全國(guó)中考數(shù)學(xué)壓軸題分類(lèi)解析匯編 專(zhuān)題5 定值問(wèn)題

全中數(shù)壓題類(lèi)析編專(zhuān)定問(wèn)（2012湖北寧10分圖MNPQ中134則稱(chēng)四邊形矩形MNPQ的反邊形．圖2圖，圖中，形為形，且AB=4，BC=8．理解與作圖：（1）在圖2圖3中E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上利用正方形網(wǎng)格在圖上作出矩形的反射四邊形EFGH計(jì)算與猜想：（2）求圖2圖3中四邊EFGH周長(zhǎng)，并猜想矩形ABCD的反射四邊形的周長(zhǎng)是否為定值啟發(fā)與證明：（3）如圖4為了證明上述猜，小華同學(xué)嘗試延長(zhǎng)GF交BC的延于，試?yán)眯∪A同學(xué)給們的啟發(fā)證明2中的猜想．【案解如下：（2）在圖2，EFFGGHHE2

4

2025∴四邊形EFGH的為85在圖3中GH21

5，F(xiàn)GHE36

35用心

愛(ài)心

專(zhuān)心1

22．．．．22．．．．∴四邊形EFGH的長(zhǎng)為。猜想：矩形ABCD的反四邊形周長(zhǎng)為定值。（）長(zhǎng)GH交CB的長(zhǎng)于，∵，∴。又∵FC=FC，∴Rt△FCE△（ASA∴EF=MF，EC=MC。同理：NH=EH，NB=EB?！郙N=2BC=16∵N，M∴GM=GN。1過(guò)點(diǎn)G作GK⊥于，KMMN。2∴GMGKKM。∴四邊形EFGH的長(zhǎng)為2GM。矩形ABCD的射四邊形的周長(zhǎng)為定值?！军c(diǎn)新定，網(wǎng)格問(wèn)題，作圖（應(yīng)用設(shè)計(jì)作圖股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)。【析1根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出相等的角即可得到反射四邊形。（）2中利用勾股定理求EF=FG=GH=HE的長(zhǎng)度，然后即可得到周長(zhǎng)，圖3中利用勾股定理求出EF=GH，F(xiàn)G=HE的度，然后求出周長(zhǎng)，從而得到四邊形EFGH的周長(zhǎng)是定值。（）長(zhǎng)GH交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于N再利用“ASA”證明△FCE和Rt△FCM全，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=MF，EC=MC，理求出NH=EHNB=EB從而得到MN=2BC，再證明GM=GN過(guò)點(diǎn)作GK⊥BC于K，根據(jù)等腰三角三線(xiàn)合一的性質(zhì)求出KM

12

，利用勾股定求出GM的度，然后即可求出四邊形EFGH的長(zhǎng)。（2012福建州12分）知A、、C不在同一直線(xiàn).（）點(diǎn)A、B、均在半徑為R的上，i）如圖一，當(dāng)∠A=45°時(shí)，，∠的度數(shù)和BC長(zhǎng)度；ii）如圖二，當(dāng)∠為角時(shí)，證∠A=

BC2R

；（）若長(zhǎng)線(xiàn)段BC的兩端分別在∠MAN兩邊AM、AN、均與A不合）滑動(dòng)，如圖三，當(dāng)∠MAN=60°BC=2時(shí)，分別作BP，CP⊥AN，交點(diǎn)為點(diǎn)，試索：在整個(gè)滑動(dòng)過(guò)程中P、A兩的距離是否保持不變？請(qǐng)說(shuō)明理.用心

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2

【案解））∵∠A=45°，∴∠BOC=90°（同弧所對(duì)的圓周角等于其所對(duì)的圓心角的一半又∵R=1，∴由勾股定理可知BC=1）明：連接BO并長(zhǎng)，交于點(diǎn)E連接EC可知EC（直徑所對(duì)的圓周角為90°且∠E=∠A同弧所對(duì)的圓周角相等故sin

BC。（）持不變。理由如下：如圖，連接AP，取AP的中K連接BKCK，在Rt△APC中，CK=

AP=AK=PK。同理得：BK=AK=PK?！郈K=BK=AK=PK?！帱c(diǎn)A、、、C都⊙K上∴由（））sin∠A=

BCBC可知sin60°=。2RAP∴AP=

BC（為定值【點(diǎn)三角形的外接圓與外心，周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，直角三角形中線(xiàn)性質(zhì)?！疚?）根據(jù)圓周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，利用勾股定理得出BC的；ii）作直徑CE，則∠∠ACE=2R利用sinA=sinE=

BC，出即可（首證明點(diǎn)ABPC都⊙K上再利用sin∠A=

BC2R

得AP=

BC

（定值）即可。用心

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3

（2012四川貢12分）圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，，△AEF為三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC．上滑，且、F不與B．．合．（）明不論E、F在．上何滑動(dòng)，總有BE=CF（）點(diǎn)E、F在BC．上動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和△的積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲担景附猓┳C明：如圖，連接AC∵四邊形ABCD為菱，∠BAD=120°∠BAE+∠EAC=60°∠FAC+∠EAC=60°∴∠BAE=∠FAC?！摺螧AD=120°，∴∠ABF=60°∴△ABC和ACD為邊三角形?！唷螦CF=60°AC=AB?！唷螦BE=∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FACAB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（。（）邊形AECF的面不變eq\o\ac(△,，)CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：由（1）得△ABE≌ACF則

∴S，是定值。作AH于點(diǎn)，BH=2，邊形A

AB。由“垂線(xiàn)段最短”可知當(dāng)正三形AEF的AE與BC垂時(shí)，邊AE最短故△的積會(huì)隨著AE的變而變化，且當(dāng)AE最時(shí)，正三角形AEF的面會(huì)最小，又=S﹣，此時(shí)△CEF的面積就會(huì)最大．eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)∴S=S﹣3

12

3

23

3

?！唷鰿EF的積的最大值是3。用心

愛(ài)心

專(zhuān)心

4

22【點(diǎn)菱形的性質(zhì)邊三角形的判定和性質(zhì)全三角形的判定和性質(zhì)勾股定理垂線(xiàn)段的性質(zhì)。【析（）求證AB=AC，進(jìn)而求△ABC、為等三角形，得∠ACF=60°AC=AB，從而求證△ABE△ACF即可求得BE=CF。（）△ABE≌△ACF可得，根據(jù)SF=SE=S即可得四邊形eq\o\ac(△,S)AECF的面是定值。當(dāng)正三角形AEF的AE與BC垂直，邊AE最．△AEF的積會(huì)隨著AE的變化而變化且AE最時(shí)正三角形AEF面積會(huì)最小據(jù)=S－則△CEF的積就會(huì)最大。eq\o\ac(△,S)（2012四成12分）如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy，一次函數(shù)y=x+m(為數(shù)的象與x軸交于點(diǎn)A(

，0)，與y軸于點(diǎn)C．以直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)+bx+c

(a，，為數(shù)，且a≠0)經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B．（）m的值及拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（）是y軸側(cè)物線(xiàn)上點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)AC的平行線(xiàn)交x軸點(diǎn)F．是否存在這樣的，使得以A，，，為頂點(diǎn)的四形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（若P是物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上使的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn)點(diǎn)任作一條與y軸平行的線(xiàn)交拋物線(xiàn)于M1

1

2

2

2

兩點(diǎn)，試探究

MPP2MM

是否為定值，并寫(xiě)出探究過(guò)程．【案解）∵y=x+m經(jīng)點(diǎn)（3，

15x+m=0，得m=。4∴直線(xiàn)解析式為y=x+

。令，

。（，∵拋物線(xiàn)y=ax+bx+c對(duì)稱(chēng)軸為x=1且與交于（﹣，0∴另一交點(diǎn)為B（5，設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x+35用心

愛(ài)心

專(zhuān)心

5

151∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)C（0，=a（5得。1115∴拋物線(xiàn)解析式為y=（﹣y=x+x+。424（）設(shè)存在點(diǎn)E使以A、、、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則AC且AC=EF，如答圖1。（）點(diǎn)E在E位時(shí)，過(guò)作EG⊥x軸于點(diǎn)G∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG又∵∠COA=∠EOF=90，，eq\o\ac(△,≌)CAO△EFG∴EG=CO=

，即y=。4∴

1x+，解得x=2（=0與C點(diǎn)合，舍去∴E（2，

=。2（ii）當(dāng)點(diǎn)E在E′位置時(shí)，點(diǎn)E作′G⊥x軸于點(diǎn)G′，同理可求得E′

154

=

31+105

。（）使△ACP的長(zhǎng)最小，只需最小即可。如答圖2，連接BC交x=1于P點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A、B于x=1對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，可知此時(shí)AP+CP最小AP+CP最小為線(xiàn)段BC的長(zhǎng)∵B（5，（，

15∴直線(xiàn)BC解析式為x+

。∵x=1，∴y=3，即P（，令經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，）直線(xiàn)為y=kx+3k聯(lián)立

kx11y=x+x+42

得x+（﹣）﹣﹣3=0，∴x+x=2﹣，=﹣﹣?！遹=kx+3﹣k，=kx+3﹣，∴y﹣=kx﹣x根據(jù)勾股定理得：用心

愛(ài)心

專(zhuān)心

6

22M

+

=

+k2

=

=1+k

2

1

+x

2

4xx12

=1+k

2

MP=

+

y

=

+

+3

=1+k

MP=

1+k

∴MP?MP=

∴MP?MP=MM。

MPMM

=1為定值。【點(diǎn)二次函數(shù)綜合題，二次函的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，勾股理?！疚?把點(diǎn)的坐代入x+m即求出m的。由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸