高級宏觀經濟學-第四版-中文-羅默課后題答案

高級宏觀經濟學_第四版_中文_羅默課后題答案第2章無限期模型與世代交疊模型N個廠商，每個廠商均有規(guī)模報酬不變的生產函數(shù)，.假設所有廠商都能以工資wA雇用勞動，以成本r租賃資本,并且所有廠商的A值都(a)考慮廠商生產Y單位產出的成本最小化問題.證明使成本最小化的k值唯一確定并獨立于Y，并由此證明所有廠商都選擇相同的k值.（b）考慮某單個廠商，若其具有相同生產函數(shù)，并且其勞動和資本的投入是上述N個廠商的總和，證明其產出也等于述N個廠商成本最小化的總產出。證明：（a）題目的要求是廠商選擇資本K和有效勞動AL以最小化成本，同時廠商受到生產函數(shù)的約束。這是一個典型的最優(yōu)化問題.構造拉格朗日函數(shù)：求一階導數(shù)：得到：k的選擇上式表明，資本和有效勞動的邊際產品之比必須等于兩種要素的價格之比，這便是成本最小化條件。(b）因為每個廠商擁有同樣的k和A,則N個成本最小化廠商的總產量為：為N個廠商總的雇傭人數(shù)，單一廠商擁有同樣的A并且選擇相同數(shù)量的k，k的決定獨立于Y的選擇.因此，如果單一廠商擁有的勞動人數(shù)，則它也會生產的產量。這恰好是N個廠商成本最小化的總產量。替代彈性.設想某個人只活兩期,這兩期中的價格,W證明,若效用函數(shù)為（2.43）式，是則與之間的替代彈性為.優(yōu)化問題。（1）（2)求解約束條件：(3)將方程(3）代入（1)中,可得：（4）這樣便將一個受約束的最優(yōu)化問題轉變?yōu)橐粋€無約束問題。在方程(4）兩邊對求一階條件可得:（7）（b）由方程（5)可知第一時期和第二時期的消費之比為：對方程（8）兩邊取對數(shù)可得：（9）因此，越大，表明消費者越愿意進行跨期替代。2。3(a)假設事先知道在某一時刻，政府會沒收每個家庭當時所擁有財富的一半.那么,消費是否會在時刻發(fā)生突然變化？為什么？(如果會的話，請說明時刻前后消費之間的關系。）（b）假設事先知道，在某一時刻,政府會沒收每個家庭當時所擁有的部分其數(shù)量等于當時所有家庭財富平均水平的一半.那么,消費是否會在時刻(如果會，請說明時刻前后消費之間的關系。)?為什么？答：（a）考慮兩個時期的消費，比如在一個極短的時期內，從考慮家庭在時期減少每單位有效勞動的消費為.然后他在投資并消費這一部分財富。如果家庭在最優(yōu)化他一生的財富，則他的這一財富變化這一變化有一效用成本，財富的回報率為,不過，此刻有一半的財富會被沒收.對一生的效用沒有影響.。總之，對于效用最大化的消時，有下式：因此，當政府對財富沒收一半后，消費會不連續(xù)的變化，消費會前，消費者會減少儲蓄以避免被沒收，之后會降低消費。（b)從家庭的角度講，他的消費行為將不會發(fā)生不連續(xù)的變化測到自己一半的財富會被政府沒收，為了最優(yōu)化他一生的效用，家庭不會的消費發(fā)生不連續(xù)的變化,他還是希望平滑自己的消費的下降。征收.家庭事先會預使自己.2。4設方程（2。1）中的瞬時效用函數(shù)為。考慮家庭在（2。6）的約束下最大化方程（2。1）的問題。請把每一時刻的C表示為初始財富加上本題目是在家庭的預算約束下最大化一生的效用。建立拉格朗日方程:將其代入預算約束方程,得:代入上式，得:(6）(7）只要，則積分項收斂，為,則：因此，初始消費為：個人的初始財富為，方程（9)說明消費是初始財富的一個不變的比為個人的財富邊際消費傾向.可以看出，這個財富邊際消費傾向在平衡增長路徑上是獨立于利率的。對于折現(xiàn)率而言，越大，家庭越厭惡風險，越2。5設想某家庭的效用函數(shù)由（2.1)～（2.2)式給定。假設實際利率不變，、令W表示家庭的初始財富加上終生勞動收入的現(xiàn)值[（2.6）的右端］.已知rW2。12。2答：本題目是在家庭的預算約束下最大化一生的效用，即：W代表家庭的初始財富加上家庭一生勞動收入的現(xiàn)值，利率r是數(shù)常。建立拉格朗日方程如下：求一階條件，可得:抵消，得：（3）兩邊對時間t求導,可得：得到下面的方程：由于利率r是常數(shù)，所以消費的增長率為常數(shù)。如果，則市場利率超過貼現(xiàn)率，則消費會增加;反之，如果,則市場利率小于貼現(xiàn)率,則消費會減少。如果，則決定了消費增長的幅度。值越低，也就是替代彈性越高，越高，即消費增長的越快。τ=t,（7）對方程(7）兩邊取指數(shù)，可得：，整理得：（8)下面求解初始消費，將方程（8)代入（2），可得：將代入上式,可得：，從而保證積分收斂，則求解方程（9）可得：上式便是C的效用最大化路徑。2.6生產力增長減速與儲蓄。設想一個正處于平衡增長路徑上的拉姆塞-卡斯—庫普曼期模型，假設g永久性下降。g下降時g的邊際變化對平衡增長路徑上儲蓄率的影響。能否判(d）用一個式子表示斷此表達式的正負？、、、θ（e）設生產函數(shù)是柯布—道格拉斯函數(shù)，請用ng和α重新表示（）中的d。)提示：利用等式答：（a）于關資本的歐拉方程為：（1）該方程描述了資本的動態(tài)方程,在拉姆塞模型中，該方程描述了技術特征，是該模型的核心，它與消費的動態(tài)方程一起構成了該模型的歐拉方程組，從而定了該模型的最終解。決圖2—1拉姆塞模型下降的幅度更大,因而在該方程描述了消費的動態(tài)方程，在拉姆塞模型中，該方程描述了偏好特征，是該模型的核心，它與資本的動態(tài)方程一起構成了該模型的歐拉方程組，從而決定了該模型的最終解.,即，在g永久性地下降時，為（c）在g永久性地下降時，由于每單位有效勞動的資本是由歷史上的投資決定的,因而不會發(fā)生不連續(xù)的變化。它仍然保持在平衡增長路徑處.與此相反，每單位有效勞動的消費則會隨著g永久性地下降而迅速變化。為使經濟從舊的平衡增長路徑達到新的平衡增長路徑，每單位有效勞動的消費c必將發(fā)生變化。不過,此處無法確定新的平衡增長路徑處于舊的均衡點的上邊還是下邊,因而第二章無限期模型與世代交疊模型（d）在平衡增長路徑上，產出中被儲蓄的部分為:（4）將方程（5)代入(4）中，可得：在方程（6）中，分母（6）為負，分子中第一項為正，而第二項為負,因而無法確定正與負。因此,無法判斷在平衡增長路徑上g永久性地下降會使s上升還是下降.（e）將柯布—道格拉斯生產函數(shù)，和從上式可以推出:（a）上升（b）生產函數(shù)向下移動。（c)折舊率由本章中假設的零變?yōu)槟骋徽?圖2-2鞍點路徑答：（a）關于c與k的歐拉方程為：（1）（2）的上升即消費的跨期替代彈性下降，表明家庭不太愿意接受消費的跨期替代，同時表明隨著消費的上升，消費的邊際產品下降得很快。這種情況使家庭更偏好于即期消費。2）中，因而資本積累方程不受的上升,在平衡增長路徑上，從而由于的上升，因而必須上升，又因為，所以為使，,消費移動到新的鞍點路徑A點上，此刻家庭消費得更多了，經濟最終移動到新的穩(wěn)定點，此時和低于原先的值。如圖2（b）由于生產函數(shù)的向下移動，因而和都變小了，如圖2—4所示。圖2—4生產函數(shù)向下移動，在平衡增長路徑.由于變小，因此這條曲線會向下移動，，在平衡增長路徑上，從而，由于變小，為保持，必須使k下降,從而使保持不變。因此向左移動，如圖2-5所示。經濟最終將收斂到新的均衡點點，此刻和低于原先的值。(3）δ0由于折舊率由變?yōu)檎龜?shù)，因此持平投資變大，持平投資線向左上移動,如圖2—6所示。圖2—6持平投資線向左移動這便要求增加儲蓄或者投資,從而降低消費。由于持平投資變大，因此圖2—7折舊率由0變?yōu)檎龜?shù)的影響，從而消費的歐拉方程變?yōu)椋海?）在平衡增長路徑上，要求正數(shù)之前相比較，必須變大,從而曲線向左移動，如圖2—7所示。經濟最終將收斂到新的均衡點點，此刻和低于原先的值。。與折舊率由0變?yōu)閗必須變小.由于2。8請在折舊率為正的情形下推導類似于（2.39）的表達式.答：教材中方程（2。39）中折舊率為0的情形為：當考慮到折舊率的情況時，消費和資本的歐拉方程變?yōu)椋?1）(2）對方程（1）和（2)分別在和行一階泰勒展開，可得：(3)定義和,因為和為常數(shù)，所以且,將(3)和將方程(7)和（8）代入（5），將方程（9）和（10）代入(6），可得：方程(12）的第二步用到了對方程(11)除以以求的增長率，對方程（12)除以以求的增長率：（13）(14)可以發(fā)現(xiàn)該結果與教材中不存在折舊率的增長率一樣，也就是說折舊率的存在對增長率沒有影響。因此，經濟在向平衡增長路徑移動時的和的不變增長率μ與教材中的結果應該一致。令方程（13）可以推出：將方程(16）兩邊同時平方：，將其代入（17)式:定義平衡增長路徑上的儲蓄率為,則平衡增長路徑上的消費為：化簡為:（19）（20）在平衡增長路徑上，意味著，即：，由(21）可以推出:上式與教材中的(2。39）極其相似,它表明了消費與資本的調整速度（將，，，，,)要快于不存在折舊時的調整速度。代入上式,得到[來自于史密斯(Smith,2006）.］考慮生產函數(shù)柯,的情形，假設相對風險規(guī)避系數(shù)k值（即)為多少?(c）令表示資本產出比x和模型參數(shù)表示和（ii）給定初始值，求y的路徑.經濟沿向平衡增長路徑收斂的速度是否是常數(shù)?（e）上述猜測的解是否滿足c與k的運動方程(2.24)與(2.25)?答：(a）已知（1）。利用方程（1）計算得到（b）與（a)題類似,根據(jù)正文可知入.將方程（1）代的定義得到:將方程（4）代入x使用方程(4），考慮從正文的方程（2.25）知道，為簡化上式，將方程(4）和方程（5)代入上式，得到：（8），考慮其時間導數(shù)，得到：（9）（10）(11)將方程（4）和方程(5）代入上式，再利用得到：（d)(i）根據(jù)x為常量的假設，方程(8)可表示成（12）12）為線性非齊次常微分方程。z為求通解，考慮相應的齊次方程,是積分常數(shù)，求解的微分方為求特解,考慮非齊次方程得到特解:，因此，方程（12）的解表示成利用初始條件，替換,得到:,使用方程(2)和（3)消去,利用方程（4）得到:4）代1），求解y的路徑現(xiàn)在，分析經濟趨向平衡增長路徑的收斂速度是否不變.方程（19)兩端同減方程（2）確定的平衡增長路徑，再取對數(shù)求導：（20）上式顯然不是常數(shù),收斂速度也不是常數(shù)。（e)需要知道正文的方程(2.24）和方程（2.25）,或是否成立。使用方程(2.24）和方程（2.25）求解,成立的充要條件是方程（2.24）和方程（2.25）成立。已經方程（2.25)成立，以前使用該方程求解。因此的充分必要條件是。假設,根據(jù)方程（11）可得：b）題,在平衡增長路徑上,方程（22）可表示成:上式等同于方程(11），方程（2。24）和方程（2。25）得以成立。2。10拉姆塞-卡斯-庫普曼斯模型中的資本稅.考慮處于平衡增長路徑上的拉-庫普曼斯經刻（我們稱作0時），對投資所得按稅率征稅的政策，因此家庭面臨的實際利率變?yōu)?假設政府將稅收收入以一次性轉移支付的形式返還給家庭。最后，假設稅收政策是意料之外的。（a）該稅收政策如何影響和線？（b)經濟在0時會對該稅收政策作出何種反應？0時之后的動態(tài)學又是如何？(c）c和k在新舊兩種(d）［本小題基于巴羅、曼昆和薩拉伊馬丁Barro，Mankiv，andSala-i—Martin,1995］假設存在許多與本題相同的國家,各國工人們的偏好相同，平衡增長路徑上的值有何不同?(i)證明平衡增長路徑上的儲蓄率關于τ是遞減的。(ii）低τ、高、高儲蓄率國家的居民是否有動機向低儲蓄率國家投τ0)（e）（c）小題中的答案是否說明補貼投資（即讓〈并通過一次性稅收（f）如果政府并不返還稅收收入，而是將其用于政府購買，（a)小題和(b）小題中的答案會如何變化?答:（a）由于資本的稅后報酬變?yōu)椋簡挝挥行趧拥南M增長率來實現(xiàn)一生效用的最大化,即:（1），即稅后報酬率為必須上升，又因為，所以資本存量必須下降。圖2-8對投資增稅的影響家庭的每單位有效勞動的資本的歐拉方程仍為：(2)由于政府將由這種稅收征集的收入又通過總量性轉移支出返還給家庭，所以決策不受影響，因而的軌跡不變。（b）在0時刻，由于資本的存量由歷史上的投資決策所決定,因而資本不會家庭投資第二章無限期模型與世代交疊模型（d)（i)由上述的分析可以看出,稅率越高，在平衡增長路徑上的越小，而且曲線向左移動得越多，因而有在平衡增長路徑上，儲蓄率可以表示為：可以推出τ此可以將儲蓄率表示為：（3）對方程（3)兩邊求關于稅率的導數(shù):可以簡化為：,以及，可以改寫上式為：（4）τ關于是遞減的。以上便證明了平衡增長路徑上的儲蓄率(ii）在低稅率、高資本存量和高儲蓄的國家的公民沒有動力去投資于低儲蓄第二章無限期模型與世代交疊模型，即稅后的資本回報為從初始的E點開始，投資補貼能夠使消費短期內下降到A點，但最終經濟會沿著新的平衡增長路徑達到更大的消費水平點.可以發(fā)現(xiàn)短期的效用損失會超過長期的效用收益（都用現(xiàn)值形式表示）,如圖2-9所示。(f）假定政府未將稅收所得返給家庭,而是用于政府購買。令為每單位有效勞動的政府購買，則每單位有效勞動的資本存量變化的歐拉方程仍為：(5）政府購買被視為是政府的消費而不是投資，這將不會增加資本存量.由(5）可得，曲線將向下移動。如圖2—10所示.由（a）可知，由于政府征稅，曲線向左移動，移動到,在新的平衡增長路徑上,每單位有效勞動的消費會低于存在政府的總量稅返還的情況。如圖2-10所示。圖2-10稅收全部用于政府購買對經濟的影響2。11應用相圖分析預期變化的影響?？紤]習題2。10中提到的政策，假設政府并不是在0時宣布并執(zhí)行該政策，而是在0時宣布將在以后某一時刻對投（b）c在時刻的變化是否連續(xù)？為什么？（c）用相圖畫出之前c和k的動態(tài)學.（d）根據(jù)（a）、（b）和（c）的答案，c在0時應如何變化？（e)總結上述4個小問題，并把c和k的路徑描繪為時間的函數(shù)。動態(tài)變化的方程為:（1）對于方程（1），在政府返還總量稅，資本積累方程不c的歐拉方程為:平衡增長路徑上，可以推出（3）在平衡增長路徑上，可以推出，即稅后的回報為。因此，稅前的資本回報高于稅后的資本回報.為保持，必須上升，從而k必須下降。因此，在時刻，曲線必須不過值得注意的是，資本的動態(tài)在實際征稅之前仍由原先的歐拉方程決定。在時刻征稅之后,消費c不可能發(fā)生不連續(xù)的變化，原因在于家庭已經在事先知道了將要征稅的消息，家庭希望平滑消費.（d）在時刻征稅之后，消費不可能發(fā)生不連續(xù)的變化，同時經濟會達到新的平衡增長路徑。在0時刻宣布并施行征稅后，c會立即由原先的均衡點E移圖2-12征稅對曲線的影響在A點，由于消費c太高,從而不足以將資本維持在原先的資本水平上，因此k0時刻到時刻，動態(tài)系統(tǒng)仍由原先的鞍點路徑之左，因此消費開始上升。的歐拉方程決定。消費在在時刻經濟恰好移動到新的鞍點路徑，此時稅收執(zhí)行，并且動態(tài)系統(tǒng)仍由新的的歐拉方程決定。因此，c開始下降，經濟最終移動到新的鞍點。(e）每單位有效勞動的消費與每單位有效勞動的資本如圖2—13所示。2.12應用相圖分析暫時性變化的影響?？紤]習題（a）在0時刻，政府宣布將對0時到其后某一時刻間的投資收入按照稅率征稅，而此后投資收入仍將免稅。（b）在0時,政府宣布將對時其后某一時刻間的投資收入按照稅率征稅，而之前和之后的投資收入仍將免稅。ττa)第一問是分析預期到的稅收將在時刻會發(fā)生非連續(xù)的變化。原因在于家庭的跨期消費最優(yōu)化要求家庭平滑消費。因此，返回到舊的鞍點路徑時，消費必須在時刻位于舊的鞍點路徑上。在征稅之前，即到0時刻，,即時刻態(tài)變化面兩個歐拉方程決定結束，因而消費在時刻將不在經濟:（1）（2)資本積累的動態(tài)方程不會受到征稅的影響,但是,消費的動態(tài)方程則會受到征稅的影響。在0時刻到時刻，資本的稅后回報為,為了保證成立k必須下降，從而必須左移.在0時刻，開始征稅，c開始下降。此時經濟在的必須上升，由于c0下邊，因而k開始上升，經濟會偏離到E點的東南，離開了原來的鞍點路徑。2—14所示，在0時刻,經濟上升到A點,k和c開始下降，降到曲線的下方,因而k開始上升。這是因為家庭預測到稅收將被取消，因動態(tài)系統(tǒng)的右邊，即B點。再次支配動態(tài)系統(tǒng).此刻經濟路徑，最終返回到原先的穩(wěn)定點E。再次返回原先的鞍點圖2—14鞍點路徑（b）由于期消費最優(yōu)化這一角度出發(fā),家庭會選擇在各期之間平滑消費，因此在時刻和c不會發(fā)生不連續(xù)的變化。為了使經濟返回到平衡增長路徑上,在時刻經濟必須位于原先的鞍點路徑上。在稅收被執(zhí)行的時刻之前和稅收被取消的時刻之后，經濟家庭可以事先預測到稅收將被執(zhí)行或取消，因此從家庭會進行跨(1）和（2）來支配。在稅收被宣布的0時刻直到被執(zhí)行的時刻為止，原先的歐拉方程仍然支配動態(tài)系統(tǒng)。在0時刻稅收被宣布執(zhí)行，消費開始上升到A點，經濟仍然位于的動k開始下降。因而開始偏離,經濟此刻偏離到動態(tài)系統(tǒng)的西北方。k開始下降，導致B點。此刻經濟位于的動態(tài)系統(tǒng)的上方和的動態(tài)系,k繼續(xù)下降而c開始下降。最終經濟會下降到的動態(tài)系統(tǒng)的,因而k開始上升。為實現(xiàn)家庭的跨期最優(yōu)化，必須選擇資本的初始值以使C點。在時刻之后，經濟仍由E上。如圖2—15所示。2。13本章在分析拉姆塞—卡斯-庫普曼模型中政府政策時假定了政府購買并不影響私人消費的效用.與此相反的情況是政府購買和私人消費是完全替代品。具體而言,假設效用函數(shù)（2。12）變?yōu)椋喝绻洕畛跆幱谄狡胶庠鲩L路徑，并且家庭偏好由U給定，政府購買的暫時增加會對消費路徑、資本路徑和利率路徑有何影響？答：將政府購買納入到動態(tài)系統(tǒng)中，則資本積累方程為:（1）其中,代表t時刻每單位有效勞動的政府購買.因為假定政府購買會完全替代掉私人消費,的變化將會一對一的抵消掉(2）對于處在平衡增長路徑上的消費來講，動態(tài)方程要求.短期政府購買的變化只會產生水平效應，即只影響c的變化，,也就是不會移動曲線.假定經濟處于平衡增長路E點,在時刻，從上升到，家庭預測到加稅只是暫時的，在時1)式中的動態(tài)系統(tǒng)向下移動，移動的數(shù)量恰好為。政府購買的增加直接地減少了家庭消費與拉姆塞—卡斯-庫普曼模型中政府政分析假設政府購買并不影響私人消費的效用的情況相反，政府購買與私人消費是完全替代的,假定會要求在時刻c必須立即向上跳動以抵消政府購買的減少，從而返回到2—16所示必須在時刻向下跳動到點,下降的數(shù)量為.經濟在這一點上一直到時刻。此后，經濟向上跳動以返回到舊的平衡增長路徑上的E點。徑上的.原先的平衡增長路徑上。如圖圖2—16拉姆塞—卡斯-庫普曼模型下面分析兩種非均衡的情況。第一種：在時刻,c下降的數(shù)量小于。此種情況下，經濟將位于新的的上方，k便會減少從而位于的左方，c便會上升，則經濟會向動態(tài)系統(tǒng)的西北方向移動。那么，在時刻，c即使向上移動,經濟也不會:在時刻，k便會上升從而位于的右方，c便會下降，則經濟會向動態(tài)系統(tǒng)的東南方向移動。那么，在時刻，c即使向上移動，經濟也不的暫時性上升，c會下降同樣的數(shù)量.在返回到初始水平時，c會返回到原先2。14設戴蒙德模型中的效用函數(shù)為對數(shù)函數(shù),生產函數(shù)為柯布—道格拉斯如何影響函數(shù).(a）n上升。(b)生產函數(shù)向下移動（c)上升.(即的形式為，而B下降)。答：（a）在對數(shù)效用函數(shù)與柯布—道格拉斯生產函數(shù)的假定下，與的（1）n的上升會導致函數(shù)向下移動，如圖2—17所示。的增長率n,因此t期同樣數(shù)量的每單位有效勞動的資本和每單位有效勞動的收入會產生同樣數(shù)量的儲蓄，也就會導致在t+1期產生同樣數(shù)量的資本。但是,由于，因此，,對該式兩（3）（4）由于下式：將方程（3）代入（4）中，可得:第二章無限期模型與世代交疊模型方程（5）可以重寫為:的函數(shù)應該向下移動.最終在.（ii）平衡增長路徑上的k值即是什么？(iii）按照本章中方程（2.64)—(2.67）的思路，在題中的表達式，并且求出k向收斂的速度.附近線性化(i）小答：（a）第二期的資本存量等于第一期的資本存量加上當期的投資并且減去當期的折舊，即:將上式兩端除以，如下:方程（2）為的函數(shù)的表達式。（b）下面檢驗該函數(shù)是否滿足收斂的條件。分別求關于的一階和二階導數(shù)，即：檢驗稻田條件：該函數(shù)的斜率小于1，則它必然與45°線相交。由上可見,該函數(shù)定義良好注意，并不是一個穩(wěn)定點,任何大于0的資本存量都會收斂于。例如，設某一點小于，由于大于,因此值會不斷地變大，最終收斂于點。相反,設某一點大于，由于小于，因此值會不斷地變小，最終收斂于，將其代入到方程（2）中，可得:在平衡增長路徑上每單位有效勞動的消費為:將方程（4）代入（5）中，可得：上式再次化簡為：為求得在平衡增長路徑上每單位有效勞動資本的邊際產品，將方程(6）關于（7）（8）（d）將柯布—道格拉斯生產函數(shù)代入方程(2）,得:在平衡增長路徑上,有,將該式代入方程（8)，可得:.對方程（8）兩邊求導，可得：將方程(10)代入(9），得：,所以可以將上式簡化為:進一步簡化為:從方程（12)可以推出:（13)因此，經濟向平衡增長路徑移動，即：下面進行校準：令=1/3,n=1％，g=2%及=3%，則收斂速度為3。9%，它2.16戴蒙德模型中的折舊與索洛模型的微觀基礎.假設戴蒙德模型中資本折.(b）在對數(shù)效用、柯布—道格拉斯生產函數(shù)以及的特殊情形下，請把表示為的函數(shù).并將此結果與習題2。15（a）中索洛模型離散形式在時的類似表達式進行比較.。家庭的最優(yōu)化行為不存在折舊的儲蓄率為:,該式簡化為：（3）方程（3)中，儲蓄率依賴于利率，此時生發(fā)了變化，為由于期的資本積累為期年輕人的儲蓄，因此有：（4）是期單個年輕人的儲蓄,由于，代入方程(4），可得：（5）方程（6），可得：代入方程(7），可得：在沒有折舊的情況下，的函數(shù)為：t1變化而變化.（b)在對數(shù)效用函數(shù)的情況下下:,儲蓄率并不依賴于利率，儲蓄率的表達式如（9）根據(jù)柯布-道格拉斯生產函數(shù)，實際工資為9）代入方程（8),可得：(10），將上式與方程（a）部分的時索洛模型的離散時間表達式為：（11）中儲蓄率為總儲蓄除以總產出，而習題2。14的儲蓄率為勞動收入中本模型用于儲蓄的部分。定義經濟的總儲蓄為，等于年輕人的正儲蓄加上老年人的負儲蓄。，由于折舊率為100%，因此不存在老從而方程（10）可以重寫為：在方程（11）中，令儲蓄率為1,(11）可以簡化為(12)，兩者是一樣的。因此，索洛模型的確具有微觀基礎，盡管折舊率為1是不現(xiàn)實的。2。17戴蒙德模型中的社會保障.考慮g為零，柯布-道格拉斯生產函數(shù)以及對數(shù)效用情形下的戴蒙德模型。（a）到期即付式社會保障。假設政府對每個年輕人征稅T,并將此稅收收入（ii)這種變化會如何影響平衡增長路徑上的k值？平衡增長路徑上，的當前和未來各代的福利？若最初的平衡增長路徑是動態(tài)無效的，答案有何不同?（b）全額社會保障.假設政府對每個年輕人征稅T,并將此收入用于購買資t的個人將會在年老時得到(ii）這種變化會如何影響平衡增長路徑上的k值？答：（a)（i）效用函數(shù)為：在對每個年輕人征收數(shù)量為的社會保障稅之后，個人面臨的預算約束為:（2）（3）（2)式為第一期的預算約束，其中代表第一期的個人儲蓄.從個人的角度看，社會保障的回報率為，這不同于私人儲蓄率的回報率.由方程(3）可以解出：（4）將方程(4）代入（2）：重新安排可以得到跨期的個人預算約束：（6）如果，則儲蓄會由于社會保障稅而一對一的下降；如果，儲蓄會下降更快，相反，儲蓄則會下降的較慢。定義，并將其代入(7）,可得：（8)由于期的資本存量等于期的儲蓄，因此有：(9）將方程（9)轉化為每單位有效勞動的形式，并使用方程（8），可得：（ii）為判斷社會保障的引入對平衡增長路徑上的值的影響，必須判定的正負號.如果為正數(shù),則社會保障稅的引入會降低曲線并且降低值。下面計算：,也降低了。（iii）如果經濟是初始動態(tài)有效的,則的邊際增長會提高老年人的福利,但是它將使低于黃金律所要求的資本水平，從而使未來一代人的福利惡化，降低他們的消費水平.但是,如果經濟初始是動態(tài)無效的，則,則的邊際增加會提高老年人的福利。同時，還會提高未來一代人的福利水平,從而是福利改進的.此時社會保障稅的引入會降低過度的資本積累，從而消除動態(tài)無效率.（b)（i）方程(3），即第二期的預算約束變?yōu)椋海?3）從個人角度講，社會保障的回報率等于儲蓄的回報率蓄,即:將方程（14）代入(2）(即第一期的預算約束）,可得：上式進一步簡化為：社會保障的引入引起儲蓄的一對一的減少。期的資本存量等于個人在期的儲蓄加上政府投資，即：將方程（18)轉化為每單位有效勞動的形式，并利用方程（17），可得：上式進一步簡化為：利用方程（11）來替代上式中的工資，即：(19）第二章無限期模型與世代交疊模型因此，全額融資的社會保障稅的引入對后續(xù)各期的資本沒有影響.2。18基本的世代交疊模型（本題來源于薩繆爾森,1958；阿萊，1947)。與..在經濟的生產方面,該模型也比戴蒙德模型更為簡單：中只有一種產品，它既可以用于消費，也可用于儲存；每個在t期出生的人都擁有A單位該產品；儲存每單位產品可使經濟主體在下一期得到x(x〉0）單位產品。最后。假設在最初的第0期,除個擁有A單位產品的年輕人之外，還有個只生活在第0期的老年人,每個老年人擁有Z單位的產品,其效用就是在起始期的消費。(a)說明該分散化均衡。（提示：給定上述世代交疊的結構，某一代的成員是否會與另一代的成員進行交易？）（b）假設經濟人的稟賦中用于儲蓄的份額是不隨時間變化的常數(shù)，在這樣的路徑上請把人均總消費(總消費指所有年輕人與所有老年人的消費總和)表示為的函數(shù)形式.如果，滿足0≤≤1且最大化人均消費的值是多少？分散均衡在這種情況下是否是帕累托有效的？如果不是，社會計劃者怎樣才能提高福利？答：(a）首先,該模型不存在任何一代的成員將會同另一代的成員交易的可能性。原因是即使年輕人愿意交換，但他們的交易對象只能是老人，而老人則因為下一期已去世而不可能同年輕人進行交換。個人的效用函數(shù)為:1）和（（7）7）代入跨期預算約束式（4）中，可得：當年輕人將他的財富一半儲蓄時，下一期他可以消費。由于是對數(shù)效用函數(shù)，因此,個人將其稟賦儲蓄的比例并不依賴于儲蓄的回報率。（b)在t時刻的總消費為:其中，是年輕人的數(shù)量,是老年人的數(shù)量。每個年輕人消費他的稟賦的一部分，每個老年人消費他的稟賦的總回報。由式，對其兩邊除以以轉化為每單位有效勞動的形式,即：第二章無限期模型與世代交疊模型時，每單位有效勞動的消費為一加權和達到最大化。費，而在年老時消費消費的。，高于在分散經濟的情況下每個人在年老時2。19薩繆爾森世代交疊模型中的穩(wěn)態(tài)貨幣均衡（本題來源于薩繆爾森，1958).考慮習題2。18中的設定，假設，并且老年人在第0時期除了擁有單位產品之外還擁有單位的可儲存、可分割的商品，我們稱之為貨幣。貨幣不能產生效用。（a）考慮出生于第期的某個人。假設在t期貨幣計量的產品價格是,而期為。因此,這個人可以按價格出售其稟賦，并在下一期用所得的貨，并且沒有儲存，因此“貨（d)最后，解釋為什么對于任意滿足（即貨幣無價值）也是一種均衡。解釋為什么當經濟會在某一時期終結時[如習題2。20(b）]，這將是唯一的均衡。(提示：從最后一期反推。）答：（a）個人的效用函數(shù)為:（1)預算約束為：（2）第二章無限期模型與世代交疊模型由于貨幣和存儲帶來同樣的回報，因此他將消費一半的稟賦,對于另一半，（b）均衡要求總的實際貨幣需求等于總的實際貨幣供給。總實際貨幣需求=總實際貨幣供給=在上式中，在0時刻，每個老人擁有單位貨幣，共有個老人。用方程（6）除以(5），有:上面的分析對任何的成立，因此是一個均衡。這表明如果貨幣被引入到一個動態(tài)無效率的經濟中，個人將不會選擇存儲.,所以貨幣的回報等于存儲的回報。此時，個人對于以α何種形式持有稟賦是無差異的.令∈為儲蓄中以貨幣形式持有的比例。t期的總實際貨幣需求和總實際貨幣供給的表達式如下:總實際貨幣需求=總實際貨幣供給=總實際貨幣需求=總實際貨幣供給=使用均衡條件求：（8)用方程（8）除以（7）,可得:第二章無限期模型與世代交疊模型,所以有:,的的路徑的一個均衡.2.20動態(tài)無效率的來源。（本題來自于謝爾,1971.）戴蒙德模型和薩繆爾森模型可以在下面兩個方面進行改變：第一，不完全市場，即由于一個人不能與尚未出生的人交易，從而排除了一些可能的交易；第二,無限時期，即由于時間是無窮無盡的,因此存在無窮數(shù)量的經濟人。本題試圖討論其中哪一方面是導致動態(tài)無效率的可能原因.為了簡單起見，我們著重討論薩繆爾森世代交疊模型（參見前面兩題），假設對數(shù)效用并且不考慮折現(xiàn)。為簡化本題，進一步假設以及。（a）不完全市場。假設我們允許所有經濟個體在開始計時前通過競爭市場進行交易，即取消不完全市場假設.換言之,某瓦爾拉斯拍賣者將每個時期的新產品叫價為,,,…，然后人們根據(jù)其所得稟賦和儲存能力按照這些價格進行買賣。因此，出生于t期的個人面臨的預算約束為，其中為個人儲存的數(shù)量，需滿第二章無限期模型與世代交疊模型衡與習題2。18（a)中的均衡相同。(ii）假設拍賣者宣布價格在某些時期不滿足.證明在不滿足條件（c）根據(jù)上述答案，討論動態(tài)無效率的根源是不完全市場還是無限時期?終生的預算約束為：從習題2.18可以知道,對于對數(shù)效用函數(shù)，個人將在第一期消費，個人的行為依賴于存儲的回報率x相對于交易的總回報率的大小。個人可以在t期賣掉一單位物品以取得，在t+1期花費取得一單位物1來取得單位的物品。因此，對于，在t+1期可以取。換句話說,存儲的回報率等價于交易的回報率，因此個人對于存儲和交易是無差異的。令∈代表儲蓄的份額中被賣掉的部分。因此個人在t期賣掉。這允許個人在t+1期,有下式：（3）在t+1期的消費將等于個人購買的數(shù)量加上存儲的數(shù)量,即：(4）的情況,方程（4)可以寫為：t+1期,令L代表各期總人數(shù)，它是不變的?？偣┙o等于總需求為t+1期總的老人數(shù)量乘以個人想要購買的數(shù)量(要達到市場出清，總需求等于總供給，即：該式簡化為：（8）由于均衡的價格路徑為：，方程(8）給出的均衡條件可以寫為：（9）考慮0期的情況，老年人僅僅消費他們的稟賦，因此在0期令以實,則方程（9）表明對于任何的t≥0,都有.均衡的結果與習題2。17的結果是一致的。個人在第一期消費一半的稟賦而x<1+n，(因為n=0和x<1），因此是動態(tài).因此，通過在開始之前允許交易以消除市場的不完全性并不能消除動態(tài)無效率。無效率的(ii)假定拍賣者宣布,這意味著交易占優(yōu)于存儲，t期年輕人將賣掉所有的儲蓄，.由于他們賣掉，沒有存儲，因此t期的總供給為.對于t期的老人來講，是無關的，老人基于在年老時來做決策.因此對于老人來說，正如第一部分分析的，老人不會買任小于總供給，市場將永遠無法出清何東西。因此在t期總需求為0，即總需求.第二章無限期模型與世代交疊模型來做決策。因此對于老人來說，正如第（b)考慮中央計劃者的問題.中央計劃者可以將用于