2022-2023學(xué)年福建省福州高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第三學(xué)段模塊（期中）考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省福州高一下學(xué)期第三學(xué)段模塊（期中）考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得的，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，可得故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則此三角形中的最大角的大小為（）A． B． C．92° D．135°【答案】B【分析】根據(jù)三角形邊的比設(shè)出三邊，得到最大邊，進(jìn)而可得最大角，再根據(jù)余弦定理求最大角即可.【詳解】，設(shè)，最大，即最大，，又，.故選：B.3．已知向量，若，則（

）A．(－2，－1) B．(2，1) C．(3，－1) D．(－3，1)【答案】A【分析】由，利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算解得x，再利用向量和的坐標(biāo)運(yùn)算求.【詳解】解析：因?yàn)?，所以，解得x＝－4．所以.故選：A4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，則此三角形的解的情況是（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理求解出的值，根據(jù)，解出角，可判斷出選項(xiàng).【詳解】由正弦定理可得，，即，解得，由可知，無解.故選：C.5．1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式，其中e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位，這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)公式可判斷A,B，由可得，兩式聯(lián)立可判斷C,D.【詳解】對(duì)于A，不一定等于0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋偎?，即，②?lián)立①②可得，，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：C.6．在矩形中，，為上一點(diǎn)，.若則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再由向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示坐標(biāo)系，由題意可得，設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以，解得，又因?yàn)?，所以，即，解得，所以，故選：C7．在△ABC中，，，直線AM交BN于點(diǎn)Q，若，則λ=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】、、三點(diǎn)與、、三點(diǎn)分別共線，根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合向量加減法，可找出與等式關(guān)系，即可求解出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，由平面向量基本定理可得，，，，，，，解得，，，，，故選：D.8．在中，，，點(diǎn)與點(diǎn)分別在直線的兩側(cè)，且，，則的長度的最大值是（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可以判斷是直角三角形，且隨著的變化三條邊的長度也會(huì)隨著發(fā)生改變，因此先根據(jù)余弦定理和正弦定理確定與邊的變化關(guān)系，再構(gòu)造一個(gè)關(guān)于邊的三角形，根據(jù)與邊的關(guān)系在新構(gòu)造的三角形中解出的表達(dá)式，找出最大值.【詳解】由可知，是，的直角三角形，如圖所示：設(shè)，，，則由余弦定理得，即由正弦定理得，所以.連接，在中，由余弦定理，得當(dāng)時(shí)，的長度取得最大值，為故選:B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：可變動(dòng)圖形與某一變量的變化關(guān)系引出的求邊求角類問題（以本題為例）：①確定變動(dòng)圖形的變化規(guī)律：如上題的變化是角度不變，邊長可等比例變化②確定圖形變化與某個(gè)變量的聯(lián)系：變化發(fā)生變化整體變化③找到有直接聯(lián)系的兩個(gè)變量的數(shù)學(xué)關(guān)系，然后推廣到整體變化上：此處最為困難，需要學(xué)生根據(jù)已知條件活用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí).二、多選題9．已知復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則 D．【答案】BD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)計(jì)算的規(guī)則逐項(xiàng)分析.【詳解】設(shè)則，不滿足，也不滿足，故選項(xiàng)AC錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為，且，由向量加法的幾何意義知，故，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于D，設(shè)，則，所以，，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.10．若向量滿足，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為【答案】BC【分析】由模與數(shù)量積的關(guān)系求得，再根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)確定與的夾角，判斷向量垂直，求解投影向量即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，則，故A不正確；又，，所以，即與的夾角為，故B正確；又，所以，故C正確；又在上的投影向量為，故D不正確.故選：BC.11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列條件能判斷△ABC是鈍角三角形的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義，判斷夾角的范圍即可判斷A選項(xiàng)；對(duì)于B選項(xiàng)，利用正弦定理進(jìn)行邊化角處理，化簡(jiǎn)可得到角的關(guān)系；對(duì)于C選項(xiàng)，利用正弦定理進(jìn)行角花邊處理，再利用余弦定理求得；對(duì)于D，利用角的正切值在的正負(fù)關(guān)系，直接得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：，則，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：，由正弦定理可得，則，即，故，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：由正弦定理可得，，即，解得，，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：、、三個(gè)必有一個(gè)為負(fù)值又，，，故D正確.故選：ACD.12．中華人民共和國國旗上的五角星均為正五角星，正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中，依次連接A，B，C，D，E形成的多邊形為正五邊形，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，向量共線定理得推論，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義和平面幾何知識(shí)綜合判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，又易知，又，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，，又，，三點(diǎn)共線，，解得，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，又，，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，，，，，，，，，，故D選項(xiàng)正確；故選：BCD.三、填空題13．在中，，，，則的面積為__________．【答案】【分析】根據(jù)平面向量的夾角公式可求得，從而可得到，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】依題意可得，解得，又，所以，所以的面積為．故答案為：．14．已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛根為，則___________.【答案】1【分析】根據(jù)方程的根為，將根代入方程即可求解.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛根為，所以，即，也即，所以，解得，故答案為:1.15．在一座尖塔的正南方向地面某點(diǎn)，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋衷诖思馑逼珫|地面某點(diǎn)，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋覂牲c(diǎn)距離為，在線段上的點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫樽畲?，則點(diǎn)到塔底的距離為___________m.【答案】【分析】根據(jù)題意作出直觀圖，可知當(dāng)取得最小值時(shí)，在處的仰角最大，利用余弦定理可構(gòu)造方程求得的長，利用面積橋可求得.【詳解】設(shè)塔高為，如下圖所示，由題意知：，，，平面，，若在處的仰角最大，即最大，則取得最大值，，當(dāng)取得最小值時(shí)，最大，設(shè)，則，，，解得：，，，，當(dāng)時(shí)，最小，，即若在處的仰角最大，則點(diǎn)到塔底的距離為.故答案為：.16．在中，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若的面積為2，則的最小值是_____________.【答案】【分析】如圖，取BC中點(diǎn)為M，做，將化為，后找到間關(guān)系，可得答案.【詳解】如圖，取BC中點(diǎn)為M，做，則，又，，則，得.注意到，則.又由圖可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)取等號(hào).故答案為：四、解答題17．已知z為虛數(shù)，若，且.(1)求z的實(shí)部的取值范圍；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的概念以及除法運(yùn)算求解；（2）利用復(fù)數(shù)的模的概念求解.【詳解】（1）設(shè),則，又，則，所以，因?yàn)?，所以且，所以z的實(shí)部的取值范圍是.（2）∵，又所以，所以，因此.18．設(shè)向量(1)求與垂直的單位向量；(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】(1)先設(shè)單位向量坐標(biāo)，再應(yīng)用與垂直求向量坐標(biāo)即可；(2)因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為鈍角可得數(shù)量積小于0，列式計(jì)算可得取值范圍.【詳解】（1）由已知，設(shè)與垂直的單位向量為則，解得或即與垂直的單位向量為或（2）由已知所以，因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為鈍角，所以，解得，又因?yàn)橄蛄坎慌c向量反向共線，設(shè)，則從而或（舍去），所以解得19．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，（其中S為△ABC的面積）.(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的數(shù)量積公式和三角形的面積公式求解；（2）利用正弦定理邊化角將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）因?yàn)?，則，所以，又，則；（2）由△ABC為銳角三角形及，得且，所以，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，即的取值范圍?20．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.(1)若，求△ABC的周長；(2)已知，且邊BC上有一點(diǎn)D滿足，求AD.【答案】(1)9；(2).【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式，正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角正弦求出A，再利用余弦定理求解作答.（2）由余弦定理求出a，由面積關(guān)系可得，再利用余弦定理建立方程組求解作答.【詳解】（1）由可得：，又，得，由正弦定理得，因?yàn)?，即有，顯然，又，有，于是，即，則，若，由余弦定理，得，解得，所以△ABC的周長為9.（2）設(shè)，則，由（1）知在△ABC中，由及余弦定理得：，即，由，知，在△ABD中，，即，在△ADC中，，即，聯(lián)立解得，，所以.21．重慶是我國著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊為吸引游客，準(zhǔn)備在門前兩條小路和之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知，弓形花園的弦長，記弓形花園的頂點(diǎn)為，，設(shè).（1）將、用含有的關(guān)系式表示出來；（2）該山莊準(zhǔn)備在點(diǎn)處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設(shè)計(jì)、的長度，才使得噴泉與山莊的距離的值最大？【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，取最大值.【分析】（1）本題可通過正弦定理得出、；（2）本題首先可根據(jù)題意得出，然后通過余弦定理得出，通過轉(zhuǎn)化得出，最后通過以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以，?（2）因?yàn)椋?，所以，在中，由余弦定理易知，即，因?yàn)椋?，，?dāng)，即時(shí)，取最大值，取最大值，此時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取最大值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查三角恒等變換，考查根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題.22．銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，.(1)求證：；(2)將延長至，使得，記的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，是