2011中考沖刺數(shù)學(xué)專題6

PAGEPAGE62011中考沖刺數(shù)學(xué)專題6——綜合型問題例題1（2010四川攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)P作直線PQ∥BD,交CD邊于Q點(diǎn)，再把△PQC沿著動(dòng)直線PQ對折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是R點(diǎn)。設(shè)CP=x,△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y。（1）求∠CPQ的度數(shù)。（2）當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)R落在矩形ABCD的邊AB上？（3）當(dāng)點(diǎn)R在矩形ABCD外部時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。并求此時(shí)函數(shù)值y的取值范圍。例題3（2010浙江義烏）如圖1，已知∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），連結(jié)AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連結(jié)QE并延長交射線BC于點(diǎn)F.（1）如圖2，當(dāng)BP=BA時(shí)，∠EBF=°，猜想∠QFC=°；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明；圖1ACBEQFP圖2ABEQPFC圖1ACB圖1ACBEQFP圖2ABEQPFC圖1ACBEQFP例題4（2010重慶）已知：如圖（1），在直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為2的等邊△的頂點(diǎn)在第一象限，頂點(diǎn)在軸的正半軸上.另一等腰△的頂點(diǎn)在第四象限，，．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒3個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止．（1）求在運(yùn)動(dòng)過程中形成的△的面積與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；（2）在等邊△的邊上（點(diǎn)除外）存在點(diǎn)，使得△為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖(2)，現(xiàn)有，其兩邊分別與，交于點(diǎn)，，連接．將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角），使得，始終在邊和邊上．試判斷在這一過程中，△的周長是否發(fā)生變化？若沒變化，請求出其周長；若發(fā)生變化，請說明理由．例題5（2010甘肅蘭州）如圖1，已知矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3；拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E（4,0）（1）當(dāng)x取何值時(shí)，該拋物線的最大值是多少？（2）將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng).設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖2所示）.①當(dāng)時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說明理由；②以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積是否可能為5，若有可能，求出此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)；若無可能，請說明理由．圖1圖2例題7（2010四川成都）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若將經(jīng)過兩點(diǎn)的直線沿軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過原點(diǎn)，且拋物線的對稱軸是直線．（1）求直線及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如果P是線段上一點(diǎn)，設(shè)、的面積分別為、，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)⊙Q的半徑為l，圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在⊙Q與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，求出圓心的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．并探究：若設(shè)⊙Q的半徑為，圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取何值時(shí)，⊙Q與兩坐軸同時(shí)相切？解答：（1）∵沿軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過原點(diǎn)，∴，。將代入，得。解得?！嘀本€AC的函數(shù)表達(dá)式為?！邟佄锞€的對稱軸是直線 ＝ ＝ ＝＝＝＝－即時(shí)，△的面積取大值，此時(shí)線段最長，則點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，－3） 【技巧提煉】解數(shù)學(xué)綜合題，一要樹立必勝的信心，二要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技能，三要掌握常用的解題策略?，F(xiàn)介紹幾種常用的解題策略，供初三同學(xué)參考。1、以坐標(biāo)系為橋梁，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想縱觀最近幾年各地的中考?jí)狠S題，絕大部分都是與坐標(biāo)系有關(guān)的，其特點(diǎn)是通過建立點(diǎn)與數(shù)即坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)問題的解答。2、以直線或拋物線知識(shí)為載體，運(yùn)用函數(shù)與方程思想直線與拋物線是初中數(shù)學(xué)中的兩類重要函數(shù)，即一次函數(shù)與二次函數(shù)所表示的圖形。因此，無論是求其解析式還是研究其性質(zhì)，都離不開函數(shù)與方程的思想。例如函數(shù)解析式的確定，往往需要根據(jù)已知條件列方程或方程組并解之而得。3、利用條件或結(jié)論的多變性，運(yùn)用分類討論的思想分類討論思想可用來檢測學(xué)生思維的準(zhǔn)確性與嚴(yán)密性，常常通過條件的多變性或結(jié)論的不確定性來進(jìn)行考察，有些問題，如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。4、綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都離不開轉(zhuǎn)換的思想，初中數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)換大體包括由已知向未知，由復(fù)雜向簡單的轉(zhuǎn)換，而作為中考?jí)狠S題，更注意不同知識(shí)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換，一道中考?jí)狠S題一般是融代數(shù)、幾何、三角于一體的綜合試題，轉(zhuǎn)換的思路更要得到充分的應(yīng)用?！倔w驗(yàn)中考】1．（2010福建德化）已知：如圖，點(diǎn)是正方形的對角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(、除外)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，設(shè)正方形的邊長為，矩形的周長為，在下列圖象中，大致表示與之間的函數(shù)關(guān)系的是（）.xyxy0Axy0Dxy0Byx0CPDABCCEF2．（2010四川南充）如圖，直線l1∥l2，⊙O與l1和l2分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B．點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是l1和l2上的動(dòng)點(diǎn)，MN沿l1和l2平移．⊙O的半徑為1，∠1＝60°．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）．

l1l2ABMNO1（A）

（B）若MN與⊙O相切，則

（C）若∠MON＝90°，則MN與⊙O相切l(wèi)1l2ABMNO13．（2010湖北鄂州）如圖所示，四邊形OABC為正方形，邊長為6，點(diǎn)A、C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)Ｄ在OA上，且Ｄ點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），P是OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求PD+PA和的最小值是（）A．B．C．4D．64．（2010湖北宜昌）如圖,在圓心角為90°的扇形MNK中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，沿MNeq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(NK))KM運(yùn)動(dòng)，最后回到點(diǎn)M的位置。設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，P與M兩點(diǎn)之間的距離為y，其圖象可能是（）。5．（2010湖南懷化）圖9是二次函數(shù)的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,-4).（1）求出圖象與軸的交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使,若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）將二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍.6．（2010湖北鄂州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（0，2），一動(dòng)點(diǎn)P沿過B點(diǎn)且垂直于AB的射線BM運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長度，射線BM與x軸交與點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）求過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．（3）若P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)也同時(shí)從C出發(fā)，以P點(diǎn)相同的速度沿x軸負(fù)方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，t秒后，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．（點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）求t的值．（4）在（2）（3）的條件下，當(dāng)CQ=CP時(shí)，求直線OP與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)．7．（2010湖北荊州）如圖，直角梯形OABC的直角頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點(diǎn)，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分別是線段OA、AB上的兩動(dòng)點(diǎn)，且始終保持∠DEF=45°．（1）直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)OE=x，AF=y，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系；（3）當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí)，將△AEF沿EF折疊，得到△，求△與五邊形OEFBC重疊部分的面積．8．（2010湖北省咸寧）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長的速度，從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)M作直線l∥AD，與線段CD的交點(diǎn)為E，與折線A-C-B的交點(diǎn)為Q．點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．全品中考網(wǎng)（2）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，如果以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求t的值；（3）當(dāng)t＞2時(shí)，連接PQ交線段AC于點(diǎn)R．請?zhí)骄渴欠駷槎ㄖ?，若是，試求這個(gè)定值；若不是，請說明理由．ABABCD（備用圖1）ABCD（備用圖2）QABCDlMPE9．（2010江蘇揚(yáng)州）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)E在斜邊AB上，過點(diǎn)E作直線與△ABC的直角邊相交于點(diǎn)F，設(shè)AE＝x，△AEF的面積為y．（1）求線段AD的長；（2）若EF⊥AB，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)時(shí)，①求y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）②當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？并求其最大值；（3）若F在直角邊AC上（點(diǎn)F與A、C兩點(diǎn)均不重合），點(diǎn)E在斜邊AB上移動(dòng)，試問：是否存在直線EF將△ABC的周長和面積同時(shí)平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請說明理由．答案1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】(1)因?yàn)镸(1,-4)是二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以令解之得.∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（3,0）(2)在二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使設(shè)則，又,∴∵二次函數(shù)的最小值為-4，∴.當(dāng)時(shí)，.故P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，5）或（4，5）（3）如圖1，當(dāng)直線經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，可得當(dāng)直線經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，可得由圖可知符合題意的的取值范圍為6．【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0）；（2）設(shè)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），將點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：解得，∴拋物線的解析式是：y=x2+x+2．（3）設(shè)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則BP=t，CQ=t．以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，可分三種情況討論．①若CQ=PC，如圖所示，則PC=CQ=BP=t．∴有2t=BC=，∴t=．②若PQ=QC，如圖所示，過點(diǎn)Q作DQ⊥BC交CB于點(diǎn)D，則有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=，∴，解得t=．③若PQ=PC，如圖所示，過點(diǎn)P作PE⊥AC交AC于點(diǎn)E，則EC=QE=PC，∴t=（-t），解得t=．（4）當(dāng)CQ=PC時(shí)，由（3）知t=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1），∴直線OP的解析式是：y=x，因而有x=x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1±，∴直線OP與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，）和（1-，）．7．【答案】（1）D點(diǎn)的坐標(biāo)是.（2）連結(jié)OD,如圖（1），由結(jié)論（1）知：D在∠COA的平分線上，則∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°∴∠1=∠2,∴△ODE∽△AEF∴，即：∴y與x的解析式為：（3）當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3種情況.當(dāng)EF=AF時(shí)，如圖（2）.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,∴△AEF為等腰直角三角形.D在A’E上（A’E⊥OA）,B在A’F上（A’F⊥EF）∴△A’EF與五邊形OEFBC重疊的面積為四邊形EFBD的面積.∵∴∴∴（也可用）②當(dāng)EF=AE時(shí)，如圖（3），此時(shí)△A’EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A’EF面積.∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA∴四邊形DEAB是平行四邊形∴AE=DB=∴③當(dāng)AF=AE時(shí)，如圖（4），四邊形AEA’F為菱形且△A’EF在五邊形OEFBC內(nèi).∴此時(shí)△A’EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A’EF面積.由（2）知△ODE∽△AEF,則OD=OE=3∴AE=AF=OA-OE=過F作FH⊥AE于H,則∴綜上所述，△A’EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積為或1或8．【答案】（1）過點(diǎn)C作于F，則四邊形AFCD為矩形．QABCDlMPEFQABCDlMPEF∴．即，∴．（2）∵為銳角，故有兩種情況：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合．ABCD（備用圖1）QPElABCD（備用圖1）QPElM②當(dāng)時(shí)，如備用圖1，此時(shí)RtRt∴．由（1）知，，而，∴．∴．綜上所述，或．（3）為定值．當(dāng)＞2時(shí)，如備用圖2，ABCABCD（備用圖2）MQRFP由（1）得，．∴． ∴．∴． ∴．∴四邊形AMQP為矩形． ∴∥．∴∴．9．【答案】（1）∵AC=3，BC=4∴AB=5∵AC·BC=AB·CD，∴CD=，AD=（2）①當(dāng)0＜x≤時(shí)∵EF∥CD∴△AEF∽△ADC∴即EF=x∴y=·x·x=當(dāng)＜x≤5時(shí)易得△BEF∽△BDC，同理可求EF=（5—x）∴y=·x·（5—x）=≤②當(dāng)0＜x≤時(shí)，y隨x的增大而增大.y=≤,即當(dāng)x=時(shí)，y最大值為