2023屆陜西省榆林市高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆陜西省榆林市高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解出集合,再求.【詳解】因為，所以，所以.故選：D2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，化簡式子，利用復(fù)數(shù)相等求出復(fù)數(shù)，然后求復(fù)數(shù)的模即可【詳解】設(shè)，則，則，故.故選：A3．若為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)鍵逐項判斷即可【詳解】解：對于A，若，則或，故A不正確；對于B，若，則或，故B不正確；對于C，若，則或，故C不正確；對于D，若，則，故D正確.故選：D.4．已知，則（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】由兩角和的正切公式變形后求得，由誘導(dǎo)公式變形后，利用商數(shù)關(guān)系變形可得．【詳解】由，解得，則.故選：C．5．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，從而可得的值，再利用切點在曲線也在切線上，可得的值，即可求得答案.【詳解】解：因為，所以.又的圖象在處的切線方程為，所以，解得，則，所以，代入切線方程得，解得，故.故選：B.6．為了解市民的生活幸福指數(shù)，某組織隨機選取了部分市民參與問卷調(diào)查，將他們的生活幸福指數(shù)（滿分100分）按照分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)此頻率分布直方圖，估計市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為（

）A．70 B． C． D．60【答案】C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖所有小長方形面積是1可得，根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，解得.因為成績在的頻率為，成績在的頻率為，故市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)在內(nèi).設(shè)市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為，則，解得.故選：C7．如圖1，某建筑物的屋頂像拋物線，建筑師通過拋物線的設(shè)計元素賦予了這座建筑輕盈?的一部分，為拋物線上一點，為拋物線的焦點，若，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】寫出焦點坐標(biāo)，設(shè)，由得出點坐標(biāo)，根據(jù)焦半徑公式得，再由求得．【詳解】由題意知，設(shè)，則，由拋物線的幾何性質(zhì)知，則，所以，所以，解得.故選：A．8．的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦、余弦定理可得，結(jié)合即可求解.【詳解】因為，由正弦定理得.又，所以.因為，所以，故.故選：A.9．在平行四邊形中，，則（

）A．4 B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意，以向量為基底分別表示出向量，再利用向量數(shù)量積公式即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：在平行四邊形中，因為，所以，因此.又，所以，故.故選：B10．已知，函數(shù)在上恰有3個極大值點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，由于在上恰有3個極大值點，則可列不等式，即可求得的取值范圍.【詳解】解：，因為在上恰有3個極大值點，由，得，又函數(shù)的極大值點滿足，所以，解得.故選：C.11．已知，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，則結(jié)合已知得出，即，即可得出.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增.因為，所以，故.故選：D.12．在直三棱柱中，，且分別為和的中點，為線段（包括端點）上一動點，為側(cè)面上一動點，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷出取得最小值時為點在側(cè)面與平面展開到同一平面，作于點，交于點,此時達到最小值，解三角形求出即可.【詳解】當(dāng)為某確定點時，要使取得最小值，則必須為最小值，此時，為點在側(cè)面的投影.取的中點.因為分別為的中點，所以為的中位線，所以.因為所以，所以.在直三棱柱中，面，所以.因為面，面，,所以側(cè)面，故在側(cè)面的投影為.作于點，此時滿足題意..在中，，.在中，因為,所以，所以為直角三角形.所以，.將平面與平面展開到同一平面，如圖所示，所以.作于點，交于點,此時達到最小值，則故選：B【點睛】立體幾何中的最值問題一般涉及到距離、角度、面積、體積等四個方面，解決此類問題一般從三個方面思考：（1）利用傳統(tǒng)方法轉(zhuǎn)化為空間向量的坐標(biāo)運算，建立所求的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；（2）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況取得最值；（3）將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面圖形中直觀求解.二、填空題13．設(shè)滿足約束條件則的最小值為__________.【答案】【分析】畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】作出可行域如圖所示.把轉(zhuǎn)化為，當(dāng)經(jīng)過點時，縱截距最低，最小.當(dāng)直線經(jīng)過點時，取得最小值.故答案為：.14．自然對數(shù)的底數(shù)，也稱為歐拉數(shù)，它是數(shù)學(xué)中重要的常數(shù)之一，和一樣是無限不循環(huán)小數(shù)，的近似值約為.若用歐拉數(shù)的前6位數(shù)字設(shè)置一個六位數(shù)的密碼，則不同的密碼共有__________個.【答案】180【分析】利用排列的定義直接求解.【詳解】因為2出現(xiàn)2次，8出現(xiàn)2次，所以不同的密碼共有個.故答案為：180.15．已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且的圖象關(guān)于點對稱，則關(guān)于的不等式的解集為__________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和對稱性以及不等式的特征，可構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性即可解出不等式.【詳解】令函數(shù)，因為的圖象關(guān)于點對稱，所以的圖象關(guān)于原點對稱，故是定義在上的奇函數(shù)；因為是定義在上的增函數(shù)，所以也是定義在上的增函數(shù)，由，得，則，則，解得，故不等式的解集為.故答案為：16．已知雙曲線的右焦點為，直線與雙曲線相交于兩點，點，以為直徑的圓與相交于兩點，若為線段的中點，則__________.【答案】2【分析】根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系確定交點坐標(biāo)關(guān)系，利用直線和圓的幾何性質(zhì)，即可求得的長.【詳解】解：如圖，由題可知，的坐標(biāo)為，設(shè)，聯(lián)立方程組，可得，則，.因為為線段的中點，所以的坐標(biāo)為.又以為直徑的圓與相交于兩點，所以，所以，解得，又，所以，所以，故.故答案為：2.三、解答題17．第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾正式拉開序幕，這是歷史上首次在北半球冬季舉行的世界杯足球賽.某市為了解高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別的關(guān)系，隨機對該市50名高中生進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表.關(guān)注不關(guān)注合計男高中生4女高中生14合計已知在這50名高中生中隨機抽取1人，抽到關(guān)注世界杯足球賽的高中生的概率為.(1)完成上面的列聯(lián)表；(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷能否有的把握認(rèn)為該市高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別有關(guān).附：，其中.【答案】(1)列聯(lián)表見解析(2)沒有【分析】（1）根據(jù)已知得出世界杯足球賽的高中生人數(shù)，不關(guān)注世界杯足球賽的高中生人數(shù)，即可完成列聯(lián)表；（2）根據(jù)已知公式得出，查表即可得出答案.【詳解】（1）由題可知，關(guān)注世界杯足球賽的高中生有人，不關(guān)注世界杯足球賽的高中生有人.故完成的列聯(lián)表如下：關(guān)注不關(guān)注合計男高中生26430女高中生14620合計401050（2），因為，所以沒有的把握認(rèn)為該市高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別有關(guān).18．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用和之間的關(guān)系式可得，再利用累乘即可求得的通項公式；（2）寫出數(shù)列的通項公式利用裂項求和即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，由，得，兩式相減得，即，利用累乘可得，即，因為，所以；所以的通項公式為.（2）由（1）可知，裂項可得，則.所以數(shù)列的前項和19．如圖，在四棱錐中，平面底面，且.(1)證明：.(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，然后利用線面垂直證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，然后求出二面角的平面角的余弦值【詳解】（1）證明：取的中點，連接.因為，所以.又，所以.又，所以為正三角形，所以.因為在平面內(nèi)相交，所以平面.又平面，所以.（2）以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.由題可知，平面的一個法向量為.設(shè)平面和平面所成的銳二面角為，則.20．已知是橢圓的一個頂點，圓經(jīng)過的一個頂點.(1)求的方程；(2)若直線與相交于兩點（異于點），記直線與直線的斜率分別為，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意確定的值，即可求得答案；（2）設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合化簡求值，可得k的值，驗證即得答案.【詳解】（1）因為是的一個頂點，所以.又圓與坐標(biāo)軸交于兩點，圓經(jīng)過的一個頂點,則頂點為，故，故的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立方程組，消去整理得，，則，，因為，所以，整理得，則，則，即，解得或，當(dāng)時，在上，不符合題意，時，符合題意，故.【點睛】方法點睛：解答關(guān)于直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的問題時，一般方法是聯(lián)立方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進行化簡，要注意的是化簡過程計算量較大，比較復(fù)雜，要注意計算準(zhǔn)確.21．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，分和分別求解；（2）作差后，定義新函數(shù)，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，求最值，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為.因為，所以.當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，令，解得.當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）令函數(shù)，則.當(dāng)時，則.令函數(shù)，則.因為在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù).而，從而在上恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，則在上單調(diào)遞增，故，符合題意.當(dāng)時，，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故，不符合題意.綜上所述，的取值范圍為.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或求解零點問題．22．在直角坐標(biāo)系中，已知點，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)若與交于兩點，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用消參法即可得到的普通方程為，根據(jù)即可得到的直角坐標(biāo)方程.（2）首先設(shè)出的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，再根據(jù)直線的參數(shù)方程的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）消去參數(shù)，得到的普通方程為.由，得.因為所以的直角坐標(biāo)方程為.（2）由題可知，點