2023屆高三數(shù)學(xué)一輪階段性測試題8平面解析幾何（含解析）新人教A版

PAGE1-階段性測試題八(平面解析幾何)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分?？荚嚂r間１20分鐘。第Ⅰ卷(選擇題共６０分）一、選擇題(本大題共12個小題,每小題５分，共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.(20１5·江西贛州市博雅文化學(xué)校月考)設(shè)集合Ａ={(ｘ,ｙ)|eｑ\ｆ(x2，1６)+eq\ｆ(y2,４)＝1}，B={(x，y)|y=3ｘ}，則A∩Ｂ的子集的個數(shù)是(）A.４ B.３Ｃ.2 D.1[答案]A［解析]指數(shù)函數(shù)y=3ｘ的圖象與橢圓eq\f(x2,１6)+ｅq\f（y2,４)＝1有兩個交點，∴A∩Ｂ中有2個元素,∴其子集有22＝4個.２.(2０14·山東省博興二中質(zhì)檢)“m=-1”是“直線ｍx+(2m－1)ｙ+2=０與直線3ｘ+ｍy＋３=0垂直”的(）A.充分而不必要條件 B．必要而不充分條件Ｃ．充要條件 D.既不充分也不必要條件[答案]A[解析]若兩直線垂直,則3m＋m(２m-1）=0，∴m=0或-１,故選A.3.(文)（2014·銀川九中一模)設(shè)Ａ、B為直線ｙ＝x與圓x2＋y2=1的兩個交點,則|AB｜=()A．1 B.ｅｑ\ｒ(2)C.ｅｑ＼r(3）?D．2［答案]D［解析]∵直線AB:y＝x過圓心,∴|AB|＝２，故選D．(理)(2014·北京西城區(qū)期末）已知圓C：(ｘ＋1）2＋(y－１)２=1與ｘ軸切于A點，與ｙ軸切于B點，設(shè)劣弧AB的中點為Ｍ,則過點M的圓C的切線方程是（)A．ｙ=x＋2－eq\r(2）?B.y＝x+１－eq\f(１,\r（2))C.y＝x－2+eq＼r(２)?D.ｙ=ｘ＋1-eｑ＼ｒ（2)［答案］Ａ[解析]由已知得M(eq\f(\r（2),2)-1,-eq\f（\r（2),2)+1),又切線斜率為1,故切線方程為y+eq\f（\r(２）,2）-１＝x-eq\f(＼r(2),2）+1，即ｙ=x＋2-eq\r(2).4．(2０１5·洛陽市期中)已知雙曲線eｑ\f(x２，a2)－eq\ｆ(y2,b2)＝1的實軸長、虛軸長、焦距依次成等比數(shù)列，則其離心率為（)Ａ.eq\ｆ(＼r(5）+１,2）?Ｂ.eq＼f(＼r(3)＋１,2)Ｃ．eq\f(5,3) Ｄ.eq\f(3，5)[答案］Ａ[解析］由題意知b2＝ac,∴c2-a２－ａc=0，∴e２-e－1＝0,∴ｅ=eq\f(＼r（5)+1,２)或ｅ＝ｅq\f（－＼r（5)＋1,2)(舍去).5.(2015·開封市二十二校聯(lián)考)已知實數(shù)１,m,9成等比數(shù)列,則圓錐曲線eq＼f(x2,ｍ)+y2=1的離心率為(）A.eq\ｆ(\ｒ（6)，3) B.２C.eq＼f(\ｒ(6),3）或2?D．ｅq＼ｆ(＼r(2),2）或eｑ＼r(3)[答案]C[解析］根據(jù)條件可知ｍ2＝９,∴m＝±3，當(dāng)m＝3時,e=eq\f（c,a)=eｑ\f(\r(6),3)，m＝-３時,e=2，所以正確選項為C．6．(2015·洛陽市期中)過拋物線y2=４x的焦點F的直線交拋物線于Ａ，B兩點,點O是原點,若｜AＦ｜=3,則△AOB的面積為(）Ａ.eq\f(\ｒ(２),２）?B．eq\r(２)C．eq＼f（3\r(２)，２) D．2eq\r(2)[答案]C[解析]設(shè)A(x1,ｙ１),B（ｘ２，y２),由|AＦ|=３，知x1＝2,∴y1＝2eq＼ｒ（２),∵Ｓ△ＡOF=eｑ\f(1,2)｜OF｜·y1=ｅq\r(2），∴eq\r（2)<Ｓ△AOB<2eq\r(2)，故選Ｃ.7.(2０15·鷹潭一中、宜春中學(xué)、新余四中聯(lián)考）以雙曲線eq\f（x2,a２)－eq\f(y2，ｂ２)=1（a＞０,b>0）中心O(坐標(biāo)原點）為圓心,焦距為直徑的圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于M點,Ｆ1、F2分別為雙曲線的左、右焦點，過點M作x軸的垂線，垂足恰為OF2的中點，則雙曲線的離心率為()A．ｅq\r(3)-1 B.ｅq\r（３)C．ｅｑ＼ｒ(3)+1?D．2[答案］C[解析]由題意知點M的坐標(biāo)為M(ｅq＼f（c,2)，ｅq\f(＼r(3)c,2)),代入雙曲線方程可得eｑ＼f(c2,4ａ2)－eｑ\f（3c2,４b2)＝1，∵b2=c２-ａ2，e＝eq\f（ｃ,a）,∴e4－8ｅ2＋4＝0,∴ｅ２＝4+2eq＼r(3）,∴e=eq\ｒ（3)＋1.故選Ｃ.8．（2015·廣東揭陽一中期中)曲線eq\f(x2,1６）＋eq＼f(ｙ２，12)＝1與曲線eq＼f(x2，16－k）＋eｑ\f(y２，12－k)=1（12<k<1６)的()Ａ.長軸長與實軸長相等 B．短軸長與虛軸長相等C．焦距相等?D．離心率相等[答案]C［解析］對于橢圓eq\f(x2,16）+eq\f（y２,１2)＝1，ｃ＝2，對于雙曲線ｅq＼f（x2，16-k)－ｅq\f(y2,k-12)＝1，ｃeｑ\o＼al（２，1）=(１６－k)+(k-1２)=4，∴c１=２,故選C．9.（文)（201４·佛山質(zhì)檢）已知橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點恰好為一個正方形的四個頂點,則該橢圓的離心率為()Ａ．ｅq\f(1,3) B.eq\f(１,2)Ｃ.eｑ\f(\ｒ(3),３） D．ｅq\ｆ（\r（２）,2)[答案]D［解析］依題意橢圓的焦距和短軸長相等，故b=c，ａ2-c２=c2，∴e＝eｑ\ｆ（\r(2），２)．(理）(２014·吉林省實驗中學(xué)一模)如圖,F1、Ｆ2是雙曲線C1:x2－eq\f（y2，3)＝1與橢圓Ｃ2的公共焦點,點Ａ是Ｃ１、Ｃ2在第一象限的公共點,若|F1Ｆ２|=|F1A|,則C2的離心率是()A.eq＼f(1,3）?Ｂ.eｑ\ｆ（２,３)C．eq\ｆ(2,３）或ｅｑ＼f(2,5)?D．ｅｑ＼f（2，５)[答案]B[解析］設(shè)橢圓方程為eq\f（x２,ａ2)＋ｅq\f(ｙ2,ｂ２)=1(a>b>0),由題意得,|ＡＦ1|=|F1F2|=2c=2ｅq\ｒ(1＋３)=４，∴ｃ＝2，｜ＡF1|－｜AF2|=２,∴|AF２｜＝2，∴2a=｜AＦ1｜+|AF２|=6，∴a＝3，∴ｅ=eq＼ｆ(c,ａ）=eq\f(2,3).10.(文)(2014·吉林延邊州質(zhì)檢)已知雙曲線eq\f（ｘ2，9)－ｅq\f(y2,ｍ）＝1的一個焦點在圓x2+y2-4ｘ-5＝0上,則雙曲線的漸近線方程為()A.y＝±ｅq\f(3,４）ｘ B.y＝±eq\f(4,3)ｘC.y＝±eq\f(2\ｒ(2),3)x Ｄ.y=±ｅｑ\ｆ(３＼r(2),4)x[答案]B［解析]∵方程表示雙曲線,∴m>０，∵ａ2=９,b２=m,∴ｃ２=a２＋b2=9＋m，∴c＝ｅq\r（9+ｍ)，∵雙曲線的一個焦點在圓上,∴eq＼ｒ(9+m)是方程x2-4x-5=0的根,∴eq\ｒ(9＋m)=５,∴m=16，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±ｅq\f（4,3）x，故選B．(理)(20１4·銀川九中一模)已知雙曲線eq\ｆ（x2,2)－eq\f(y2,b2)=1（ｂ>0)的左、右焦點分別是F１、F２，其一條漸近線方程為ｙ=x，點Ｐ(eq＼ｒ(3）,ｙ0)在雙曲線上,則ｅq\ｏ(PF１,\s\ｕp６(→）)·ｅｑ\o(ＰF2,＼s\up6(→))＝()A.－１2 Ｂ．－２C.0?D.4［答案]Ｃ[解析］由漸近線方程為y=ｘ知，eｑ\f(b,\r(2))=1，∴b＝ｅq\r(2),∵點Ｐ(eｑ＼r(３),ｙ０）在雙曲線上,∴y0＝±1,y0=1時，P(eｑ\ｒ(3)，1)，Ｆ1(－2,0),Ｆ2（２,0），∴eq\o(PF1,\ｓ\up6（→))·eq\o(PＦ2，\s\up6(→))＝0，y0＝－1時,P（eｑ\r(３)，-1),ｅq\o（PＦ1,\s\uｐ6(→）)·eq\o(ＰF2,\ｓ\up6（→）)=0,故選Ｃ.1１.(2０１5·開封四中期中)拋物線Ｃ：y2＝2pｘ(p>０)的焦點為F,Ｍ是拋物線C上的點，若三角形OＦＭ的外接圓與拋物線Ｃ的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π,則p的值為()A.２ B.4Ｃ.6 Ｄ.８[答案］D［解析]設(shè)△OFM的外接圓圓心為O1，則｜O1O|=|O１Ｆ|=|Ｏ1Ｍ|,∴O1在線段OF的中垂線上，∴O１(ｅq\f(p,４)，ｅq\f(\r（２),2）p),又圓面積為36π，∴半徑為6,∴eq＼f(p２,1６)＋eq＼f(1,2)ｐ2＝3６,∴ｐ=８.12．(2015·石家莊市五校聯(lián)合體摸底)直線l:ｙ=k(x-ｅｑ\r(２)）與曲線x2－y2=１（x>0）相交于Ａ、B兩點,則直線l傾斜角的取值范圍是()A.[0，π) Ｂ.(ｅq\f(π,4），eq＼f(π,2))∪（eq\f(π,2)，ｅq\f(3π,4））C．[0,eq＼f（π，2))∪(ｅq＼f(π,2),π) D.(eq\f（π,４)，eq＼ｆ(3π,4))[答案］B[解析]雙曲線x２-y2＝１的兩條漸近線y=±x，直線l過(eｑ\r(２),0)，當(dāng)直線ｌ與雙曲線的漸近線平行時,與雙曲線右支相交，且僅有一個交點，當(dāng)直線l的斜率k>１或k<-1時，直線l與雙曲線相交于Ａ、B兩點.第Ⅱ卷（非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題,每小題４分，共16分，把正確答案填在題中橫線上．)１3．（文)(201５·安徽示范高中聯(lián)考)直線kｘ＋ｙ+ｋ+1=0與圓x２+y2+２x-2y-２=0相切,則ｋ=___＿_(dá)___.[答案]0[解析]圓心到直線距離d=eq＼f（|－k+１＋ｋ+1|，＼r(k2＋1))=2?k＝0.(理)(2015·遵義航天中學(xué)二模）直線ｙ＝ｋx+3與圓(ｘ-3)2＋(ｙ－2)2=4相交于M、Ｎ兩點，若|MN|≥2ｅq\ｒ(3)，則k的取值范圍是＿＿_(dá)_____．[答案］[－ｅq＼f（３,４）,０]［解析]設(shè)圓心(３,2)到直線y＝kx＋3的距離為d，由弦長公式得,ＭＮ=2eq\r(4－d２)≥２eq\r(3)，故d≤1,即eq\f(|3ｋ－２＋3｜，\ｒ(k2+1))≤1,化簡得k(k＋ｅq\f(3,４）)≤0，∴-eｑ\f(3,4)≤k≤０.１4.(２01５·豫南九校聯(lián)考)已知雙曲線3y2－mx2＝3m（m＞0)的一個焦點與拋物線y＝ｅq\ｆ(1,8)x2的焦點重合，則此雙曲線的離心率為_＿_(dá)__＿_(dá)_.[答案]２[解析]雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為ｅｑ\f（y2,ｍ）-ｅｑ＼f(x２,3)=1,∴c＝eｑ\r(ｍ＋3),∵拋物線x２=８y的焦點為(0,2)，∴ｅq\r(m＋3)＝2，∴m＝１，∴e=２.15.(文)（２014·天津市六校聯(lián)考)已知雙曲線eｑ\f(x2,a２)-eq\ｆ(ｙ2,b2)=1（a>0,b>０)和橢圓eｑ\f(ｘ２,16)+eq\ｆ(ｙ2,9)=1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為____＿＿＿_(dá).[答案]eq\f(x2,4)－ｅq\f(y２,3）＝１[解析]橢圓中，a2＝16，b2=9，∴c2=a2-b２＝7，∴離心率e1=ｅｑ\f（＼r（7)，4)，焦點(±ｅq\r(７)，0)，∴雙曲線的離心率ｅ2＝eq\f(c,a)=eq\f(＼r(7)，2），焦點坐標(biāo)為(±eｑ＼ｒ(7)，0)，∴c=eq\ｒ(７),a＝2，從而b2＝c2－a２=３,∴雙曲線方程為ｅq＼f(ｘ２，4)-ｅq＼f（y2,3）＝1.(理）(2014·三峽名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知雙曲線eq\f(x2,a２)－eq\ｆ(y2,ｂ2)＝１（ａ>0,b＞0)的一條漸近線方程為x-2y=0，則橢圓ｅq\ｆ（x2,a2)+eq\f(y2，b2)=1的離心率ｅ=＿＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)_.[答案]eq＼f(\r(３）,2)[解析]由條件知eｑ\ｆ(ｂ,a)＝eq＼f(1，２），即ａ=2b，∴c2=a2-b2=３b2,c=eq\r(3）ｂ，∴e＝eq＼f(ｃ,a）=eq＼f（\r(3)ｂ，2b）=eq＼f(\r(3),２).16．(２015·湖北武漢調(diào)考）已知橢圓Ｃ:eq＼f(x2,4)＋eq\ｆ(y2,3)=1,點M與C的焦點不重合．若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A、B，線段MN的中點在C上，則｜AN｜+｜BN|=_＿_(dá)__＿_(dá)＿．[答案］8[解析]如圖,設(shè)ＭN的中點為P，由題意可知，PＦ1,PＦ2分別為△AMN，△BＭN的中位線，∴|AＮ|+｜BＮ|=2(|PＦ１|+|PF2|）＝2×4=8.三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)17.(本小題滿分１2分)(20１4·銀川九中一模)已知直線l:y＝ｘ+ｍ，ｍ∈Ｒ.(1)若以點Ｍ（２,0)為圓心的圓與直線l相切于點P,且點P在y軸上，求該圓的方程;(2)若直線l關(guān)于x軸對稱的直線為l′，問直線l′與拋物線C:x2=４y是否相切?說明理由.[解析]設(shè)所求圓的半徑為ｒ，則圓的方程可設(shè)為（x-2)2＋y2＝r2.依題意,所求圓與直線l:x-y＋m＝0相切于點Ｐ(0，m),則ｅq\b\lc\{\rｃ\(\ａ\ｖｓ4\ａl\co１(4＋m２=ｒ2，,\f（|2-0+ｍ|,＼r(2))=r,))解得eq\b＼lc\｛\rc\（＼a\vｓ4＼aｌ\co1（ｍ＝2,,r＝2\r(2）.))所以所求圓的方程為(x-2)2+y2＝８.(2）因為直線l的方程為y=ｘ＋m,所以直線l′的方程為y=－x－m.由eq\b\lc\{\rc\（＼a\vｓ4\aｌ\co１(y=-x-m,,x2＝4y．））得x2＋４x+4m＝0.Δ＝42-4×4ｍ＝16(1－ｍ).①當(dāng)m＝1,即Δ＝0時，直線l′與拋物線C相切；②當(dāng)m≠１,即Δ≠0時，直線ｌ′與拋物線C不相切.綜上,當(dāng)m＝1時,直線l′與拋物線C相切;當(dāng)m≠1時,直線l′與拋物線C不相切.18.(本小題滿分12分)(2０15·山西大同調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系ｘOy中，已知點B(1,0)，圓A:(ｘ＋１)2+ｙ２=１６,動點Ｐ在圓A上，線段BP的垂直平分線與ＡP相交點Q，設(shè)動點Q的軌跡為曲線C.(1）求曲線C的方程；(2）過點B(1,0)且斜率為1的直線與曲線C相交于Ｅ、F兩點，求弦長EＦ.[解析](1)由已知|ＱP|=|QB｜,Q在線段PA上,所以|ＡQ|＋|QＰ|＝|ＡQ|＋|QB|＝4，所以點Q的軌跡是橢圓,2a=４，a＝２，2c＝2,c＝1，∴b２=3,所以C點的軌跡方程為eｑ＼f（x2，４)+eq\ｆ（y2,3）＝1.(２)直線EF的方程為：ｙ=x－1．由ｅｑ\ｂ＼lc\｛\rｃ＼(\a\vs4\aｌ\cｏ1（y=x－１,,\f(x2,4)+\ｆ(y2，3)＝1.))消去y整理得7x2-8ｘ-8＝0,設(shè)A（x1,y1），B(x2，y２)，∴ｘ1＋ｘ2＝eq\f（８，7),x１·x２=－eq\f(８,7)，｜AＢ|=eq\ｒ(1+k2)·eq\r(x1+ｘ22-4x1x2)=ｅq\ｒ（2)·eq\ｆ（１２\r（2),7)=eｑ\ｆ（24,7).19.(本小題滿分12分）（201５·大連二十中期中)平面內(nèi)動點P(x,y)與兩定點A(－2,0),B（2,0）連線的斜率之積等于-eq＼f(1,3),若點P的軌跡為曲線Ｅ，過點（－１,0)作斜率不為零的直線MＮ交曲線Ｅ于點M、N．(１)求曲線E的方程;（2)求證：AM⊥AN；（３）求△AMN面積的最大值．[解析］(1)設(shè)動點P坐標(biāo)為(x，y)，當(dāng)x≠±2時，由條件得:eq\f(y，ｘ－2）·eq\f（y,x＋2)=-eq\f(1,3)，化簡得ｅq\f(ｘ2，４)+eｑ\f(3y2，4）=1.曲線E的方程為eq＼f(ｘ2,4)＋eq\f（３y2,4)=１，(x≠±2）．（2)直線MＮ斜率不為0，所以可設(shè)MＮ方程為my=x＋1，與橢圓方程聯(lián)立得:(ｍ2＋３)ｙ２-2ｍy-3=0,設(shè)M(ｘ1，y1),N(ｘ2，y2)，所以y1+ｙ２＝eｑ\ｆ(2m,ｍ２＋３)，ｙ1y２=ｅq\f（－3,m２＋3).eq＼o(AM,\s\uｐ６(→))=(x１＋２，y1）,eq\o(AＮ,＼s＼ｕp6（→))=(x2+2，y２),eq\o(AM,\ｓ\up6(→))·eq＼ｏ（AN，＼ｓ\up6（→))=(x1+2，y1)·(x2+２，ｙ2）=(ｍ2＋1)y1ｙ2+m(y1+ｙ2）+1=eq\f（-3m2+1,m２＋3）＋ｅq\f(2m2，m２+3）+1＝0,所以ｅq\o(AM,\ｓ\up6(→))⊥eq\o（AN,＼s\uｐ6(→)），所以ＡM⊥AＮ.(3)△AＭＮ面積為eq\ｆ(1,2）｜y1－y2|＝ｅq＼f(\ｒ(4m2＋9),m2+３)=eq\ｒ（\ｆ（4,m２+3)-\f(3,m2＋３２)），當(dāng)m=0時面積最大為1.２0．(本小題滿分12分)(文)(２0１4·云南景洪市一中期末)設(shè)F1、F2分別是橢圓E:x2+ｅq＼f（ｙ2,b2)=1（0<b<１)的左、右焦點,過F1的直線l與E相交于A、B兩點，且|AＦ２|,|AB｜，|BF2|成等差數(shù)列.（1)求｜AＢ|；（2)若直線ｌ的斜率為1，求b的值．[解析](1)求橢圓定義知｜ＡF2｜+|AB｜+｜BF2｜＝4，又2|AＢ|=|AＦ2|+|BF２|，得｜AB|＝eq\ｆ(4,3)．（2）l的方程為ｙ＝x+ｃ,其中c=eq\r（１－ｂ2),設(shè)A（ｘ1，y1)，B(ｘ1,y1),則Ａ、B兩點坐標(biāo)滿足方程組eq\b\lc＼{＼rc＼（\ａ\vs４\al\cｏ１(y＝x＋c，,ｘ2+\f（y2,ｂ2)＝１,)）消去ｙ化簡得(１＋b２)x２+2cx+1-2b2＝0．則ｘ1＋x2＝ｅq\f(－２ｃ，1＋b2）,x1x2=ｅｑ\f(1－２b2，１+b2).因為直線AＢ的斜率為１,所以｜AB｜＝eｑ\ｒ（2）|x2-x1|，即eq＼f（4,3)＝ｅｑ＼r(２)|ｘ2－x1|.則eq＼f（8,9）＝(x1＋x2)2-4x1x2=eq\f(41-b2，1＋ｂ22)-eq\f（41－2b2,1+b２)=eq\f(8b4,1+ｂ2)，解得b＝eq\f(\ｒ(2),2).（理)(2014·陜西工大附中四模)已知橢圓Ｃ:eｑ\f(x2,ａ2)＋eq\f(y2,b2)=1（a>ｂ>0)的焦距為２，且過點P(1,eq\f(3,２）)．(1）求橢圓C的方程;(2）設(shè)橢圓C的左右焦點分別為F１、F2，過點F２的直線ｌ與橢圓C交于Ｍ、N兩點.①當(dāng)直線l的傾斜角為45°時,求|ＭN｜的長;②求△MＦ1N的內(nèi)切圓的面積的最大值,并求出當(dāng)△ＭF１N的內(nèi)切圓的面積取最大值時直線l的方程．[解析](1)由已知,得ａ２-ｂ2=c2＝1,且eq\f(1,ａ2)＋eq\ｆ(＼f（9，４),b2)＝1,解得a2＝４,b２=3，故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3）=1.（2）①由eq\b\ｌc＼{\rc＼(\ａ\vs4\ａl＼co1(y＝x－1,,\f（x2，4)＋\ｆ(ｙ2,3)＝１，)）消去x得7x2－8x－8=0，解得x1=eｑ＼f(4+6\r(2）,7),x2=eq\f（4-6\ｒ(2)，７)．則｜ＭN|＝eq\r（1＋k２)|x1－x2｜=ｅｑ\f(2４,7）.②設(shè)直線l的方程為ｘ＝my＋1,由eq\b\lc\{＼ｒｃ\(\a\vs4\al＼cｏ1(x=my+１，,\f(x2,4)＋\f(y２，3）=1,）)消去ｘ得，(3ｍ２＋４)y2+6my-9＝0,顯然Δ>0,設(shè)Ｍ（ｘ1,y1）,N(ｘ2，y２），則有y1＋y２＝-ｅq＼f(6m,3m2＋４），y1·ｙ2＝-eq\f（9,3m2＋４）,設(shè)△ＭＦ1N的內(nèi)切圓半徑為ｒ,由Ｓ△MF1N=eq\f(１,2)（|MＦ1|＋｜NF1|+|MN|)·r=4r可知,當(dāng)Ｓ△MF1Ｎ最大時,r也最大，△MＦ1N的內(nèi)切圓面積也最大,由S△MF１N=eq\ｆ(1，２)|Ｆ1F2|·|y1－y2|=｜y1-y２|=eq＼r(ｙ1＋y２2－4y1y2)＝eq＼f（1２＼r(m2+1),3m2＋4),令t＝eｑ\ｒ(m2+1)，則t≥1,且m2＝ｔ２－1，則S△MF1N＝eq\f(12t,3t2+１)=eｑ\ｆ(12,3ｔ+\f(1,ｔ))，令f(ｔ)=３ｔ＋ｅq\f(1,t)(ｔ≥1),則f′（ｔ）=3-ｅq\f(1，t2)>0,從而f（t)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增，故有f（t)≥ｆ(１)＝４，所以Ｓ△ＭＦ1N≤3,即當(dāng)ｔ＝１，ｍ=０時,Ｓ△MF1N有最大值3，即rmａx=eq\f（3,4),這時△MF１Ｎ的內(nèi)切圓面積的最大值為eq＼f（９，1６)π,直線l的方程為x=１.21．(本小題滿分12分)（２0１5·武漢市調(diào)研）如圖,動點M與兩定點A(-1,０），B（2,０）構(gòu)成△ＭAＢ，且∠ＭBA＝2∠MAＢ．設(shè)動點M的軌跡為Ｃ.(1)求軌跡Ｃ的方程;（2)設(shè)直線ｙ=-2x＋m(其中m＜２)與y軸相交于點P,與軌跡Ｃ相交于點Q，R，且|PQ｜<｜ＰR|，求eｑ\f(|PR|,|ＰＱ|)的取值范圍．[解析](1）設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y),顯然有ｘ＞0，且y≠0，當(dāng)∠ＭBA=90°時,點M的坐標(biāo)為(２，±3),當(dāng)∠MＢA≠90°時，x≠2，由∠MBＡ=2∠MAB，有ｔａn∠MBA＝ｅｑ\f(２tan∠MAB，1-ｔaｎ2∠ＭAＢ)，即eq＼f（|y|,2－x)=ｅq\f(＼ｆ(2|y|,x＋1),１-＼f（|y|,x＋1)2),化簡可得,3x2-y2-3=０,而點（2，±3)也在曲線3ｘ２－ｙ2－3=0上，綜上可知,軌跡C的方程為ｘ2-eq\f（y２，3)＝1（x>1）．(２)由eq＼ｂ＼ｌc＼{\rc\(＼a\vs4\al＼co1(y=－２x＋ｍ，,ｘ２－＼ｆ(y２,3)=１,))消去ｙ并整理得，x2-4mx＋ｍ２+３=０(*)由題意,方程(＊）有兩根且均在(1,＋∞）內(nèi).設(shè)f(x)=x2-4mｘ+m２＋3，∴eq\ｂ\lc＼｛\rc\(＼a＼ｖs4\al\ｃo1(－＼f(－4m,2）>１，,ｆ1=1－４m＋m2+３>0,,Δ＝-4m2-４ｍ2+3>0.)）解得m>1，且ｍ≠2，又∵m＜2，∴1<ｍ<２,設(shè)Q，R的坐標(biāo)分別為(ｘQ,yＱ），(xＲ，yＲ)，由|PQ|<|ＰR|及方程(*)有xＲ=２m+ｅq\r(3m２-１),ｘQ＝2m－eq\r(3ｍ2－1),∴eq＼f(|PＲ|,｜PＱ｜)＝eq＼ｆ(xR,xQ）=eq\f(2m+＼r(3m2－1),2m-\r（3m2－1））=eq\f(２＋＼r(31-＼f(1,ｍ２)),2-\ｒ(31－\f(1,ｍ2)))=－1＋eｑ\f(4，2－＼r(3１－\f(１，m2)）)，由1＜m<２，得１<-1+ｅq\f(4,２－\r(31-\ｆ（１,m2)))＜7,故eq＼f（|PR|,|PＱ｜)的取值范圍是(1,７）.22．(本小題滿分14分)(文)(2015·洛陽市期中）橢圓Ｃ：eq＼ｆ（x2,ａ2）＋eq\ｆ(ｙ２,b2)=１(a>ｂ>0)的離心率為eq\f(1，2),其左焦點到點P(2,1)的距離為ｅq\r(１0)．（1)求橢圓Ｃ的標(biāo)準(zhǔn)方程;(２)若直線l：y=kｘ＋m與橢圓Ｃ相交于Ａ,Ｂ兩點(A，Ｂ不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點,求證:直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．[解析](1)由題意得:e=eq\ｆ（c,a)=eq\ｆ(1,2),①左焦點(－c,０）到點P（2,1）的距離為eq\r(2+c2＋12)=eq\r（10),②由①②可解得c＝1,ａ＝２,ｂ2=a2－c2＝３.∴所求橢圓C的方程為eq＼f(x2,4)+eq\f(y2,3)=１．(2)設(shè)A(x1，y1）,Ｂ(x2，y2),將ｙ＝kx+m代入橢圓方程得，(4k2+３)x2＋８kｍｘ+4ｍ２－12=0.∴x1＋ｘ2=－eq\ｆ(8km，4ｋ2+３），x１x2=eq＼f(4ｍ2-12,4k２＋3)，且y1＝kx1+m，ｙ2=kx２＋m．∵AB為直徑的圓過橢圓右頂點A2（2，0)，∴eq\o（Ａ2A，\ｓ＼ｕｐ6(→）)·ｅｑ＼o(A２B,\s\up6（→))＝0.∴(ｘ1－2,y1）·（x2－2,y2)＝(ｘ1－2)(x2－2)＋y１y2=（x1－2）(x2-2）＋(kx１+ｍ)(kx２＋m）＝(k2＋1)x1x2＋（kｍ－2）(x1+x2)＋m２＋