高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何中的向量方法

高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第七章立體幾何中的向量方法課件第1頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第七章立體幾何與空間向量第7節(jié)立體幾何中的向量方法第2頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四1．理解直線的方向向量與平面的法向量．2．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系．3．能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理).4．能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究立體幾何中的應(yīng)用．5．能用向量法解決空間的距離問題．第3頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四[要點(diǎn)梳理]1．用向量證明空間中的平行或垂直(1)直線的方向向量：直線的方向向量就是指和這條直線所對(duì)應(yīng)向量_____(或共線)的向量，顯然一條直線的方向向量有_____個(gè)．(2)若直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量，顯然一個(gè)平面的法向量也有_____個(gè)，它們是_____向量．平行無數(shù)無數(shù)共線第4頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四質(zhì)疑探究：在求平面法向量時(shí)，所列方程組中有三個(gè)變量，但只有兩個(gè)方程，如何處理？提示：給其中某一變量恰當(dāng)賦值，求出該方程組的一組非零解，即可以作為平面法向量的坐標(biāo)．(3)用向量證明空間中的平行關(guān)系①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.②設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y使v＝xv1＋yv2.第5頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四③設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.④設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.(4)用向量證明空間中的垂直關(guān)系①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.②設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.③設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.第6頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四2．用向量計(jì)算空間角和距離空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角θ滿足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α所成角θ滿足sinθ＝|cos〈m1，m2〉|.第7頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第8頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四b．如圖②③，n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cosθ＝cos〈n1，n2〉或π－cos〈n1，n2〉．c．點(diǎn)面距的求法第9頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(2015·西安模擬)若直線l的方向向量為a＝(1，－1,2)，平面α的法向量為u＝(－2,2，－4)，則(

)A．l∥α

B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交[解析]

因?yàn)橹本€l的方向向量a＝(1，－1,2)與平面α的法向量u＝(－2,2，－4)共線，則說明了直線與平面垂直．[答案]

B第10頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四2．設(shè)平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于(

)A．2 B．－4C．4 D．－2第11頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四3．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線NO、AM的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．相交C．異面垂直 D．異面不垂直第12頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四[答案]

C第13頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四4．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為________．第14頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第15頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四5．在四面體P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)PA＝PB＝PC＝a，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為________．[解析]

根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P－xyz，則P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．過點(diǎn)P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于點(diǎn)H，則PH的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到平面ABC的距離．第16頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第17頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四[典例透析]考向一用向量證明垂直或求異面直線所成的角例1

(2015·湖北省八校聯(lián)考)如圖，直三棱柱ABC－A′B′C′的側(cè)棱長(zhǎng)為3，AB⊥BC，且AB＝BC＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF.第18頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四(1)求證：無論E在何處，總有B′C⊥C′E；(2)當(dāng)三棱錐B－EB′F的體積取得最大值時(shí)，求異面直線A′F與AC所成角的余弦值．第19頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四思路點(diǎn)撥(1)借助于線面關(guān)系證明B′C⊥面ABC′，從而可證B′C⊥C′E.當(dāng)VB－EB′F為最大值確定E(F)的位置，解三角形求角的余弦值．(2)以B為原點(diǎn)建系，用向量求解．(法一)(1)

證明：由題意知，四邊形BB′C′C是正方形，連接AC′，BC′，則B′C⊥BC′.第20頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四又AB⊥BC，BB′⊥AB，∴AB⊥平面BB′C′C.∴B′C⊥AB，∴B′C⊥平面ABC′.又C′E平面ABC′，∴B′C⊥C′E.第21頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第22頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第23頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第24頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第25頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第26頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四活學(xué)活用1

(2015·鄭州第一次質(zhì)檢)如圖，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°，BF⊥AC.(1)求證：AC⊥平面ABF；(2)求異面直線BE與AC所成的角的余弦值．(1)[證明]因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF平面ADEF，所以AF⊥平面ABCD.故AF⊥AC，又BF⊥AC，AF∩BF＝F，所以AC⊥平面ABF.第27頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四(2)解：由(1)得AF，AB，AC兩兩垂直，則以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，第28頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第29頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四思路點(diǎn)撥立體幾何題目一般有兩種思路：傳統(tǒng)法和向量法．傳統(tǒng)法是借助立體幾何中的相關(guān)定義、定理，通過邏輯推理證明來完成．(1)要證明線面平行，根據(jù)判定定理可通過證明線線平行來實(shí)現(xiàn)；(2)求二面角要先找到或作出二面角的平面角，再通過解三角形求解．向量法則是通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)的坐標(biāo)，利用向量的計(jì)算完成證明或求解．直線一般求其方向向量，平面一般求其法向量．(1)只要說明直線的方向向量與對(duì)應(yīng)平面的法向量垂直即可；(2)二面角的大小即為兩個(gè)平面的法向量的夾角或其補(bǔ)角．第30頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四圖(1)第31頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第32頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第33頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第34頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四圖(2)第35頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第36頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第37頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第38頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第39頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四拓展提高本題法一采用了傳統(tǒng)法，在第二問中要作出C－BM－D的平面角，這里采用了棱BM的垂面(面CGH)法，作、證、算于一體．二面角的做法一直是個(gè)難點(diǎn)，不如建系用向量方法求簡(jiǎn)單，如方法二．第40頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四活學(xué)活用2

(2014·四川高考)三棱錐A

-

BCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示．設(shè)M，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，P為線段BC上的點(diǎn)，且MN⊥NP.第41頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四(1)證明：P是線段BC的中點(diǎn)；(2)求二面角A

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NP

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M的余弦值．(1)[證明]如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO.由側(cè)視圖及俯視圖知，△ABD，△BCD為正三角形，所以AO⊥BD，OC⊥BD.因?yàn)锳O，OC平面AOC，且AO∩OC＝O，所以BD⊥平面AOC.第42頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第43頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第44頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第45頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第46頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第47頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第48頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第49頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第50頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四考向三用向量求線面角例3

(2014·福建高考)

在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示．(1)求證：AB⊥CD；(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．思路點(diǎn)撥(1)轉(zhuǎn)化為證明AB⊥平面BCD；(2)利用坐標(biāo)法．第51頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四(1)[證明]

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD平面BCD，∴AB⊥CD.(2)

解：過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD.第52頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第53頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第54頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四活學(xué)活用3

(2015·東北三校模擬)如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2AD，AD⊥DC，∠BCD＝45°.(1)設(shè)PD中點(diǎn)為M，求證：AM∥平面PBC；(2)求PA與平面PBC所成角的正弦值．第55頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第56頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第57頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第58頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第59頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第60頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第61頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第62頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第63頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四活學(xué)活用4

(2015·天津南開調(diào)研)在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中點(diǎn)．(1)求證：B1C∥平面A1BD；(2)求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離．第64頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第65頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四規(guī)范答題7向量法求空間角典例

(本小題滿分12分)如圖，已知在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，AE垂直BD于點(diǎn)E，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)．(1)求異面直線AE與BF所成角的余弦值；(2)求平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)的余弦值.第66頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四審題視角

(1)研究的幾何體為長(zhǎng)方體，AB＝2，AA1＝1.(2)所求的是異面直線所成的角和二面角．(3)可考慮用空間向量法求解．[滿分展示][解]

(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)．(2分)第67頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第68頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第69頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第70頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第71頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四【答題模板】利用向量求空間角的步驟：第一步：建立空間直角坐標(biāo)系．第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo)．第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)．第四步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)．第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角．第六步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范．第72頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四提醒：(1)利用向量求角是高考的熱點(diǎn)，幾乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用．(2)本題易錯(cuò)點(diǎn)是在建立坐標(biāo)系時(shí)不能明確指出坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，導(dǎo)致建系不規(guī)范．(3)將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí)，要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，否則易錯(cuò)．第73頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第74頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第75頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第76頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第77頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四[思維升華]【方法與技巧】1．用向量知識(shí)證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷；另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分三步：(1)