做焦距。

●備注：①當(dāng)|PF1|-|PF2|=2a時(shí)，曲線僅表示右焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支（即右支）；

當(dāng)|PF2|-|PF1|=2a時(shí)，曲線僅表示左焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支（即左支）；

②當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡為以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的2條射線；

③當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在。

雙曲線與（a>0,b>0）的區(qū)分和聯(lián)系

（二）雙曲線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)

1．范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0），從橫的方一直看，直線x=-a,x=a之間沒(méi)有圖象，從縱的方一直看，隨著x的增大，y的肯定值也無(wú)限增大。x的取值范圍________,y的取值范圍______

2.對(duì)稱(chēng)性：對(duì)稱(chēng)軸________對(duì)稱(chēng)中心________

3．頂點(diǎn)：(如圖)頂點(diǎn)：____________

特別點(diǎn)：____________

實(shí)軸：長(zhǎng)為2a,a叫做半實(shí)軸長(zhǎng)

虛軸：長(zhǎng)為2b，b叫做半虛軸長(zhǎng)

雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)

4．離心率：

雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比，叫做雙曲線的離心率范圍：___________________

雙曲線外形與e的關(guān)系：，e越大，即漸近線的斜率的肯定值就越大，這時(shí)雙曲線的外形就從扁狹漸漸變得開(kāi)闊由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越闊

5．雙曲線的其次定義：

到定點(diǎn)F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線其中，定點(diǎn)叫做雙

曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線常數(shù)e是雙曲線的離心率．

準(zhǔn)線方程：

對(duì)于來(lái)說(shuō)，相對(duì)于左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)著左準(zhǔn)線，

相對(duì)于右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)著右準(zhǔn)線；

6．漸近線

過(guò)雙曲線的兩頂點(diǎn)，作x軸的垂線，經(jīng)過(guò)作y軸的垂線，四條直線圍成一個(gè)矩形矩形的兩條對(duì)角線所在直線方程是____________或（），這兩條直線就是雙曲線的漸近線

雙曲線無(wú)限接近漸近線，但永不相交。

7．等軸雙曲線

定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線

性質(zhì)：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線相互垂直；（3）離心率

8．共漸近線的雙曲線系

與雙曲線（a＞0，b＞0）共漸近線的雙曲線方程可表示為(λ≠0且λ為待定常數(shù))

●備注：與雙曲線(a＞b＞0)共焦點(diǎn)的雙曲線方程可表示為

(λ＜a2,且b2＞-λ)

例1求與雙曲線-＝1有共同漸近線且過(guò)點(diǎn)(2，3)的雙曲線方程.

9．共軛雙曲線

以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱(chēng)為原雙曲線的共軛雙曲線

區(qū)分：三個(gè)量a,b,c中a,b不同（互換）c相同

共用一對(duì)漸近線雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上

確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?1

10_.雙曲線的焦半徑

定義：雙曲線上任意一點(diǎn)M與雙曲線焦點(diǎn)的連線段，叫做雙曲線的焦半徑

焦半徑公式的推導(dǎo)：利用雙曲線的其次定義，

設(shè)雙曲線，是其左右焦點(diǎn)則由其次定義：，

同理

11．通徑定義：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的焦點(diǎn)弦

關(guān)于雙曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)(5)

高中數(shù)學(xué)雙曲線方程學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)

：進(jìn)入高三總復(fù)習(xí)的第一階段，同學(xué)們應(yīng)從基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)抓起，扎扎實(shí)實(shí)，一步一個(gè)腳印地過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)點(diǎn)關(guān)。復(fù)習(xí)時(shí)，將雙曲線方程學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)嫻熟把握運(yùn)用，我相信您肯定可以提高數(shù)學(xué)成果!

1.雙曲線的第肯定義：

⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：.一般方程：.

⑵①i.焦點(diǎn)在x軸上：

頂點(diǎn)：焦點(diǎn)：準(zhǔn)線方程漸近線方程：或

ii.焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：.焦點(diǎn)：.準(zhǔn)線方程：.漸近線方程：或，參數(shù)方程：或.

②軸為對(duì)稱(chēng)軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c.③離心率.④準(zhǔn)線距(兩準(zhǔn)線的距離);通徑.⑤參數(shù)關(guān)系.⑥焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲線方程(分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn))

長(zhǎng)加短減原則：

構(gòu)成滿(mǎn)意(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào))

⑶等軸雙曲線：雙曲線稱(chēng)為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.

⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.

⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為假如雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為.

例如：若雙曲線一條漸近線為且過(guò)，求雙曲線的方程?

解：令雙曲線的方程為：，代入得.

⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：

區(qū)域①：無(wú)切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條;

區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條;

區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條;

區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條;

區(qū)域⑤：即過(guò)原點(diǎn)，無(wú)切線，無(wú)與漸近線平行的直線.

小結(jié)：過(guò)定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.

觀看內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原則，有目的、有方案的先支配與幼兒生活接近的，能理解的觀看內(nèi)容。隨機(jī)觀看也是不行少的，是相當(dāng)好玩的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲(chóng)等，孩子一邊觀看，一邊提問(wèn)，愛(ài)好很濃。我供應(yīng)的觀看對(duì)象，留意形象逼真，顏色鮮亮，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)行觀看，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f(shuō)得正確。在觀看過(guò)程中指導(dǎo)。我留意關(guān)心幼兒學(xué)習(xí)正確的觀看方法，即按挨次觀看和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀看，觀看與說(shuō)話(huà)相結(jié)合，在觀看中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀看雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問(wèn)幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說(shuō)：烏云像大海的波浪。有的孩子說(shuō)“烏云跑得飛速?！蔽壹右源_定說(shuō)“這是烏云滾滾?！碑?dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告知他“這叫電光閃閃?！苯又變郝?tīng)到雷聲驚叫起來(lái)，我抓住時(shí)機(jī)說(shuō)：“這就是雷聲隆隆?！币粫?huì)兒下起了大雨，我問(wèn)：“雨下得怎樣?”幼兒說(shuō)大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀看，讓幼兒把握“傾盆大雨”這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀看晴朗的天空，朗誦自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥(niǎo)兒飛，樹(shù)兒搖，太陽(yáng)公公咪咪笑?！边@樣抓住特征見(jiàn)景生情，幼兒不僅印象深刻，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語(yǔ)學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀看的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語(yǔ)、生活閱歷聯(lián)系起來(lái)，在進(jìn)展想象力中進(jìn)展語(yǔ)言。如啄木鳥(niǎo)的嘴是長(zhǎng)長(zhǎng)的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀―樣，給大樹(shù)開(kāi)刀治病。通過(guò)聯(lián)想，幼兒能夠生動(dòng)形象地描述觀看對(duì)象。(2)若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).

我國(guó)古代的讀書(shū)人,從上學(xué)之日起,就日誦不輟,一般在幾年內(nèi)就能識(shí)記幾千個(gè)漢字,熟記幾百篇文章,寫(xiě)出的詩(shī)文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿(mǎn)腹經(jīng)綸的文人。為什么在現(xiàn)代化教學(xué)的今日,我們念了十幾年書(shū)的高中畢業(yè)生甚至高校生,竟提起作文就頭疼,寫(xiě)不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就尖銳地提出:“中學(xué)校語(yǔ)文教學(xué)效果差,中學(xué)語(yǔ)文畢業(yè)生語(yǔ)文水平低,……十幾年上課總時(shí)數(shù)是9160課時(shí),語(yǔ)文是2749課時(shí),恰好是30%,十年的時(shí)間,二千七百多課時(shí),用來(lái)學(xué)本國(guó)語(yǔ)文,卻是大多數(shù)不過(guò)關(guān),豈非咄咄怪事!”尋根究底,其主要緣由就是腹中無(wú)物。特殊是寫(xiě)談?wù)撐?學(xué)校水平以上的同學(xué)都知道談?wù)撐牡摹叭亍笔钦擖c(diǎn)、論據(jù)、論證,也通曉談?wù)撐牡幕窘Y(jié)構(gòu):提出問(wèn)題――分析問(wèn)題――解決問(wèn)題,但真正動(dòng)起筆來(lái)就犯難了。知道“是這樣”,就是講不出“為什么”。根本緣由還是無(wú)“米”下“鍋”。于是便翻開(kāi)作文集錦之類(lèi)的書(shū)大段抄起來(lái),抄人家的名言警句,抄人家的事例,不參考作文書(shū)就很難寫(xiě)出像樣的文章。所以,詞匯貧乏、內(nèi)容空洞、千篇一律便成了中同學(xué)作文的通病。要解決這個(gè)問(wèn)題,不能單在布局謀篇等寫(xiě)作技方面下功夫,必需熟悉到“死記硬背”的重要性,讓同學(xué)積累足夠的“米”。

⑺若P在雙曲線，則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m=n，則P到兩準(zhǔn)線的距離比為m︰n.

簡(jiǎn)證：=.

常用結(jié)論2：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.

要練說(shuō)，先練膽。說(shuō)話(huà)膽小是幼兒語(yǔ)言進(jìn)展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說(shuō)話(huà)時(shí)顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽(tīng)；有的低頭不語(yǔ)，扯衣服，扭身子?？傊f(shuō)話(huà)時(shí)外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個(gè)關(guān)鍵，面對(duì)全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語(yǔ)言溝通關(guān)系。每當(dāng)和幼兒講話(huà)時(shí)，我總是笑臉相迎，聲音親切，動(dòng)作親昵，消退幼兒畏懼心理，讓他能主動(dòng)的、無(wú)拘無(wú)束地和我交談。二是注意培育幼兒敢于當(dāng)眾說(shuō)話(huà)的習(xí)慣。或在課堂教學(xué)中，轉(zhuǎn)變過(guò)去老師講同學(xué)聽(tīng)的傳統(tǒng)的教學(xué)模式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多實(shí)行自由爭(zhēng)論和談話(huà)的形式，給每個(gè)幼兒較多的當(dāng)眾說(shuō)話(huà)的機(jī)會(huì)，培育幼兒愛(ài)說(shuō)話(huà)敢說(shuō)話(huà)的愛(ài)好，對(duì)一些說(shuō)話(huà)有困難的幼兒，我總是仔細(xì)地急躁地聽(tīng)，熱忱地關(guān)心和鼓舞他把話(huà)說(shuō)完、說(shuō)好，增加其說(shuō)話(huà)的士氣和把話(huà)說(shuō)好的信念。三是要提明確的說(shuō)話(huà)要求，在說(shuō)話(huà)訓(xùn)練中不斷提高，我要求每個(gè)幼兒在說(shuō)話(huà)時(shí)要儀態(tài)大方，口齒清晰，聲音洪亮，學(xué)會(huì)用眼神。對(duì)說(shuō)得好的幼兒，即使是某一方面，我都抓住訓(xùn)練，提出表?yè)P(yáng)，并要其他幼兒仿照。長(zhǎng)期堅(jiān)持，不斷訓(xùn)練，幼兒說(shuō)話(huà)膽識(shí)也在不斷提高。

總結(jié)：整理的高三數(shù)學(xué)雙曲線方程學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)同學(xué)們復(fù)習(xí)以前沒(méi)有學(xué)會(huì)的數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)點(diǎn)，請(qǐng)大家仔細(xì)閱讀上面的文章，也祝福大家都能開(kāi)心學(xué)習(xí)，開(kāi)心成長(zhǎng)!

相關(guān)閱讀：備戰(zhàn)高考第一輪復(fù)習(xí)資料精匯

關(guān)于雙曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)(6)

高中雙曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)

雙曲線的第肯定義：

⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：.一般方程：.

⑵①i.焦點(diǎn)在x軸上：

頂點(diǎn)：焦點(diǎn)：準(zhǔn)線方程漸近線方程：或ii.焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：.焦點(diǎn)：.準(zhǔn)線方程：.漸近線方程：或，參數(shù)方程：或.

②軸為對(duì)稱(chēng)軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c.③離心率.④準(zhǔn)線距(兩準(zhǔn)線的距離);通徑.⑤參數(shù)關(guān)系.⑥焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲線方程(分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn))

長(zhǎng)加短減原則：

構(gòu)成滿(mǎn)意(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào))

⑶等軸雙曲線：雙曲線稱(chēng)為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.

⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.

⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為假如雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為.

例如：若雙曲線一條漸近線為且過(guò)，求雙曲線的方程?

解：令雙曲線的方程為：，代入得.

⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：

區(qū)域①：無(wú)切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條;

區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條;

區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條;

區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條;

區(qū)域⑤：即過(guò)原點(diǎn)，無(wú)切線，無(wú)與漸近線平行的直線.

小結(jié)：過(guò)定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.

(2)若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).

⑺若P在雙曲線，則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m=n，則P到兩準(zhǔn)線的距離比為m?Un.簡(jiǎn)證：=.

常用結(jié)論2：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.

關(guān)于雙曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)(7)

四、雙曲線

一、雙曲線及其簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)

（一）雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離差的肯定值等于常數(shù)2a（0＜2a＜|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)；|F1F2|=2c，叫做焦距。

●備注：①當(dāng)|PF1|-|PF2|=2a時(shí)，曲線僅表示右焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支（即右支）；

當(dāng)|PF2|-|PF1|=2a時(shí)，曲線僅表示左焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支（即左支）；

②當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡為以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的2條射線；

③當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在。

雙曲線45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png與1eaf2d864eea025b726d856566afe638.png（a>0,b>0）的區(qū)分和聯(lián)系

（二）雙曲線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)

word/media/image5_1.png1．范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0，b＞0），從橫的方一直看，直線x=-a,x=a之間沒(méi)有圖象，從縱的方一直看，隨著x的增大，y的肯定值也無(wú)限增大。x的取值范圍________,y的取值范圍______

2.對(duì)稱(chēng)性：對(duì)稱(chēng)軸________對(duì)稱(chēng)中心________

3．頂點(diǎn)：(如圖)頂點(diǎn)：____________

特別點(diǎn)：____________

實(shí)軸：43029b769764a1f5cda92a3ae74927c2.png長(zhǎng)為2a,a叫做半實(shí)軸長(zhǎng)word/media/image8_1.png

虛軸：d0c9cd1f0d44a8d87eaeeb1fb902aceb.png長(zhǎng)為2b，b叫做半虛軸長(zhǎng)word/media/image8_1.png

雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)

4．離心率：

雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比41e9f95fd877ba326f6e233727f99fdb.png，叫做雙曲線的離心率word/media/image8_1.png范圍：___________________

雙曲線外形與e的關(guān)系：9a81fc78d88ce41fa68efe3e11f6fee7.png，e越大，即漸近線的斜率的肯定值就越大，這時(shí)雙曲線的外形就從扁狹漸漸變得開(kāi)闊word/media/image8_1.png由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越闊word/media/image8_1.png

5．雙曲線的其次定義：

到定點(diǎn)F的距離與到定直線2db95e8e1a9267b7a1188556b2024b33.png的距離之比為常數(shù)632055509aebf0edab24d6f18fa7cd8d.png的點(diǎn)的軌跡是雙曲線word/media/image8_1.png其中，定點(diǎn)叫做雙

曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線word/media/image8_1.png常數(shù)e是雙曲線的離心率．

準(zhǔn)線方程：

對(duì)于45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png來(lái)說(shuō)，相對(duì)于左焦點(diǎn)b2b36be2c658b34023a05d2b691a511a.png對(duì)應(yīng)著左準(zhǔn)線d2a6b54248a1afdeade89fab5abb5c7a.png，

相對(duì)于右焦點(diǎn)4702529e9c7ce8371637fae82ccf0747.png對(duì)應(yīng)著右準(zhǔn)線5a112ddf8f6900c7efe54d2d6b4f1299.png；

6．漸近線

過(guò)雙曲線45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png的兩頂點(diǎn)147d59b004c6f99104e55e9e11059ea6.png，作x軸的垂線579a711165b4002aa3c7bade0b512d27.png，經(jīng)過(guò)fe1f49cab8f2107e2704c031cb5ace04.png作y軸的垂線0a0a751a7a480431b0159fd3c9d19a60.png，四條直線圍成一個(gè)矩形word/media/image8_1.png矩形的兩條對(duì)角線所在直線方程是____________或（dcafb309c73290a71b69b270742c19fe.png），這兩條直線就是雙曲線的漸近線word/media/image8_1.png

雙曲線無(wú)限接近漸近線，但永不相交。

7．等軸雙曲線

定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線word/media/image8_1.png

性質(zhì)：（1）漸近線方程為：b4706378698ae854a261d2ad415b2d98.png；（2）漸近線相互垂直；（3）離心率135e237d5ef3c16bb02f767bc9dd2b23.pngword/media/image8_1.png

8．共漸近線的雙曲線系

與雙曲線45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0，b＞0）共漸近線的雙曲線方程可表示為3651b2839081a500e2a80232838c9d5f.png(λ≠0且λ為待定常數(shù))

●備注：與雙曲線45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png(a＞b＞0)共焦點(diǎn)的雙曲線方程可表示為fd80a617f7d2e6dc81b4023c8525305e.png

(λ＜a2,且b2＞-λ)

例1求與雙曲線word/media/image28.gif-word/media/image28.gif＝1有共同漸近線且過(guò)點(diǎn)(2，3)的雙曲線方程.

9．共軛雙曲線

以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱(chēng)為原雙曲線的共軛雙曲線word/media/image8_1.png

區(qū)分：三個(gè)量a,b,c中a,b不同（互換）c相同word/media/image8_1.png

共用一對(duì)漸近線word/media/image8_1.png雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上word/media/image8_1.png

確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?1word/media/image8_1.png

10_.雙曲線的焦半徑

定義：雙曲線上任意一點(diǎn)M與雙曲線焦點(diǎn)8b73bdbf452fd7cf6840411396bfb043.png的連線段，叫做雙曲線的焦半徑

焦半徑公式的推導(dǎo)：利用雙曲線的其次定義，

設(shè)雙曲線ccd310c81cfc2f5206621d65f80df369.png，8b73bdbf452fd7cf6840411396bfb043.png是其左右焦點(diǎn)word/media/image8_1.png則由其次定義：18a9617f3776a417628d442d1a9f8612.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png1578d5f2f36e673edb55c62d6aaaf95d.pngda76d77b842bfda28846fd580221c5be.png同理e2d59e20b699c1efc5001a7efa0e94e9.pngword/media/image8_1.png

11．通徑定義：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的焦點(diǎn)弦word/media/image8_1.png7bb9d97a5442f0a5aae2e41ece2bd976.pngword/media/image8_1.png

寧可累死在路上，也不能閑死在家里！寧可去碰壁，也不能面壁。是狼就要練好牙，是羊就要練好腿。什么是奮斗？奮斗就是每天很難，可一年一年卻越來(lái)越簡(jiǎn)單。不奮斗就是每天都很簡(jiǎn)單，可一年一年越來(lái)越難。能干的人，不在心情上計(jì)較，只在做事上仔細(xì)；無(wú)能的人！不在做事上仔細(xì)，只在心情上計(jì)較。拼一個(gè)春夏秋冬！贏一個(gè)無(wú)悔人生！早安！—————獻(xiàn)給全部努力的人.

關(guān)于雙曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)(8)

雙曲線

1.點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.

2.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.

4.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）

5.若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過(guò)的雙曲線的切線方程是.

6.若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.

7.雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.

8.雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,

當(dāng)在右支上時(shí)，,.

當(dāng)在左支上時(shí)，,

9.設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.

10.過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.

11.AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。

12.若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.

關(guān)于雙曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)(9)

例1、已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程

例2、求下列條件下的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(1)與雙曲線－＝1有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)(－3，2)；

(2)與雙曲線－＝1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3，2)．

例3、(12分)雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)為A，x軸上有一點(diǎn)Q(2a,0)，若C上存在一點(diǎn)P，使·＝0，求此雙曲線離心率的取值范圍．

例4、3.(2024北京期末檢測(cè))若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為雙曲線上一點(diǎn)，且|PF1|＝3|PF2|，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是________．

練習(xí)

1．(2024安徽高考)雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是()

A．2B．2

C．4D．4

2．(2024山東高考)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為()

A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1

3.(2024嘉興測(cè)試)如圖，P是雙曲線－y2＝1右支(在第一象限內(nèi))上的任意一點(diǎn)，A1，A2分別是左、右頂點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線PA1，PO，PA2的斜率分別為k1，k2，k3，則斜率之積k1k2k3的取值范圍是()

A．(0,1)B．(0，)C．(0，)D．(0，)

4．(金榜猜測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)和C(5,0)，頂點(diǎn)B在雙曲線－＝1上，則為()

A.B.C.D.

5．P為雙曲線－＝1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為()

A．6B．7C．8D．9

6．(2024南寧模擬)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為該曲線上一點(diǎn)，若△PF1F2為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為()

A.＋1B.＋1

C．2D．2

7．方程＋＝1表示雙曲線．那么m的取值范圍是________．

8．(2024大連測(cè)試)在雙曲線4x2－y2＝1的兩條漸近線上分別取點(diǎn)A和B，使得|OA|·|OB|＝15，其中O為雙曲線的中心，則AB中點(diǎn)的軌跡方程是________．

9．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率是2，則的最小值是________．

10(2024肇慶模擬)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(－3,0)，一條漸近線的方程是x－2y＝0.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若以k(k≠0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍．

10．(文用)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為(，0)．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若直線：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A(0，－1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

雙曲線

考綱：了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)．

一、雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的．

1．與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的肯定值等于常數(shù)2a的動(dòng)點(diǎn)的軌跡肯定為雙曲線嗎？

提示：只有當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，軌跡才是雙曲線．若2a＝|F1F2|，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線，若2a＞|F1F2|，則軌跡不存在．

二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)

1、標(biāo)準(zhǔn)方程，2圖形，3性質(zhì)（范圍、對(duì)稱(chēng)性、定點(diǎn)、漸近線、離心率、實(shí)虛軸、a、b、c間的關(guān)系）

三、等軸雙曲線

等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，其方程為x2－y2＝a2，其離心率為e＝，漸近線方程為

考點(diǎn)1。雙曲線的定義及應(yīng)用

在運(yùn)用雙曲線的定義時(shí)，應(yīng)特殊留意定義中的條件“差的肯定值”，弄清是指整條雙曲線，還是雙曲線的哪一支

例1、已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程

設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由已知

|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，

∴|MC1|－|MC2|＝2.

又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴2＜|C1C2|.

依據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C1(－4,0)、C2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支．∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴點(diǎn)M的軌跡方程是：－＝1(x≥)．

考點(diǎn)2、求雙曲線的方程

求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

1．定義法，依據(jù)題目的條件，若滿(mǎn)意定義，求出相應(yīng)a、b、c即可求得方程．

2．待定系數(shù)法

(2)待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法

①與雙曲線－＝1有共同漸近線的雙曲線方程可表示為－＝t(t≠0)；

②若雙曲線的漸近線方程是y＝±x，則雙曲線的方程可表示為－＝t(t≠0)；③與雙曲線－＝1共焦點(diǎn)的方程可表示為－＝1(－b2＜k＜a2)；

④過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可表示為＋＝1(mn＜0)；

⑤與橢圓＋＝1(a＞b＞0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可表示為＋＝1(b2＜λ＜a2)．

例2、求下列條件下的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(1)與雙曲線－＝1有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)(－3，2)；

(2)與雙曲線－＝1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3，2)．

(1)解法一：經(jīng)檢驗(yàn)知雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，故設(shè)雙曲線的方程為－＝1，由題意，得解得a2＝，b2＝4，

所以雙曲線的方程為－＝1.

(2)解法一：設(shè)雙曲線方程為－＝1，由題意易求c＝2，又雙曲線過(guò)點(diǎn)(3，2)，∴－＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.－＝1.

解法二：設(shè)所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)，將點(diǎn)(－3,2)代入得λ＝.

所以雙曲線方程為－＝，即－＝1.

解法二：設(shè)雙曲線方程為－＝1，且16－k＞0,4＋k＞0.

將點(diǎn)(3，2)代入得k＝4，且滿(mǎn)意上面的不等式，所以雙曲線方程為－＝1.

1.在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，若x2的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；假如y2的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上，且對(duì)于雙曲線，a不肯定大于b.

2．若不能確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，可設(shè)雙曲線方程為：mx2＋ny2＝1(mn＜0)，以避開(kāi)分類(lèi)爭(zhēng)論．

考點(diǎn)3、雙曲線的幾何性質(zhì)

雙曲線的幾何性質(zhì)與代數(shù)中的方程、平面幾何的學(xué)問(wèn)聯(lián)系親密，解題時(shí)要深刻理解確定雙曲線的外形、大小的幾個(gè)主要特征量，如a、b、c、e的幾何意義及它們的相互關(guān)系，充分利用雙曲線的漸近線方程，簡(jiǎn)化解題過(guò)程

例3、(12分)雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)為A，x軸上有一點(diǎn)Q(2a,0)，若C上存在一點(diǎn)P，使·＝0，求此雙曲線離心率的取值范圍．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，

則由·＝0，得AP⊥PQ，

即P點(diǎn)在以AQ為直徑的圓上，

∴(x－)2＋y2＝()2.①又P點(diǎn)在雙曲線上，得－＝1.②

(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0.

即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.6分

當(dāng)x＝a時(shí)，P與A重合，不符合題意，舍去當(dāng)x＝時(shí)，滿(mǎn)意題意的P點(diǎn)存在，需x＝＞a，化簡(jiǎn)得a2＞2b2，即3a2＞2c2，＜.10分∴離心率e＝∈(1，).12分

例4、3.(2024北京期末檢測(cè))若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為雙曲線上一點(diǎn)，且|PF1|＝3|PF2|，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是________．

解析：依題意得，

由此解得|PF2|＝a≥c－a，即c≤2a，e＝≤2，

即該雙曲線的離心率不超過(guò)2.

又雙曲線的離心率大于1，

因此該雙曲線的離心率e的取值范圍是(1,2]．

1．(2024安徽高考)雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是()

A．2B．2

C．4D．4

解析：2x2－y2＝8化為標(biāo)準(zhǔn)形式：－＝1，∴a2＝4.∴a＝2.∴實(shí)軸長(zhǎng)2a＝4.

2．(2024山東高考)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為()

A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1

解析：由題意得，－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線方程為y＝±x，

即bx±ay＝0，又圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x－3)2＋y2＝4，半徑為2，圓心坐標(biāo)為(3,0)．

∴a2＋b2＝32＝9，且＝2，解得a2＝5，b2＝4.∴該雙曲線的方程為－＝1.

3.(2024嘉興測(cè)試)如圖，P是雙曲線－y2＝1右支(在第一象限內(nèi))上的任意一點(diǎn)，A1，A2分別是左、右頂點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線PA1，PO，PA2的斜率分別為k1，k2，k3，則斜率之積k1k2k3的取值范圍是()