高中數(shù)學(xué)-球?qū)ｎ}講義模型全解-簡化學(xué)生版

專題一墻角模型如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球．有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點與難點，也是高考考查的一個熱點．考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力．研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用．球的內(nèi)切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切點，通過作截面來解決．如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作．當(dāng)球與多面體的各個面相切時，注意球心到各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時，可用球心與多面體的各頂點連接，球的半徑為分成的小棱錐的高，用體積法來求球的半徑．空間幾何體的外接球與內(nèi)切球十大模型1．墻角模型；2．對棱相等模型；3．漢堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鱷魚模型；8．已知球心或球半徑模型；9．最值模型；10．內(nèi)切球模型．【方法總結(jié)】墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直的直徑等于長方體的體對角線長(在長方于底面且底面是直角三角形模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決．外接球體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R=222a+b+c．)，秒殺公式：．可求出球的半徑從而解決問題．有以下四種類型：a+b22+c2R2=4【例題選講】例1.[例](1)已知三棱錐CD，且AC=3，BC=2，CD=5，則球O的表面積為()A.12πB.7πC.9π(2)若三棱錐S?ABC的三條側(cè)棱，且SA=2，SB=SC=4，則該三棱錐的外接球半徑為()．A-BCD的四個頂點A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥D.8π兩兩垂直A.3B.6C.36D.9(3)已知S，A，B，C，是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2，則球O的表面積等于()．A.4πB.3πC.2πD.π(4)在正三棱錐S-ABC中，M，N分別是棱SC，BC的中點，且AM⊥MN，若側(cè)棱SA=23，則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是________．(5)(2019全國Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為()．A.86πB.46πC.26π正三D.6π·1·πα-l-β的大小為，點P∈α，點3(6)已知二面角P在β內(nèi)的正投影為點A，過點A作AB⊥l，垂足為點B，點C∈l，BC=22，PA=23，點D∈β，且四邊形ABCD滿足∠BCD+∠DAB=π．若四面體PACD的四個頂點都在同一球面上，則該球的體積為________．【對點訓(xùn)練】1．點A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD兩兩垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，則該球的表面積為()72714πD.3A.7πB.14πC.π2．等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，將△ABC沿BC邊上的高AD折成直二面角B-AD-C，則三棱錐B-ACD的外接球的表面積為()203A.5πB.πC.10πD.34π3．已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，則球O的體積等于________.4．已知四面體P-ABC四個頂點都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，AB=PB=2，則球O的表面積為________．5．三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC=3，PA⊥PB，三棱錐P-ABC的外接球的體積為()272273πA.πB.C.273πD.27π26．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，四面體ABCD各頂點的坐標(biāo)分別為A(2，2，1)，B(2，2，-1)，C(0，2，1)，D(0，0，1)，則該四面體外接球的表面積是()A.16πB.12πC.43πABCD中，∠ABD=9°0，且AB=1，BD=2，若將其沿BD折起使平面ABD⊥平面(D)C.16πD.6π7．在平行四邊形BCD，則三棱錐A-BDC的外接球的表面積為A.2πB.8πD.4π8．在正三棱錐S-ABC中，點M是SC的中點，且AM⊥SB，底面邊長AB=22，則正三棱錐S-ABC的外接球的表面積為()A.6πB.12πC.32πD.36π9．在古代將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，已知四面體A-BCD為鱉臑，AB⊥平面BCD，383，則其外接球的表面積為CD，若此四面體的體積為且AB=BC=6________．310．在長方體ABCD-ABCD1111=3，E是線段AB方形，AA上一點，11中，底面ABCD是邊長為32的正1DE外接球的表面積為A-BD-E的正切值為3，則三棱錐A-A11________．若二面角·2·專題二對棱相等模型【方法總結(jié)】對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的22=x22+z2(三棱錐的三+y+c(長方體的長、寬、高分別為a、b、c)．秒殺公式：R8體對角線長，即2R=a2+b2組對棱長分別為x、y、z)．可求出球的半徑從而解決問題．【例題選講】例2.[例](1)正四面體的各條棱長都為2，則該正面體外接球的體積為________．(2)在三棱錐A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，則三棱錐A?BCD外接球的表面積為________．(4)在正四面體A-BCD中，E是棱AD的中點，P是棱AC上一動點，BP+PE的最小值為7，則該正四面體的外接球的體積是()A.6π36πD.23πB.6πC.32(5)已知三棱錐A-BCD，三組對棱兩兩相等，且AB=CD=1，AD=BC=3，若三棱錐A-BCD的外接9π球表面積為2．則AC=________．【對點訓(xùn)練】1．已知正四面體ABCD的外接球的體積為86π，則這個四面體的表面積為________．2．表面積為83的正四面體的外接球的表面積為()A.43πB.12πC.8πD.46π3．已知四面體ABCD滿足AB=CD=6，AC=AD=BC=BD=2，則四面體ABCD的外接球的表面積是________．4．三棱錐中S-ABC，SA=BC=13，SB=AC=5，SC=AB=10．則三棱錐的外接球的表面積為______.5．已知一個四面體ABCD的每個頂點都在表面積為9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC=AD=BC=BD=5，則a=________.6．正四面體ABCD中，E是棱AD的中點，P是棱AC上一動點，BP+PE的最小值為14，則該正四面體的外接球表面積是()A.12πB.32πC.8πD.24π·3·專題三漢堡模型【方法總結(jié)】漢堡模型是直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法(多面體的外接球的球心是過多面體的兩個面的外心且分別垂直這兩個面的直線的交點．一般情況下只作出一個面的垂線，然后設(shè)出球心用算術(shù)方法或代數(shù)方法即可解決問題．有時也作出兩條垂線，交點即為球心．)解決．以直三棱柱為例，模型如下圖，由對稱性可知球心OBC=r，OO=h2，∴R2=r2的外心O連線的中點，算出小圓O的半徑AO11121的位置是△ABC的外心O與△A111+h2．4【例題選講】例3.[例](1)(2013遼寧)已知直三棱柱ABC-AO的球面上．若AB=3，ACBC的6個頂點都在球111=4，AB⊥AC，AA=12，則球O的半徑為()．1317213C.2A.B.210D.310(2)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()．7311D.73πa2A.πa2B.πa2πa2C.3(3)(2009全國Ⅰ)直三棱柱ABC-ABC的各頂點都在111=2，∠BAC=AB=AC=AA1同一球面上，若120°，則此球的表面積等于()．A.10πB.20πC.30πD.40π(4)已知圓柱的高為2，底面半徑為3，若該圓柱的兩個底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的表面積等于()16πB.332πC.3A.4πD.16π(5)若一個圓柱的表面積為12π，則該圓柱的外接球的表面積的最小值為()A.(125-12)πB.123πC.(123+3)πD.16π【對點訓(xùn)練】一直三棱柱的每條棱長都是2，且每個頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為()28π322π43π3A.B.3C.D.7π2．一個正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱98柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為________.3343．已知正三棱柱ABC-ABCBC外中，底面積為，一個側(cè)面的周長為63，則正三棱柱ABC-A111111接球的表面積為()A.4πB.8πC.16πD.32π4．已知直三棱柱ABC-ABC的6個頂點都在球111=2，∠BAC=60°，AA1O的球面上，若AB=3，AC=1，·4·則該三棱柱的外接球的體積為()40π34030π2732030πC.A.B.D.20π275．已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，E，F(xiàn)分別為角A-EF-C的大小為120°，則過A，B，C，D，E，F(xiàn)六點的球的AB，CD的中點，將四邊形AEFD沿EF折起，使二面表面積為()A.6πB.5πC.4πD.3π6．已知直三棱柱ABC-ABC=23，∠BAC=表面上，若AB=AC=1，AA1的6個頂點都在球O的1112π，則球3O的體積為()32π34πA.B.3πC.3母線與底面所成角為60°，若此圓柱的外接球的表面積高是其底面半徑的()D.8π7．有一個圓錐與一個圓柱的底面半徑相等，此圓錐的是圓錐的側(cè)面積的4倍，則此圓柱的A.2倍B.2倍C.22倍D.3倍π，則該正四棱柱外接球的表面38．正四棱柱ABCD-ABCD-BD-C中，AB=2，二面角A的大小為111111積為()A.12πB.14πC.16πD.18π9．正四棱柱ABCD-ABCD中，AB=2，AA=2，設(shè)四棱柱的外接球的球心為O，動點P在正方形O的表面點M，現(xiàn)點P從點A出發(fā)，沿著A→B→C→D→A運動一次，則點M經(jīng)過________．10．已知圓柱的錐P-ABC的11111ABCD的邊上，射線OP交球的路徑長為上底面圓周經(jīng)過正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱的中點，下底面圓心為此三棱錐底面中心O．若三棱高為該圓柱外接球半徑的2倍，則該三棱錐的外接球與圓柱外接球的半徑的比值為________．·5·專題四垂面模型【方法總結(jié)】垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內(nèi)接于球，由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外=r，OO=h+h2．4心O與△ABD的外心O連線的中點，算出小圓O的半徑AO2，∴R2=r21222111【例題選講】例4.[例](1)已知在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB=30°，AC=2AB=23，SA=1．則該三棱錐的外接球的體積為()138131313D.πA.13πB.13πC.6π6(2)三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()23464D.π3A.23πB.πC.64π(3)在三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠ABC=60°，SA=25，則該三棱錐的外接球的表面積為()6432563436320483πD.27A.πB.πC.π(4)在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=120?，PA=AB=AC=2，若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為()A.103πB.18πC.20πD.93π(5)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AC=2，AB=1，設(shè)D為BC中點，且直線PD5，則該三棱錐外接球的表面積為________．5與平面ABC所成角的余弦值為【對點訓(xùn)練】1．三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，則該三棱錐外接球的表面積為()21πA.18πB.2C.21πC.16πD.42πD.32π2．四面體ABCD的四AB=2，則球O的表面積為()B.12π個頂點都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的等邊三角形，若A.4π3．已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，則球O的表面積為()A.4πB.12πC.16πD.64π4．在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，PA=2，AB=AC=3，若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為()4π382πA.B.C.8πD.12π35．在三棱錐A-BCD中，AC=CD=2，AB=AD=BD=BC=1，若三棱錐的所有頂點，都在同一球面·6·上，則球的表面積是________．6．如圖，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，點D為AC的中點，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，連接PC，得到三棱錐P-BCD，若該三棱錐的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積是()A.7πB.5πC.3πD.π7．已知點P，A，B，C，D是球O表面上的點，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為23的正方形．若PA=26，則△OAB的面積為()．A.3B.22C.33D.638．三棱錐P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，則該三棱錐的外接球表面積為________．9．中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD=5，ED=3，若鱉臑P-ADE的外接球的體積為92π，則陽馬P-ABCD的外接球的表面積為________．10．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP=2，點M是矩形ABCD內(nèi)(含邊界)的動點，且AB=πABCD所成的角為．記點41，AD=3，直線PM與平面M的軌跡長度為α，則tanα=________．；當(dāng)三棱錐P-ABM的體積最小時，三棱錐P-ABM的外接球的表面積為________．·7·專題五切瓜模型【方法總結(jié)】切瓜模型是有一側(cè)面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是解決方法是分別過△ABC與△BCD的Ⅳ，△ABC與△BCD都一過△BCD的外心O線，用代數(shù)方法BCD，如類型等邊三角形，外心作該三角形所在平面的垂線，交點O即為球心．類型般三角形，解決方法是作該三角形所在平面的垂1即可解決問題．設(shè)三棱錐A-BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O，1+m2，22R=r到BD的距離為d，O與O的距離為m，則解得R．可用秒殺公式：R2l222=r+r-(其412O1R2=d2+h-m2，1中r、r為兩個面的2外接圓的半徑，l為兩個面的交線的長)1【例題例5.[例](1)已知在三棱錐BC，且平面PAC⊥平面(2)如圖，已知平面ABCD滿足AB=AD=2，平面ABD⊥平面體ABCD外接球的體積為________．選講】=43ππP-ABC中，V，∠APC=4，∠BPC=3，PA⊥AC，PB⊥3P-ABCPBC，那么三棱錐P-ABC外接球的體積為________．四邊形∠A=60?，∠C=90?，將△ABD沿對角線BD翻折，使CBD，則四面(3)已知三棱錐A-BCD中，△ABD與△BCD是邊長為2的等邊三角形且二面角A-BD-C為直二面角，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為()10π320πA.B.5πC.6πD.3點，且平面PBC⊥平面P-ABC外接球的表面積為________．AB=AC=2，D，E分別為AB，表面積為________．(4)已知ΔABC是以BC為斜邊的直角三角形，P為平面ABC外一ABC，BC=3，PB=22，PC=5，則三棱錐(5)已知等腰直角三角形ABC中，AC的中點，沿DE將△ABC折成直二面角(如圖)，則四棱錐A-DECB的外接球的【對點訓(xùn)練】1．把邊長為3的的表面積為()正方ABCD沿對角線AC對折，使得平面ABC⊥平面ADC，則三棱錐D-ABC的外接球·8·A.32πB.27πC.18πD.9π2．在三棱錐A-BCD中，△ACD與△BCD都是邊長為4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，則該三棱錐外接球的表面積為________．3．已知如圖所示的三棱錐D-ABC的四個頂點均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=3，AC=3，BC=CD=BD=23，則球O的表面積為()A.4πB.12πC.16πD.36π4．在三棱錐A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，ΔABC是邊長為2的正三角形，若∠BDC=π4，三棱錐的各個頂點均在球O上，則球O的表面積為()．52π328πD.3A.B.3πC.4π25．已知空間四邊形ABCD，∠BAC=π，AB=AC=23，BD=4，CD=25，且平面ABC⊥平面3BCD，則該幾何體的外接球的表面積為()A.24πB.48πC.64πD.96π6．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=22，PA=PD=AB=2，則四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為()A.2πB.4πC.8πD.12π7．在四棱錐A-BCDE中，ΔABC是邊長為6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC⊥平面BCDE，則該四棱錐的外接球的體積為()A.2121πB.84πC.721πD.2821π8．已知空間四邊形ABCD，∠BAC=2π3，AB=AC=23，BD=CD=6，且平面ABC⊥平面BCD，則空間四邊形ABCD的外接球的表面積為()A.60πB.36πC.24πD.12π9．在三棱錐P-ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，PB=PC=43，平面PBC⊥平面ABC，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為________．10．在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP=25,AB=6,∠ACB=π3，且直線PA與平面ABC所成角的正切值為2，則該三棱錐的外接球的表面積為()52πC.35213πD.3A.13πB.52π10．答案B解析如圖，過點P作PE⊥AB于E，D為AB的中點，設(shè)ΔABC的外心是O，半徑是r，連1=43，則OB=r=23，D為AB的中點，BD=AD=21AB1ABsin∠ACBB，OE，OD，由正弦定理得2r=1接O1122=3，OD⊥AB，所以O(shè)D=OB-BD=3，因為平面PAB⊥平面ABC，PE⊥AB于E，平面PAB∩平面111·9·ABC=AB，則PE⊥平面ABC，所以直線PA與平面ABC所成的角是∠PAE，則tan∠PAE=AEPE=2，即PE22=2AE，因為AP=PE+AE=25，所以PE=2AE=4，則DE=1，故OE=2，設(shè)三棱錐P-ABC外接球球1心是O，連接OO，OB，OP，過O作OH⊥PE于H，則OO⊥平面ABC，于是OO?PE，從而OOHE是矩形，1111所以外接球半徑R滿足R2=OO2，解得R=13．所以外接222+OB=OH+(PE-HE)=OE+(PE-OO)211121球的表面積為4πR2=52π．·10·專題六斗笠模型【方法總結(jié)】22h+r(其中圓錐、頂點在底面的射影是底面外心的棱錐．秒殺公式：R=h為幾何體的高，r為幾何體的底面半2h徑或底面外接圓的圓心)【例題選講】例6.[例](1)一個圓錐恰有三條母線兩兩夾角為60°，若該圓錐的側(cè)面積為33π，則該圓錐外接球的表面積為________．(2)(2020·全國Ⅰ)已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O為△ABC的外接圓．若⊙O的面積為14π，1AB=BC=AC=OO，則球O的表面積為()1A.64πB.48πC.36πD.32π(3)在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=26,AC=AB=4，且AC⊥AB，則該三棱錐外接球的表面積為________．(4)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為()81πA.27π4B.16πC.9πD.4(5)如圖所示，在正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，2cos∠PEF=2，若A，B，C，D，P在同一球面上，則此球的體積為________．(6)在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=1，BC=3，則該三棱錐外接球的體積為()4πB.832π32D.π3A.C.43π3【對點1．已知圓錐的頂點為訓(xùn)練】P，母線PA與底面所成的角為30°，底面圓心O到PA的距離為1，則該圓錐外接球的表面積為________．2．在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=3，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°，則該三棱錐外接球的體積為()πB.34πA.πC.4πD.33．在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=6，AC=AB=2，且AC⊥AB，則該三棱錐外接球的表面積為()·11·A.4πB.8πC.16πD.9π4．已知體積為3的正三棱錐P-ABC的外接球的球心為O，若滿足OA+OB+OC=0，則此三棱錐外接球的半徑是()A.2B.2C.32D.345．已知正四棱錐P-ABCD的各頂點都在同一球面上，底面正方形的邊長為2，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為()124π3625π500π256πD.A.B.C.818196．已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°，若ΔSAB的面積為8，則該圓錐外接球的表面積是________．7．已知圓臺OO12上底面圓O的半徑為2，下底面圓O的半徑為22，圓臺的外接球的球心為O，且球心在21O|=3|OO|，則圓臺OO的外接球的表面積為________．圓臺的軸OO上，滿足|O1212128．在六棱錐P-ABCDEF中，底面是邊長為2的正六邊形，PA=2且與底面垂直，則該六棱錐外接球的體積等于________．9．在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=2，BC=10，∠APC=π2，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為________．10．在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=92，AB=8，AC=6．頂點P在平面ABC內(nèi)的射影為H，若AH=λAB+μAC且μ+2λ=1，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為________．·12·專題七鱷魚模型【方法總結(jié)】鱷魚模型即普通三棱錐模型，用找球心法可以解決．如果已知其中兩個面的二面角，則可用秒殺公式：R2=-2mncosαlm+n222+(其中l(wèi)=|AB|)解決．42sinα【例題選講】例7.[例](1)在三棱錐A-BCD中，ΔABD和ΔCBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角A-BD-C的平面角為60°，則三棱錐的外接球的表面積為________．(2)在等腰直角ΔABC中，AB=2，∠BAC=90°，AD為斜邊BC的高，將ΔABC沿AD折疊，使二面角B-AD-C為60°，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為________．(3)在四面體ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=60°，∠BCD=90°，二面角A-BD-C的大小為150°，則四面體ABCD外接球的半徑為________．3(3)在三棱錐S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是-3，若S，A，B，C都在同一球面上，則該球的表面積是()A.4πB.6πC.8πD.9π(4)已知三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=22，BC=3，PA=PB=32，且二面角P-AB-C的大小為150°，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為()A.100πB.108πC.110πD.111π6(5)在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，三角形PAC為等邊三角形，二面角P-AC-B的余弦值為-31，當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大值為3時，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為________．(6)在體積為233的四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為邊長為2的正方形，ΔPAB為等邊三角形，二面角P-AB-C為銳角，則四棱錐P-ABCD外接球的半徑為()A.321B.2C.33D.2【對點訓(xùn)練】1．在三棱錐S-ABC中，SB=SC=AB=BC=AC=2，二面角S-BC-A的大小為60°，則三棱錐S-ABC外接球的表面積是()14π316πB.340πC.952πD.9A.·13·2．已知三棱錐A-BCD，BC=6，且ΔABC、ΔBCD均為等邊三角形，二面角A-BC-D的平面角為60°，則三棱錐外接球的表面積是________．3．已知邊長為6的菱形ABCD中，∠BAD=120°，沿對角線AC折成二面角B-AC-D的大小為θ的四面1體且cosθ=3，則四面體ABCD的外接球的表面積為________．4．在三棱錐P-ABC中，頂點P在底面ABC的投影G是ΔABC的外心，PB=BC=2，且面PBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為________．5．直角三角形ABC，∠ABC=π，AC+BC=2，將ΔABC繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ΔABC位置，若二面角C-AB22π3-C的大小為，則四面體C-ABC的外接球的表面積的最小值為()3C.π2A.6πB.3πD.2π6．已知空間四邊形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=1，CD=3，若二面角A-BD-C的取值范圍為π2π43，則該幾何體的外接球表面積的取值范圍為________．，7．在三棱錐S-ABC中，底面ΔABC是邊長為3的等邊三角形，SA=3，SB=23，二面角S-AB-C的大小為60°，則此三棱錐的外接球的表面積為________．ABCD中，BC=CD=BD=AB=2，∠ABC=90°，二面角A-BC-D的平面角為150°，則四C.31π8．在四面體面體ABCD外接球的表面積為()313124A.πB.πD.124π39．在三棱錐A-BCD中，AB=BC=CD=DA=7，BD=23，二面角A-BD-C是鈍角．若三棱錐A-BCD的體積為2．則三棱錐A-BCD的外接球的表面積是()37353D.π4A.12πB.πC.13π10．在平面五邊形ABCDE中，∠A=60°，AB=AE=63，BC⊥CD，DE⊥CD，且BC=DE=6．將起，使平面BCDE所成的二面角為120°，則沿對角線所得幾何體的外接球的表面積是五邊形ABCDE沿對角線BE折ABE與平面BE折起后________．·14·專題八已知球心或球半徑模型【例題選講】例8.[例Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________．(2)已知三棱錐A-BCD的所有頂點都在球，若該三棱錐的體積為3，BC=3，BD=3，∠CBD=90?，則球O的體積為________．Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為(](1)(2017·全國O的球面上，AB為球O的直徑(3)(2012全國O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC22B.6C.3Ⅰ)已知直四棱柱ABCD-ABCD為球)23A.6D.2(4)(2020·新高考全國的棱長均為2，∠BAD=60°．以D為球心，511111為半徑的球面與側(cè)面BCCB的交線長為________．11(5)三棱錐S-ABC的底面各棱長均為3，其外接球半徑為2，則三棱錐S-ABC的體積最大時，點S到平面ABC的距離為()A.2+3B.2-3C.3D.2【對點訓(xùn)練】1．已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC滿足AB=22，∠ACB=90°，PA為球O的直徑且PA=4，則點P到底面ABC的距離為()A.2B.22C.3D.232．已知矩形ABCD的頂點都在球心為O，半徑為R的球面上，AB=6，BC=23，且四棱錐O-ABCD的體積為83，則R等于()47B.23C.93．已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在某球A.4D.13面上，PC為該球的直徑，△ABC是邊長為4的等邊三角形，三16棱錐P-ABC的體積為3，則此三棱錐的外接球的表面積為()16πA.40πB.364πC.380πD.334．已知三棱錐A-SBC的體積為23，各頂點均在以PA為直徑球面上，AB=AC=2,BC=2，則這個3球的表面積為_____________5．(2017Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑積為________．6．(2020Ⅰ)已知．·全國為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體·全國A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O為△ABC的外接圓，若⊙O的面積為4π，11AB=BC=AC=OO，則球O的表面積為()1A.64πB.48πC.36πD.32π△ABC是面積為93·全國Ⅱ)已知7．(2020的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上．若球O的表面4積為16π，則O到平面ABC的距離為()3B.23A.3C.1D.2的兩個內(nèi)接圓錐有公共的底面，若兩個圓錐的體積之和為球的體積的83，則這兩個圓為R的球8．如圖，半徑錐高之差的絕對值為()·15·R2RB.34RC.3A.2D.R9．如圖，已知正方體ABCD-ABCD的棱長為2，長為2的線段MN的一個端點M在棱DD上運動，11111點N在正方體的底面ABCD內(nèi)運動，則MN的中點P的軌跡的面積是()A.4πB.πC.2πD.π210．在三棱錐A-BCD中，底面為Rt△，且BC⊥CD，斜邊BD上的高為1，三棱錐A-BCD的外接球的直徑是AB，若該外接球的表面積為16π，則三棱錐A-BCD的體積的最大值為________．·16·專題九最值模型【方法總結(jié)】最值問題的解法有兩種方法：一種是幾何法，即在運動變化過程中得到最值，從而轉(zhuǎn)化為定值問題求解．另一種是代數(shù)方法，即建立目標(biāo)函數(shù)，從而求目標(biāo)函數(shù)的最值．【例題選講】例9.[例](1)已知三棱錐P-ABC的頂點P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，如果球O的表面積為36π，那么P到平面ABC距離的最大值為________．(2)在四面體ABCD中，AB=1，BC=CD=3，AC=2，當(dāng)四面體ABCD的體積最大時，其外接球的表面積為()A.2πB.3πC.6πD.8π(3)已知四棱錐S-ABCD的所有頂點在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面內(nèi)，當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時，其表面積等于16+163，則球O的體積等于()42π3162π3322π3642π3A.B.C.D.(4)三棱錐A-BCD內(nèi)接于半徑為5的球O中，AB=CD=4，則三棱錐A-BCD的體積的最大值為()A.438B.16C.332D.33(5)已知正四棱柱的頂點在同一個球面上，且球的表面積為12π，當(dāng)正四棱柱的體積最大時，正四棱柱的高為________．【對點訓(xùn)練】500πP-ABC的四個頂點都在體積為的球的表面上，底面31．三棱錐ABC所在的小圓面積為16π，則該三棱錐的高的最大值為()A.4B.6C.8D.102．(2015·全國Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點．若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A.36πB.64πC.144πD.256π3．已知點A，B，C，D均在球O上，AB=BC=6，AC=23．若三棱錐D-ABC體積的最大值為3，則球O的表面積為________．4．在三棱錐A-BCD中，AB=1，BC=2，CD=AC=3，當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時，其外接球的表面積為________．5．已知三棱錐D-ABC的所有頂點都在球O的球面上，AB=BC=2，AC=22，若三棱錐D-ABC體積的最大值為2，則球O的表面積為()25πC.3121π9A.8πB.9πD.6．三棱錐A-BCD的一條棱長為a，其余棱長均為2，當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時，它的外接球的表面積為()·17·21π420πB.3A，B，C都在半徑為5πC.45πD.3A.7．已知三棱錐O-ABC的頂點2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，當(dāng)△AOC與△BOC的面積之和最大時，三棱錐O-ABC的體積為()323B.32C.1D.3A.238．(2018·全國Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為93，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A.123B.183C.243D.5439．已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，∠ASC=∠BSC=30?，則棱錐S-ABC的體積最大為()8B.3A.2C.3D.2310．四棱錐P-ABCD的底面為矩形，矩形的四個頂點A，B，C，D在球O的同一個大圓上，且球的表面積為16π，點P在球面上，則四棱錐P-ABCD體積的最大值為()8B.316A.8C.16D.311．(2016·全國Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-ABC內(nèi)有一個體積為111則V的最大V的球．若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA=3，值是()19πB.232πD.3A.4πC.6π12．已知半徑為1的球O中內(nèi)接一個圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的體積與圓柱的體積的比值為___．13．如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△ADE，連1A-CDE的體積82π取得最大值時，三棱錐A-CDE外接球的體積為，則a=(31C．若當(dāng)三棱錐接A)11A.2B.2C.22D.414．已知三棱錐S-ABC的頂點都在球O的球面上，且該三棱錐的體積為23，SA⊥平面ABC，SA=4，∠ABC=120°，則球O的體積的最小值為________．·18·專題十內(nèi)切球模型【方法總結(jié)】以三棱錐P-ABC為例，求其