2023屆青海省西寧市大通回族土族自治縣高三一模數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆青海省西寧市大通回族土族自治縣高三一模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合、，再結(jié)合交集的定義求解即可.【詳解】因為，，所以．故選：B.2．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，化簡即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：C.3．拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用拋物線的幾何性質(zhì)即可求得拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】因為，所以，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：C4．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及特殊點即可排除選項求解.【詳解】的定義域為，關(guān)于原點對稱，因為，所以為奇函數(shù)，故排除C,D,又，所以排除B,故選：A5．下圖是2010年—2021年（記2010年為第1年）中國創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)統(tǒng)計圖，由圖可知下列結(jié)論不正確的是（

）A．從2010年到2021年，創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)一直處于增長的趨勢B．2021年的創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)超過了2010年—2012年這3年的創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)總和C．2021年的創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)比2010年的創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)的兩倍還要大D．2010年到2014年的創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)的增長速率比2017年到2021年的增長速率要慢【答案】B【分析】由統(tǒng)計圖中對應(yīng)年份的創(chuàng)業(yè)指數(shù)及走勢，判斷出四個選項的正誤.【詳解】從統(tǒng)計圖可看出從2010年到2021年，創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)一直處于增長的趨勢，A正確；從統(tǒng)計圖估計得到2021年的創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)大約為350，而2010年—2012年這3年的創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)總和大約為，故2021年的創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)沒有超過2010年—2012年這3年的創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)總和，B錯誤；因為2021年的創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)大約為350，2010年的創(chuàng)業(yè)指數(shù)小于150，，故2021年的創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)比2010年的創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)的兩倍還要大，C正確；2010年到2014年的創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)的折線傾斜程度小，而2017年到2021年的創(chuàng)業(yè)指數(shù)的折線傾斜程度大，故2010年到2014年的創(chuàng)新產(chǎn)業(yè)指數(shù)的增長速率比2017年到2021年的增長速率要慢，D正確.故選：B6．下列坐標(biāo)所表示的點是函數(shù)圖象的對稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦函數(shù)的對稱中心為，可得，解之即可.【詳解】因為正弦函數(shù)的對稱中心為，所以令，解得：，當(dāng)時，對稱中心為，即A是對稱中心，其它各項均不是對稱中心.故選：.7．2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔爾舉行．現(xiàn)要安排甲、乙等5名志愿者去A，B，C三個足球場服務(wù)，要求每個足球場都有人去，每人都只能去一個足球場，則甲、乙兩人被分在同一個足球場的安排方法種數(shù)為（

）A．12 B．18 C．36 D．48【答案】C【分析】先按3，1，1或2，2，1分組，再安排到球場.【詳解】將5人按3，1，1分成三組，且甲、乙在同一組的安排方法有種，將5人按2，2，1分成三組，且甲、乙在同一組的安排方法有種，則甲、乙兩人被分在同一個足球場的安排方法種數(shù)為．故選：C8．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，直線l經(jīng)過且與C左支交于P，Q兩點，P在以為直徑的圓上，，則C的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)P在以為直徑的圓上，得到，設(shè)，，得到，由雙曲線定義得到，求出，由勾股定理求出，從而求出離心率.【詳解】不妨設(shè)，，因為P在以為直徑的圓上，所以，即，則．因為Q在C的左支上，所以，即，解得，則．因為，所以，即，故，故．故選：A9．如圖，在正三棱柱中，為的中點，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取中點為E，連接，則與所成角就是與所成角.【詳解】如圖，取中點為E，連接.又因D為的中點，則，故與所成角就是與所成角.由題為正三角形，則.又因幾何體為正三棱柱，則，得，，.則在中，，，，得為直角三角形，則與所成角的余弦值為：.故選：D.10．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件得到，，，從而求出，，，再由數(shù)列是等比數(shù)列得到，即可得到.【詳解】由題意得：，，，即，，，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，即，解得：，故選：C.11．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可知，代入可證明，構(gòu)造，根據(jù)單調(diào)性可知，代入可證明，即可得到結(jié)果.【詳解】令函數(shù)，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增．故，則，即；令函數(shù)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減．故，則，即.故選：A12．“碳達(dá)峰”是指二氧化碳的排放不再增長，達(dá)到峰值之后開始下降，而“碳中和”是指企業(yè)、團體或個人通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某地區(qū)二氧化碳的排放量達(dá)到峰值a（億噸）后開始下降，其二氧化碳的排放量S（億噸）與時間t（年）滿足函數(shù)關(guān)系式，若經(jīng)過4年，該地區(qū)二氧化碳的排放量為（億噸）．已知該地區(qū)通過植樹造林、節(jié)能減排等形式抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量為（億噸），則該地區(qū)要實現(xiàn)“碳中和”，至少需要經(jīng)過（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．13年 B．14年 C．15年 D．16年【答案】D【分析】由條件列式先確定參數(shù)，再結(jié)合對數(shù)運算解方程.【詳解】由題意，，即，所以，令，即，故，即，可得，即．故選：D二、填空題13．已知向量，若，則__________．【答案】16【分析】根據(jù)向量垂直列方程，由此求得的值.【詳解】由，得，即，則．故答案為：14．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，已知，則_____________．【答案】5【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，即可直接求得結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，故，解得.故答案為：.15．若甲、乙兩個圓柱形容器的容積相等，且甲、乙兩個圓柱形的容器內(nèi)部底面半徑的比值為2，則甲、乙兩個圓柱形容器內(nèi)部的高度的比值為____________．【答案】##【分析】根據(jù)體積相等列方程，由此求得高度比.【詳解】設(shè)甲的底面半徑為，則乙的底面半徑為，設(shè)甲的高為，乙的高為，依題意，，所以.故答案為：16．設(shè)某車間的A類零件的厚度L（單位：）服從正態(tài)分布，且．若從A類零件中隨機選取100個，則零件厚度小于的個數(shù)的方差為______．【答案】16【分析】根據(jù)正態(tài)分布得到，再由零件厚度小于14mm的個數(shù)服從求解.【詳解】依題意，得，若從A類零件中隨機選取100個，則零件厚度小于14mm的個數(shù)服從，所以.故答案為：16.三、解答題17．a(chǎn)，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊．已知．(1)求C；(2)若c是a，b的等比中項，且的周長為6，求外接圓的半徑．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理、余弦定理，結(jié)合等比中項的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，由，因為，所以，于是由，因為，所以；（2）因為c是a，b的等比中項，所以，因為的周長為6，所以，由余弦定理可知：，或舍去，所以外接圓的半徑為.18．某電視臺舉行沖關(guān)直播活動，該活動共有四關(guān)，只有一等獎和二等獎兩個獎項，參加活動的選手從第一關(guān)開始依次通關(guān)，只有通過本關(guān)才能沖下一關(guān)．已知第一關(guān)的通過率為0.7，第二關(guān)、第三關(guān)的通過率均為0.5，第四關(guān)的通過率為0.2，四關(guān)全部通過可以獲得一等獎（獎金為500元），通過前三關(guān)就可以獲得二等獎（獎金為200元），如果獲得二等獎又獲得一等獎，獎金可以累加．假設(shè)選手是否通過每一關(guān)相互獨立，現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動．(1)求甲獲得獎金的期望；(2)已知甲和乙最后所得獎金之和為900元，求甲獲得一等獎的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知甲獲得的獎金可能的取值為0，200，700，進而依次計算對應(yīng)的概率，求解期望即可；（2）根據(jù)條件概率的計算公式求解即可.【詳解】（1）解：（1）設(shè)甲獲得的獎金為元，則可能的取值為0，200，700．，，，所以，甲獲得的獎金的概率分布列為：0200700所以．（2）解：由（1）可知，獲得二等獎的概率為0.14，獲得一等獎的概率為0.035．設(shè)事件A：甲和乙最后所得獎金之和為900元，設(shè)事件B：甲選手獲得一等獎，由（1）知獲得二等獎的概率為，獲得一等獎的概率為，所以，所以，所求的概率．19．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，，分別是，，的中點，平面，，且．(1)證明：平面；(2)求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求二面角.【詳解】（1）在菱形中，因為，分別是，的中點，所以．所以四邊形為平行四邊形，即有BG//DE，因為平面，平面，所以BG//平面DEF.又是的中點，所以．平面DEF，平面DEF，所以平面DEF.因為，平面PBG，所以平面平面．因為平面，所以平面；（2）因為，，所以可求得四棱錐的高為．以為坐標(biāo)原點，，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．，，．記平面的法向量為，則，令，得．記平面的法向量為，則，令，得．因為，且二面角為鈍角，所以二面角為．20．已知動點P到直線的距離是P到點距離的2倍，點P的軌跡記為C．(1)證明：存在點，使得為定值．(2)過點F且斜率的直線l與C交于A，B兩點，M，N為x軸上的兩個動點，且，，若，求k．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）設(shè)，根據(jù)已知可推出點的軌跡是一個橢圓，根據(jù)橢圓的定義找到定點，給出證明；（2）根據(jù)已知可得，，進而根據(jù)斜率以及勾股定理可推得，.聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得，進而整理得到關(guān)于的方程，解方程即可得出.【詳解】（1）證明：設(shè)點，由已知可得，整理可得.所以點的軌跡是一個橢圓，，，，且橢圓的焦點為，，即是橢圓的右焦點，取，根據(jù)橢圓的定義可知，.所以，存在點，使得為定值4．（2）因為，，所以，.如圖，在中，，所以，又，即，所以.同理可得，，所以，即.又，所以.設(shè)，，直線的方程為聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，.恒成立，且，則，又，即，整理可得，又，所以.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21．已知函數(shù).(1)若，證明：存在唯一的極值點.(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）求導(dǎo)得到，根據(jù)零點存在性定理得到在上存在唯一一個零點，即可得到在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，存在唯一的極值點；（2）將，轉(zhuǎn)化為，然后分或和兩種情況討論在上的單調(diào)性，令，解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，，因為函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，，，所以在上存在唯一一個零點，且當(dāng)時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，存在唯一的極值點.（2），可以轉(zhuǎn)化為，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即或時，在上大于零，在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以或；當(dāng)時，，時，，所以在上存在一個零點，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，因為，所以，，，則，所以成立；綜上可得，的取值范圍為.【點睛】對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：（1）恒成立；（2）恒成立.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線與曲線交于兩點，的直角坐標(biāo)為，求．【答案】(1)：，：.(2)【分析】（1）根據(jù)消參法消去參數(shù)即可求解的普通方程，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的互換即可得的直角方程，（2）根據(jù)直線的