金融工程學(xué)課件 高教版

2 遠(yuǎn)期價(jià)值價(jià)值的討論要分遠(yuǎn)期合約簽訂時(shí)和簽訂后兩種情形。在簽訂遠(yuǎn)期合約時(shí)，如果信息是對稱的，而多空雙方所選擇的交割價(jià)格應(yīng)使遠(yuǎn)期價(jià)值在簽署合約時(shí)等于零。而變化。3 遠(yuǎn)期價(jià)格是指使遠(yuǎn)期合約簽訂時(shí)價(jià)值為零的交割價(jià)格。遠(yuǎn)期價(jià)格是理論上的交割價(jià)格。關(guān)于遠(yuǎn)期價(jià)格的討論也要分遠(yuǎn)期合約簽訂時(shí)和簽訂后兩種情形。在遠(yuǎn)期合約簽訂之后，交割價(jià)格已經(jīng)確定，遠(yuǎn)期合約價(jià)值不一定為零，遠(yuǎn)期價(jià)格也就不一定等于交割價(jià)格。4 類似地，在期貨合約中，我們定義期貨價(jià)格Prices）為使得期貨合約價(jià)值為零的理論交割價(jià)格。但值得注意的是，對于期貨合約來說，一般較少談及因此期貨合約價(jià)值在每日收盤后都?xì)w零。5 當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率恒定且對所有到期日都相同時(shí)，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈正相關(guān)時(shí)，期貨價(jià)格高于遠(yuǎn)期價(jià)格。－ 這是因?yàn)楫?dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升時(shí)，期貨價(jià)格通常也會隨之升高，期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即獲利，并可按高于期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即虧損，但是可按低于平均利率的利率從市場上融資以補(bǔ)充保證金。相比之下，遠(yuǎn)期合約的多頭將不會因利率的變動(dòng)而受到上述影響。在此情況下，期貨多頭比遠(yuǎn)期多頭更具吸引力，期貨價(jià)格自然就大于遠(yuǎn)期價(jià)格。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈負(fù)相關(guān)時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格就會高于期貨價(jià)格。6 遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的差異幅度還取決于合約有效期的長短。當(dāng)有效期只有幾個(gè)月時(shí)，兩者的差距通常很小。此外，稅收、交易費(fèi)用、保證金的處理方式、違約風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性等方面的因素或差異都會導(dǎo)致遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的差異。其差別主要體現(xiàn)在交易機(jī)制和交易費(fèi)用的差異上，在很多情況下常常可以忽略，或進(jìn)行調(diào)整。因此在大多情況下，我們可以合理地假定遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格相等，并都用F來表示。7為分析簡便起見，本章的分析是建立在如下假設(shè)前提下的：沒有交易費(fèi)用和稅收。市場參與者能以相同的無風(fēng)險(xiǎn)利率借入和貸出資金。遠(yuǎn)期合約沒有違約風(fēng)險(xiǎn)。允許現(xiàn)貨賣空。當(dāng)套利機(jī)會出現(xiàn)時(shí)，市場參與者將參與套利活動(dòng)，套利機(jī)會下的均衡價(jià)格。期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風(fēng)險(xiǎn)利率。這空頭地位。8 本章將要用到的符號主要有：T：遠(yuǎn)期和期貨合約的到期時(shí)間，單位為年。t：現(xiàn)在的時(shí)間，單位為年。變量T和t是從合約生效之前的某個(gè)日期開始計(jì)算的，T-t代表遠(yuǎn)期和期貨合約中以年為單位的距離到期時(shí)間的剩余時(shí)間。S：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間t時(shí)的價(jià)格。ST：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間T時(shí)的價(jià)格（在t時(shí)刻這個(gè)值是個(gè)未知變量）。K：遠(yuǎn)期合約中的交割價(jià)格。f：遠(yuǎn)期合約多頭在t時(shí)刻的價(jià)值，即t時(shí)刻的遠(yuǎn)期價(jià)值。9 F：t時(shí)刻的遠(yuǎn)期合約和期貨合約中的理論遠(yuǎn)期價(jià)格和理論期貨價(jià)格，在本書中如無特別注明，我們分別簡稱為遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格。r：T時(shí)刻到期的以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的t時(shí)刻的無風(fēng)險(xiǎn)利率（年利率），在本書中，如無特別說明，利率均為連續(xù)復(fù)利的年利率。10 11 本章所用的定價(jià)方法為無套利定價(jià)法?；舅悸窞椋簶?gòu)建兩種投資組合，令其終值相等，則其現(xiàn)值一定相等；否則就可進(jìn)行套利，即賣出現(xiàn)值較高的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可賺取無風(fēng)險(xiǎn)收益。眾多套利者這樣做的結(jié)果，將使較高現(xiàn)值的投資組合價(jià)格下降，而較低現(xiàn)值的投資組合價(jià)格上升，直至套利機(jī)會消失，此時(shí)兩種組合的現(xiàn)值相等。這樣，我們就可根據(jù)兩種組合現(xiàn)值相等的關(guān)系求出遠(yuǎn)期價(jià)格。12 例如，為了給無收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價(jià)，我們構(gòu)建如下兩個(gè)組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金；組合B組合B組合B遠(yuǎn)期合約組合A遠(yuǎn)期合約組合A

標(biāo)的資產(chǎn)13 在組合A的現(xiàn)金以無風(fēng)險(xiǎn)利率投資，。到T時(shí)刻，其金額將達(dá)到K。這是因在遠(yuǎn)期合約到期時(shí)，這筆現(xiàn)金剛好可用來交割換來一單位標(biāo)的資產(chǎn)。這樣，在T時(shí)刻，兩種組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)。根據(jù)無套利原則：終值相等，則其現(xiàn)值一定相等，這兩種組合在t時(shí)刻的價(jià)值必須相等。即：f+Ke-r（T－t）=S=-） （3.1）標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格與交割價(jià)格現(xiàn)值的差額。14由于遠(yuǎn)期價(jià)格就是使遠(yuǎn)期合約價(jià)值為零的交割價(jià)格K，即當(dāng)f=0時(shí)K=F。據(jù)此可令式（3.1）中的f =0，則FSer(Tt)

(3.2)這就是無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理（Spot-ForwardParityTheorem），（Spot-FuturesParityTheorem）無風(fēng)險(xiǎn)利率計(jì)算的終值。15為了證明無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-證法證明等式不成立時(shí)的情形是不均衡的。若即交割價(jià)格大于現(xiàn)貨價(jià)格的終值。在這種情況下，套利者可以按無風(fēng)險(xiǎn)利率r借入S現(xiàn)金期限為。然后用S購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，同時(shí)賣出一份該資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)格為K。在T時(shí)刻，該套利者就可將一單位標(biāo)的資產(chǎn)用于交割換來K現(xiàn)金，并歸還借款本息Se，這就實(shí)現(xiàn)了 Sr的無風(fēng)險(xiǎn)利潤。16若K<SeK現(xiàn)金購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，用于歸還賣空時(shí)借入的標(biāo)的資產(chǎn)，從而實(shí)現(xiàn)Ser（T－t）-K的利潤。17遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)描述的是不同期限遠(yuǎn)期價(jià)格之間的關(guān)系。設(shè)F為在T時(shí)刻交割的遠(yuǎn)期價(jià)格，F(xiàn)*為在T*時(shí)刻交割的遠(yuǎn)期價(jià)格,r為T時(shí)刻到期的無風(fēng)險(xiǎn)利率,r*為T*時(shí)刻到期的無風(fēng)險(xiǎn)利率。對于無收益資產(chǎn)而言，從無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)公式可知,FF*兩式消除掉S后，

Ser(Tt)Ser*(T*t)F*

Fer*(T*t)r(Tt)

（3.3）18 19 仍然采用無套利定價(jià)法給支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價(jià)。構(gòu)建如下兩個(gè)組合：組合AKe–r組合B：一單位標(biāo)的證券加上利率為無風(fēng)險(xiǎn)利率、期限為從當(dāng)前時(shí)刻到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I的負(fù)債。20 組合A在T時(shí)刻的價(jià)值等于一單位標(biāo)的證券。在組合B中，由于標(biāo)的證券的現(xiàn)金收益剛好可以用來償還負(fù)債的本息，因此在T時(shí)刻，該組合的價(jià)值也等于一單位標(biāo)的證券。因此，在t時(shí)刻，這兩個(gè)組合的價(jià)值應(yīng)相等，即fKer(Tt)

SIf SI

Ker(Tt

(3.4)從組合的角度考慮，式（3.4）說明支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭價(jià)值等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價(jià)格扣除現(xiàn)金收益現(xiàn)值后的余額與交割價(jià)格現(xiàn)值之差。21 根據(jù)遠(yuǎn)期價(jià)格的定義，我們可從式中求得：

fSI(Tt)F (S

I)er(Tt

（3.5）這就是支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)公式。式（3.5）表明，支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價(jià)格與已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值差額的終值。22 反證法：假設(shè)

(SIer(Tt即交割價(jià)格高于遠(yuǎn)期理論價(jià)格。則套利者可以進(jìn)行如下操作：以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入現(xiàn)金S買入標(biāo)的資產(chǎn)，并賣出一份交割價(jià)為K的遠(yuǎn)期合約，將在T-t期間從標(biāo)的資產(chǎn)獲得的現(xiàn)金收益以無風(fēng)險(xiǎn)利率貸出至T時(shí)刻。這樣，到T時(shí)刻，套利者將標(biāo)的資產(chǎn)用于交割得到現(xiàn)金收入K，還本付息

Ser(Tt

同時(shí)得到

Ier(

t)的本利收入。最終套利者在T時(shí)刻可實(shí)現(xiàn)無風(fēng)險(xiǎn)利潤。 K(S

I)er(Tt)23

(S

I)er(Tt

，即交割價(jià)格低于遠(yuǎn)期理論價(jià)格。則套利者可以進(jìn)行反向操作：借入標(biāo)的資產(chǎn)賣掉，得到現(xiàn)金收入S以無風(fēng)險(xiǎn)利率貸出，同時(shí)買入一份交割價(jià)為K的遠(yuǎn)期合約。在T時(shí)刻，套利者可得到貸款本息收入e(Tt)出現(xiàn)金K換得一單位標(biāo)的證券，用于歸還標(biāo)的證券的原所有者，并把該標(biāo)的證券在期間的現(xiàn)金益的終值 同時(shí)t)所有者。這樣，該套利在T時(shí)刻可實(shí)現(xiàn)無風(fēng)險(xiǎn)利潤 。(SI)er(Tt)K24 25 為了給支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價(jià)，我們可以構(gòu)建如下兩個(gè)組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ker(Tt)的現(xiàn)金；組合eq(Tt

單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的已知收益率。組合A在T時(shí)刻的價(jià)值等于一單位標(biāo)的證券。組合B由于獲得的紅利收入全部都再投資于該證券，擁有的證券數(shù)量隨著紅利的不斷發(fā)放而增加，所以在時(shí)刻T，正好擁有一單位標(biāo)的證券。26 因此在t時(shí)刻兩個(gè)組合的價(jià)值也應(yīng)相等，即：fKer(Tt)Seq(Tt)f Seq(Tt)Ker(Tt

（3.6）根據(jù)遠(yuǎn)期價(jià)格的定義，我們可根據(jù)式（3.6）算出支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格：FSe(rq)(Tt

（3.7）這就是支付已知收益率資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)公式。式（3.7）表明，支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格等于按無風(fēng)險(xiǎn)利率與已知收益率之差計(jì)算的現(xiàn)貨價(jià)格在T時(shí)刻的終值。27 28 從直覺上理解，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)無收益，投資者A計(jì)劃出售一單位標(biāo)的資產(chǎn)，以下兩種方法應(yīng)該是等價(jià)的：在當(dāng)前時(shí)刻賣出一份遠(yuǎn)期價(jià)格為F的遠(yuǎn)期合約T時(shí)刻交割必定能獲得F；在當(dāng)前t時(shí)刻立刻出售獲得S，并以無風(fēng)險(xiǎn)利率r貸出，這樣在T時(shí)刻可以獲得確定性收入

Ser(Tt)。由于t時(shí)刻兩種投資的價(jià)值都為S，T時(shí)刻的兩種確定性收入應(yīng)相等：

FSer(Tt)如果實(shí)際價(jià)格高于或低于上述理論價(jià)格F，市場上就存在套利機(jī)會。注意，這里所謂的完美市場，就是我們在本章第一節(jié)中所討論的基本假設(shè)成立的市場。29 我們可以用持有成本（Cost-of-Carry）的概念來概括遠(yuǎn)期價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系。持有成本的基本構(gòu)成如下：持有成本＝保存成本＋無風(fēng)險(xiǎn)利息成本－標(biāo)的資產(chǎn)在合約期限內(nèi)提供的收益30 舉例來說，不支付紅利的股票沒有保存成本和收益，所以持有成本就是利息成本r；股票指數(shù)的資產(chǎn)紅利率為q，其持有成本就為r-q；貨幣的收益率為rf，所以其持有成本是r-rf；對黃金和白銀等投資性商品而言，若其存儲成本與現(xiàn)貨價(jià)格的比例為u，則其持有成本就為r＋u；依此類推。所以，如果我們用c表示持有成本，遠(yuǎn)期價(jià)格就為:相應(yīng)地：

FSec(Tt)

（3.8）f F

Sec(Tt

（3.9）31 存在交易成本的時(shí)候，假定每一筆交易的費(fèi)率為那么不存在套利機(jī)會的遠(yuǎn)期價(jià)格就不再是確定的值，而是一個(gè)區(qū)間：S1YerTt),S1YerTt)借貸存在利差的時(shí)候，如果用rb表示借入利率，用rl表示借出利率，對非銀行的機(jī)構(gòu)和個(gè)人，一般是rb>rl這時(shí)遠(yuǎn)期和期貨的價(jià)格區(qū)間為：elTt),ebTt)32 所得作為保證金。假設(shè)這一比例為X，那么均衡的遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格區(qū)間應(yīng)該是：

1rTt),erTt)如果上述三種情況同時(shí)存在，遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格區(qū)間應(yīng)該是：1S1YelTt,S1YebTt

的特殊情況。33 本書的討論焦點(diǎn)是金融標(biāo)的資產(chǎn)的衍生產(chǎn)品，金融標(biāo)的資產(chǎn)屬于投資性資產(chǎn)。所謂投資性資產(chǎn)資產(chǎn)，如股票、債券等金融資產(chǎn)和黃金、白銀等資產(chǎn)。－ 投資者所關(guān)注的是金融資產(chǎn)中所蘊(yùn)涵的風(fēng)險(xiǎn)收益特征而非金融產(chǎn)品本身，因此標(biāo)的資產(chǎn)及其期貨之間存在高度的可替代性，只要相對價(jià)格水平不合理，投資者隨時(shí)可在這兩者之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。所以，在這樣的市場上，只要沒有其他的制度制約套利行為，期貨的定價(jià)就成為一個(gè)純粹的風(fēng)險(xiǎn)收益問題，相應(yīng)地?zé)o套利原則和持有成本模型就成為遠(yuǎn)期定價(jià)的基本原理。34 消費(fèi)性資產(chǎn)則是指那些投資者主要出于消費(fèi)目的而持有的資產(chǎn)，如石油、銅、農(nóng)產(chǎn)品等。對于消費(fèi)性資產(chǎn)來說，遠(yuǎn)期定價(jià)公式F為：

Sec(Tt

不再適用，而是轉(zhuǎn)化FSec(Tt)原因在于消費(fèi)性的標(biāo)的資產(chǎn)具有消費(fèi)價(jià)值，而遠(yuǎn)期卻無法即時(shí)消費(fèi)，消費(fèi)性的標(biāo)的資產(chǎn)與其遠(yuǎn)期之間并不具有完全的可替代性。因此即使在遠(yuǎn)期價(jià)值相對偏低的時(shí)候投資者也不會輕易出售現(xiàn)貨，購買遠(yuǎn)期，從而使得單純基于風(fēng)險(xiǎn)收益考慮的金融無套利原則不再完全有效。3536

FSec(Tt) ?？梢詮娜齻€(gè)角度分析F和S之間的關(guān)系：第一，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期（期貨）存續(xù)期內(nèi)沒有收益、已知現(xiàn)金收益較小、或已知收益率小于無風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格應(yīng)高于標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前現(xiàn)貨價(jià)格；當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期（期貨）存續(xù)期內(nèi)的已知現(xiàn)金收益較大或已知收益率大于無風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格應(yīng)小于標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前現(xiàn)貨價(jià)格。在遠(yuǎn)期（期貨）到期日，遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格將收斂于標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格（這是套利行為決定的）。37 第二，標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格對同一時(shí)刻的遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格起著重要的制約作用，正是這種制約關(guān)系決定了遠(yuǎn)期（期貨）是無法炒作的。但是，如果現(xiàn)貨市場規(guī)模不夠大，現(xiàn)貨價(jià)格無法形成對遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格的有效制約，遠(yuǎn)期（期貨）市場就遲早會因惡性投機(jī)而出問題。38第三，對式（3.8）進(jìn)行變換，可得SFec(Tt)在現(xiàn)實(shí)生活中，大量實(shí)證研究表明，在面臨新的市場信息沖擊時(shí)，投資者越來越多地先在遠(yuǎn)期（期貨）市場上進(jìn)行操作，使得新信息往往先在遠(yuǎn)期（期貨）市場上得到反映，然后才傳達(dá)至現(xiàn)貨市場，從而使得F反過來具有引領(lǐng)S價(jià)格變化的信號功能。當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格對當(dāng)前現(xiàn)貨價(jià)格的這種引領(lǐng)作用也被稱為遠(yuǎn)期（期貨）的“價(jià)格發(fā)現(xiàn)”（PriceDiscovery）功能。39 根據(jù)預(yù)期收益率的概念，我們有：E(ST)

S