數(shù)學(xué)建模-最優(yōu)價格和廣告投資資金計算

PAGEPAGE1最優(yōu)價格和廣告投資資金計算摘要商品經(jīng)濟(jì)中產(chǎn)品的定價直接關(guān)系到收益，并且生產(chǎn)商對推廣的投資如廣告等對收益也起到巨大作用。本文針對產(chǎn)品生產(chǎn)中定價問題，以及產(chǎn)品推廣過程中所耗成本問題，利用題目所給數(shù)據(jù)，運用拉格朗日乘子法解決了收益最大的實際問題，提出了在所給條件下，使收益最大化的定價和廣告投資方案。對于問題一，此計算機(jī)制造廠商在有降低價格可使銷量提高和增加廣告預(yù)算可使銷量提高兩個條件下，我們利用題中所給信息，列出利潤關(guān)于定價和廣告費用的方程，建立一個有約束最優(yōu)化模型，并根據(jù)題中所給限制，使用拉格朗日乘子法，利用Excel以及Mathematica軟件求得約束條件下使總利潤達(dá)到最高的價格和廣告預(yù)算。對于問題二，要討論決策變量（價格和廣告費）關(guān)于價格彈性系數(shù)（數(shù)據(jù)50%）的靈敏性。先分析對于決策變量（價格和廣告費其中之一）有單獨變化時，價格彈性系數(shù)對單一決策變量的影響，分別做出圖表。由此求得決策變量（價格和廣告費）對價格彈性系數(shù)的靈敏性。對于問題三，根據(jù)題中所給信息，要討論決策變量（價格和廣告費）關(guān)于銷售彈性系數(shù)（廣告商估計的每增加10000美元/月的廣告費，可多售200臺這一數(shù)據(jù)）的靈敏性。先分析對于決策變量（價格和廣告費其中之一）有單獨變化時，銷售彈性系數(shù)對單一決策變量的影響，分別做出圖表。由此求得決策變量（價格和廣告費）對銷售彈性系數(shù)的靈敏性。對于問題四，在問題一中求得的乘子值具有一個現(xiàn)實意義，即單位定價和單位廣告費用對銷售量增量的數(shù)值關(guān)系。這個數(shù)值描述的是變量對因變量影響的效率。根據(jù)此意義，可以做出適當(dāng)?shù)慕ㄗh，來對決策提供幫助。在獲取更多試驗數(shù)據(jù)的情況下，能得到關(guān)于價格和廣告費用對銷售量影響的更精確的結(jié)果，同時可以此為基礎(chǔ)，建立另一種模型，得到價格和廣告費用對銷售量增量影響的效率。尤其對于廣告費用對銷售量的影響，其基于商品的推廣效應(yīng)，不是具象化的量或關(guān)系，所以此研究也極有意義。限于問題限制，本文不一一贅述。關(guān)鍵詞：拉格朗日乘子法，利潤，廣告預(yù)算，決策變量，銷售彈性系數(shù)

一、問題提出一家個人計算機(jī)制造廠商現(xiàn)在每個月售出10000臺基本機(jī)型的計算機(jī)。生產(chǎn)成本為700美元/臺。批發(fā)價為950美元/臺。在上一個季度中，制造廠商在幾個座位試驗的市場將價格降低了100美元，其結(jié)果是銷售量提高了50%。（1）利用有約束最優(yōu)化模型和拉格朗日乘子法求使利潤達(dá)到最高的價格和廣告預(yù)算。（2）討論決策變量（價格和廣告費）關(guān)于價格彈性系數(shù)（數(shù)據(jù)50%）的靈敏性。（3）討論據(jù)決策變量關(guān)于廣告商估計的每增加10000美元/月的廣告費，可多售200臺這一數(shù)據(jù)的靈敏性。（4）在（1）中求出的乘子值是多少？它的實際意義是什么？你如何利用這一信息來說服最高管理層提高廣告費用的最高限額？二、基本假設(shè)1、在批發(fā)價950美元/臺基礎(chǔ)上，價格每降低100美元，銷售量提高50%，即設(shè)在10000臺的基礎(chǔ)上增加m臺（m=50%×10000）。2、廣告投資在每月投入50000美元基礎(chǔ)上，每增加10000美元，銷售量在10000臺基礎(chǔ)上增加n臺（n=200）。三、符號說明符號意義單位備注p每臺計算機(jī)定價美元q每月廣告預(yù)算美元x總銷量臺/月P銷售額美元/月C總成本美元/月W利潤美元/月m在批發(fā)價的基礎(chǔ)上，售價每降低100美元，銷售量在每月10000臺基礎(chǔ)上增加m臺臺/月n廣告預(yù)算在每月投入50000美元基礎(chǔ)上，每增加10000美元，銷量在10000臺基礎(chǔ)上增加n臺臺/月四、問題分析4.1問題分析在實際商品經(jīng)濟(jì)中，商品定價和廣告預(yù)算共同影響商品成本以及銷售量，進(jìn)而影響利潤。本題中，每臺計算機(jī)定價的多少直接關(guān)系單個商品利潤的多少，但是定價降低，單個商品利潤減少，而月銷售量會隨之增加，從而總體利潤受到影響。所以存在一個最優(yōu)價格使總體利潤最大。對于廣告費用，其投入增大，使成本增加，但是會使銷售量增加，從而影響總體利潤。因此廣告費用同樣存在一個最優(yōu)值，使總體利潤最大。我們列出每臺計算機(jī)定價p、每月廣告預(yù)算q兩變量在假設(shè)條件和約束條件下同月利潤的函數(shù)關(guān)系方程，再利用多變量優(yōu)化模型中的拉格朗日乘數(shù)法求解方法，從而求解出條件下的最優(yōu)解。五、模型的建立與求解5.1問題一模型建立與求解5.1.1問題一模型的建立在批發(fā)價的基礎(chǔ)上，每降低100美元，銷售量在每月10000臺的基礎(chǔ)上增加50%（在這里我們選用倍數(shù)模型，即銷售量的增加量是固定值，為10000臺的50%，即5000臺），將增加的臺數(shù)記為m。在每月投入廣告費用50000美元的基礎(chǔ)上，每增加10000美元，則銷售量在每月10000臺的基礎(chǔ)上增加n臺。約束條件：按照假設(shè)，其中，所以約束條件為又因為新方案必須在比原有方案獲利更多的情況下才能執(zhí)行，所以有另一約束條件（舍）或。綜上，最終的約束條件為5.1.2問題一模型的求解這是多變量有約束最優(yōu)化模型，使用拉格朗日乘子法求解。首先確定目標(biāo)函數(shù)的可行域（如圖1-1）。的梯度為在可行域內(nèi)，所以最大值在邊界達(dá)到。在時，；在時，；在時，；在時，。時，，此時；時，，此時；時，，，，時，，，得，下面計算W在曲線上的最大值。記。令，所以由得。所得值不在可行域范圍內(nèi)，所以舍去。所以W的最大值為2661250美元，此時，。5.2問題二模型建立與求解5.2.1問題二模型的建立由于模型假設(shè)中的條件（價格降低了100美元，其結(jié)果是銷售量提高了50%）是估計和預(yù)測的，所以下面研究決策變量中價格關(guān)于價格彈性系數(shù)（數(shù)據(jù)50%）的靈敏性。首先分析定價對價格彈性系數(shù)的靈敏性，因為即價格彈性系數(shù)，可化簡為對的靈敏性分析。假設(shè)廣告預(yù)算在每月投入50000美元基礎(chǔ)上，每增加10000美元，銷量在10000臺基礎(chǔ)上增加臺，不變。，將代入得所以。因為q對于p對m的靈敏度不產(chǎn)生影響，所以取，所以上式可以寫為。5.2.2問題二模型的求解對于對的靈敏度不產(chǎn)生影響，取，所以上式可以寫為。做出的圖像和取值列表如下圖2-1和表2-1[1]圖2-1圖2-1m10002000300040005000p1325.01075.0991.7950.0925.0m600070008000900010000p908.3896.4887.5880.6875.0表2-1表2-1用相對改變量衡量結(jié)果對參數(shù)的敏感程度。對的敏感程度記為，定義為。利用前面的結(jié)果，可得。當(dāng)時，可算出，即每增加1%，減少0.108%。5.3問題三模型建立與求解5.3.1問題三模型的建立下面分析決策變量關(guān)于廣告商估計的每增加10000美元/月的廣告費，可多售200臺這一數(shù)據(jù)的靈敏性。假設(shè)在批發(fā)價的基礎(chǔ)上，售價每降低100美元，銷售量在每月10000臺基礎(chǔ)上增加臺的不變。，所以，取，則，所以。5.3.3問題三模型的求解做出的圖像及列表，如圖3-1和表3-1圖3-1圖3-1n160170180190200q-965625-927509-891358-857202-825000n210220230240250q-794671-766116-739225-713889-690000表3-1表3-1同問題一，用相對改變量衡量結(jié)果對參數(shù)的敏感程度。對的敏感程度記為，定義為，所以，當(dāng)時，。即每增大1%，減少0.7576%。綜上所述，和的微小變化對模型結(jié)果影響不大。5.4問題四模型建立與求解5.4.1問題四模型的求解由問題一的求解得，。實際意義為每提高一個單位商品定價，月銷售量的增加量降低15個單位；同時每提高一個單位廣告預(yù)算，月銷售量的增量降低15個單位。它代表了對這個公司來講價格變動和廣告預(yù)算變動的價值。如果公司提高計算機(jī)的單價，月銷售量會增加，但增加的幅度逐漸減?。涣硪环矫?，廣告費用投入越多，月銷售量同樣會增高，但同樣增加的幅度在逐漸減小。所以降價和投入廣告費用對提高銷售量有一個效率關(guān)系，在一定的范圍內(nèi)，降價或投入廣告費用才值得。對此我們可以建立另外一種模型，關(guān)于降價和投入廣告費用對銷售量增量的影響，同時求得兩者變化對增加銷售量的成本效率，即“用最少的錢，獲取最大的效益”。如果在此模型中，廣告費用投入在100000元左右仍能保持對增加銷售量的高效率，則可以據(jù)此說明提高廣告費用的重要性。關(guān)于此問題的模型則不一一贅述。六、模型的評價與推廣7.1模型的評價在商品銷售過程中，銷售商需要根據(jù)消費者對價格因素以及產(chǎn)品影響力因素的反應(yīng)做出相應(yīng)的銷售計劃。價格因素即產(chǎn)品定價，是直接關(guān)系到商品的利潤和銷售量的；產(chǎn)品影響力，則是商品在廣告投入上的體現(xiàn)。此模型的優(yōu)點在于，它充分考慮了價格因素和產(chǎn)品影響力因素的共同作用，同時對這個作用的敏感性進(jìn)行了分析，以利潤為目標(biāo)函數(shù)，簡單明了的得出了在現(xiàn)有公司政策下獲得最大利潤的方案。同時缺陷在于一些結(jié)果的精確性得不到驗證。這個不精確性來自于假設(shè)的理想化，理想化的假設(shè)是模型簡單，但也使結(jié)果的精確性降低。7.2模型的推廣本問題中，有兩個理想假設(shè)：1、在批發(fā)價950美元/臺基礎(chǔ)上，價格每降低100美元，月銷售量提高50%。2、廣告投資在每月投入50000美元基礎(chǔ)上，每增加10000美元，銷售量在10000臺基礎(chǔ)上增加200臺。針對上面第一種情況，對月銷售量的影響的理解有兩種，一種是我們解答過程中對此的理解，即價格每降低100美元，月銷量是在10000臺基礎(chǔ)上提高50%；另一種理解是價格每降低100美元，月銷量在上月月銷量基礎(chǔ)上提高50%，也就是說是一個累積的過程。由于數(shù)學(xué)知識水平有限，為了簡便解答過程，我們選擇了第一種理解，使用第二種理解的話，理論上更加準(zhǔn)確。然而，題中假設(shè)和實際中仍舊有應(yīng)差距，是理想化的。七、參考文獻(xiàn)[1]姜啟源等,《數(shù)學(xué)模型》（第三版），高等教育出版社，2003年8月[2]利用Mathematica畫平面區(qū)域，HYPERLINK"/view/6fc9cbc758f5f61fb7366626.h