希爾伯特的23個問題

巴黎圣母院的鐘聲迎來了20世紀。1900年，人們都吧眼光放在未來：無產階級正在組織沸騰的革命，科學家憧憬著驚人的突破，藝術家在追逐時代的潮流……。這一年的8月6日，第二屆國際數(shù)學家代表會議在巴黎召開。年方38歲的德國數(shù)學家大衛(wèi)?希爾伯特走上講臺，第一句話就問道：“揭開隱藏在未來之中的面紗，探索未來世紀的發(fā)展前景，誰不高興呢？”接著，他向到會者，也向國際數(shù)學界提出了23個數(shù)學問題，這就是著名的希爾伯特演說。這一演說，成為世界數(shù)學史的重要里程碑，為20世紀的數(shù)學發(fā)展揭開了光輝的第一頁！科學發(fā)展的每一個時代都有自己的問題。希爾伯特站在當時數(shù)學研究的最前沿，高瞻遠矚地用23個數(shù)學問題，預示20世紀數(shù)學發(fā)展的進程?，F(xiàn)在，時光已過去80多年。這23個問題約有一半已獲得解決，有一些取得了很大進展，有些則收效甚微。80年來，人們把解決希爾伯特問題，哪怕是其中一部分，都看成至高無上的榮譽。據(jù)統(tǒng)計，從19361974年，被育為數(shù)學界諾貝爾獎的菲爾茲（Fields）國際數(shù)學獎的20名獲獎人中，至少有12人的工作與希爾伯特問題有關。1976年，美國數(shù)學會組織評論1940年以來的美國十大數(shù)學成就，就有3項是希爾伯特問題的（1）、（5）、（10）等3個問題的解決。重要的問題歷來是推動科學前進的杠桿之一，但一位科學家如此自覺、如此集中地提出一整批問題，并且如此持久地影響一門學科的發(fā)展，在科學史上確是罕見的。希爾伯特，1862年生于德國德哥尼斯堡（現(xiàn)為蘇聯(lián)的加里寧格勒）。1884年獲哥尼斯堡大學博士學位。1895年擔任著名的哥廷根大學教授，直到1943年去世。他最初的研究領域是代數(shù)不變量和代數(shù)數(shù)論。1900年前后致力于數(shù)學基礎——元數(shù)學。后來又轉到分析方面，在積分方程、變分法、泛函分析、理論物理等許多領域作出了杰出的貢獻。希爾伯特為發(fā)表1900年的重要演說，曾作過仔細的準備。1899年，第二屆國際數(shù)學家會議的籌備機構邀請希爾伯特在會上作主要發(fā)言。希爾伯特接受了邀請，并計劃在這世紀交替之際作一個相稱的發(fā)言。當時他有兩個想法：或者作一個為純粹數(shù)學辯護的講演，或者討論一下新世紀數(shù)學發(fā)展的方向。為此，他寫信與他的好友，杰出的數(shù)學家閔可夫斯基進行商量。閔可夫斯基于1900年1月5日回信說：“最有吸引力的題材莫過于展望未來，列出在新世紀里數(shù)學家應當努力解決的問題。這樣一個題材，將會使你的講演在今后幾十年的時間里成為人們議論的話題?！碑斎?，閔可夫斯基也指出了做這類預見性發(fā)言會遇到的困難。經過一番斟酌，希爾伯特決意選擇第二個想法，提出一批急需解決的重大數(shù)學問題。希爾伯特曾指出，歷史上通過提出問題會導致整門新科學的誕生。他舉了三個典型例子。第一，貝努利（Bernoulli）的最速降落線問題是現(xiàn)代數(shù)學分支——變分法的起源。第二，費爾馬（Fermat）問題，它看上去“非常特殊，似乎不十分重要”，卻大大推動了代數(shù)數(shù)論的進展，現(xiàn)代代數(shù)數(shù)論中的核心概念“理想數(shù)”正是為了解決費爾馬問題而提出的。第三，三體問題，它對現(xiàn)代天體力學起了關鍵作用。這三個問題，既有純粹從數(shù)學本身提出的，也有從基本自然現(xiàn)象提出的。希爾伯特提出的問題后來也確實形成了許多新的數(shù)學分支，達到了預期的目的。對希爾伯特來說，在國際數(shù)學家會議上報告自己的成果，遠比提出新問題要容易得多，當時，希爾伯特正當科學創(chuàng)造活動的盛年，業(yè)已作出了許多世所公認得成績。人們本來以為他會拿出優(yōu)異的數(shù)學論文來回答國際數(shù)學界，卻沒有想到他竟會選擇如此困難的題目來作講演。希爾伯特接受任務以后，一直作著仔細的準備，直到6月份，他的講演稿還沒有寫出來。預定8月在巴黎舉行國際數(shù)學家會議的日程已發(fā)到代表們手中，其中沒有列入希爾伯特的講演。7月中旬，他才給閔可夫斯基寄去第一稿的樣本。閔可夫斯基和希爾伯特的另一位學長和朋友胡爾維茨（A.Hurwitz）對初稿進行研究，幫助希爾伯特作了修改。如果從1899年底開始考慮選題算起，希爾伯特為了提出這23個題目整整花了8個月的時間。希伯爾特的演說獲得了極大的成功。各國的數(shù)學雜志紛紛轉載他的演說稿，大批數(shù)學家投入解決希伯爾特問題的激流中去。第3問題當年就被希伯爾特的學生德恩（Dehn,18781952）所解決。迄今為止，已完滿解決的希爾伯特問題約占一半，有幾個問題比較籠統(tǒng)，難以判定解決與否，大約還有三分之一的問題仍懸而未決，有的有了部分進展，有的則差得很遠。1975年，在美國的伊利諾斯大學召開了一次國際數(shù)學會議，邀請世界著名數(shù)學家參加，專門研究希爾伯特問題的進展。會后出版的論文集詳細地介紹了各個問題的進展（見《MathematicalDevelopmentsArisingfromHilbertProblems》一書）。大數(shù)學家韋爾（H-Weyl）在希爾伯特去世時的悼詞中曾說：“希爾伯特就象穿雜色衣服的風笛手，他那甜蜜的笛聲誘惑了如此眾多的老鼠，跟著他跳進了數(shù)學的深河?！睂τ兄镜娜藗儊碚f，這23個問題正是這樣一種甜蜜的笛聲，我們至今似乎仍能聽到它的召喚。值得高興的是，中國數(shù)學家在第8和第16問題上曾經作出一些貢獻。附錄希爾伯特23問題的解決情況（1） 康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題1874年，康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設。1938年，橋居美國的奧地利數(shù)學家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設和ZF集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學家科恩（P-Cohen）證明連續(xù)統(tǒng)假設和ZF公理是彼此獨立的。因此，連續(xù)統(tǒng)假設不能用世所公認的ZF公理證明其對錯。希爾伯特第一問題在這一意義上已獲解決。（2）算術公理的無矛盾性歐氏幾何的無矛盾性可歸結為算術公里的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明。歌德爾在1931年發(fā)表不完備性定理加以否定。1936年根茨（G?Gentzen,19091945）在使用超限歸納法的條件下證明了算術公理的無矛盾性。（3） 兩個等底等高四面體的體積相等問題問題的意思是：存在兩個等高等底的四面體，它們不可能分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。德恩證明確實存在著這樣的兩個四面體（1900）。（4） 兩點間以直線為距離最短線問題次問題提得過于一般。滿足此性質的幾何學很多，因而需加以某些限制條件。1973年蘇聯(lián)數(shù)學家波格列洛夫（Poglelov）宣布，在對稱距離情況下，問題獲得解決。（5） 一個連續(xù)變換群的李氏概念，定義這個群的函數(shù)不假定是可微的這個問題簡稱連續(xù)群的解析性，即是否每一個局部歐氏群都一定是李群？中間經過馮?諾伊曼（1933對緊群情形）、邦德里雅金（Pontrja-qin）（交換群情形，1939）、歇瓦萊（Chevalley）（1941對可解群情形）的努力，于1952年，由格利森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊賓（Zippin）共同解決了，得到了完全肯定的結果。（6） 物理學的公理化希爾伯特建議用數(shù)學的公理化方法推演出全部物理，首先是概率論和力學。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫（Kolmogoroff）將概率論公理化。后來在量子力學、量子場論方面取得了很大成功。但是物理學是否能全盤公理化，很多人表示懷疑。（7） 某些數(shù)的超越性問題要求證明：若是代數(shù)數(shù)，是無理數(shù)的代數(shù)數(shù)，則一定是超越數(shù)或至少是無理數(shù)（例如和）。1934年蘇聯(lián)數(shù)學家蓋爾封特（A.O.Gelfond）證明這是對的。1935年，德國數(shù)學家施奈德（Schneider）也獨立地解決了這一問題。（8） 素數(shù)問題素數(shù)是一個古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、歌德巴赫（Goldbach）猜想以及攣生素數(shù)問題。黎曼猜想至今未能解決。歌德巴赫猜想亦未最終解決，中國陳景潤取得領先地位。目前攣生素數(shù)的最佳結果也屬于陳景潤。（9） 在任意數(shù)域中證明最一般的互反律該問題已由德國數(shù)學家阿廷（E?Artin）給予基本解決（1927），但至今仍在繼續(xù)發(fā)展類域理論。（10） 丟番圖（Diophantus）方程的可解性求出一個整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210290，古希臘數(shù)學家）方程可解。希爾伯特問，是否能用一種有限步構成的一般算法判斷一個丟番圖方程的可解性？1950年前后，美國數(shù)學家戴維斯（Davis）、普特南（Putnam）、羅賓遜（Robinson）等取得關鍵性突破，1970年，蘇聯(lián)的馬蒂塞維奇（Matijasevic）最終證明：第10問題的答案是否定的。盡管得出了否定的結果，卻產生了一系列很有價值的副產品，其中不少和計算機科學有密切關系。（11） 任意代數(shù)數(shù)系數(shù)的二次型德國人海塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結果。60年代，法國的魏依（A?Weil）取得了新進展。（12） 將阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去這一問題只有一些零星的結果，離徹底解決還相差很遠。（13） 用兩變量函數(shù)解一般七次方程的不可能性七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于3個參數(shù)a、b、c；x=x（a,b,c），這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來？這一問題已接近解決。蘇聯(lián)數(shù)學家阿諾爾德（V?I?Arnold）解決了連續(xù)函數(shù)的情形（1957）。1964年維土斯金（Vituskin）又推廣到連續(xù)可微函數(shù)情形。如果求解析函數(shù)，則問題尚未解決。（14）某些完備函數(shù)系的有限性的證明這和代數(shù)不變量問題有關。日本數(shù)學家永田雅宜給出了漂亮的反例（1959）。（15） 舒伯特（Schubert）計數(shù)演算的嚴格基礎一個典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴格基礎?，F(xiàn)在已有了一些可計算的方法，它和代數(shù)幾何學有密切聯(lián)系。但嚴格的基礎迄今仍未確立。（16） 代數(shù)曲線和代數(shù)曲面的拓撲問題這個問題分為兩部分。前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部分要求討論的極限環(huán)的最大個數(shù)和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式。蘇聯(lián)的彼德羅夫斯基（Petrovsk）院士曾證時極限環(huán)的個數(shù)不超過3。1979年，中國的史松齡以及王明淑分別舉出有四個極限環(huán)的反例。（17） 半正定形式的平方和表示一個實系數(shù)n元多項式對一切數(shù)組（Xp…必n）都恒大于或等于0，是否都能寫成平方和的形式？1927年，阿廷證明這是對的。（18） 用全等多面體構造空間德國數(shù)學家比勃巴赫（Bieberbach）（1910）、萊因哈特（Reinhardt）（1928）作出部分解決。（19） 正則變分問題的解是否一定解析這一問題的研究很少。伯恩斯坦（S?Bernstein）和彼德羅夫斯基等得出了一些結果。（20） 一般邊值問題這一問題得進展十分迅速，已成為一個很大的數(shù)學分支。目前還在繼續(xù)研究。（21） 具有指定單值群的線性微分方程解的存在性證明已由希爾伯特本人（1905）和勒爾（H-Rohrl）（1957）、德利涅（P?DQligne）（1970）等人所解決。（22） 由自守函數(shù)構成的解析函數(shù)的單值化它涉及艱深的黎曼曲面論，1907年克伯（P?Koebe）獲重要突破，其他方面尚未解決。（23） 變分法的進一步發(fā)展這不是一個明確的數(shù)學問題，只是談了對變分法的一般看法。20世紀變分法有了長足發(fā)展。從上面