等差數(shù)列(教案+例題+習(xí)題)

------------------------------------------------------------------------等差數(shù)列(教案+例題+習(xí)題)一、等差數(shù)列1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。例1．根據(jù)數(shù)列前4項，寫出它的通項公式：（1）1，3，5，7……；（2），，，；（3），，，。解析：（1）=2；（2）=；（3）=。點評：每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號到另一個數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。如（1）已知，則在數(shù)列的最大項為__；（2）數(shù)列的通項為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為___；（3）已知數(shù)列中，，且是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍；2、等差數(shù)列的判斷方法：定義法或。例2．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn=n2，則{an}是（）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列答案：B；解法一：an=∴an=2n－1（n∈N）又an+1－an=2為常數(shù)，≠常數(shù)∴{an}是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.解法二：如果一個數(shù)列的和是一個沒有常數(shù)項的關(guān)于n的二次函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列。點評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識，以及靈活運用遞推式an=Sn－Sn－1的推理能力.但不要忽略a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活。練一練：設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn=為通項公式的數(shù)列為等差數(shù)列。3、等差數(shù)列的通項：或。4、等差數(shù)列的前和：，。例3：等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，若a2＋a4＋a15的值是一個確定的常數(shù)，則數(shù)列{an}中也為常數(shù)的項是()A．S7 B．S8C．S13 D．S15解析：設(shè)a2＋a4＋a15＝p(常數(shù))，∴3a1＋18d＝p，解a7＝eq\f(1,3)p.∴S13＝eq\f(13×(a1＋a13),2)＝13a7＝eq\f(13,3)p.答案：C例4．等差數(shù)列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，則n為()A．48B．49C．50解析：∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，則由a1＝eq\f(1,3)得d＝eq\f(2,3)，令an＝33＝eq\f(1,3)＋(n－1)×eq\f(2,3)，可解得n＝50.故選C.答案：C如(1)等差數(shù)列中，，，則通項；（2）首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______；例5：設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________.解析：S9＝9a5∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72.答案：－72例6：已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若eq\f(a11,a10)<－1，且它們的前n項和Sn有最大值，則使Sn>0的n的最大值為()A．11B．19C．20D．21解析：∵eq\f(a11,a10)<－1，且Sn有最大值，∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，∴S19＝eq\f(19(a1＋a19),2)＝19·a10>0，S20＝eq\f(20(a1＋a20),2)＝10(a10＋a11)<0.所以使得Sn>0的n的最大值為19，故選B.答案：B如（1）數(shù)列中，，，前n項和，則＝＿，＝；（2）已知數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的前項和.5、等差中項：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項，且。提醒：（1）等差數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，…（公差為）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，,…（公差為2）6.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時,則有，特別地，當(dāng)時，則有.（4）若、是等差數(shù)列，則、(、是非零常數(shù))、、，…也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列.練一練：等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為。（5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，，（這里即）；。練一練：項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項和為80，偶數(shù)項和為75，求此數(shù)列的中間項與項數(shù).（6）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.練一練：設(shè){}與{}是兩個等差數(shù)列，它們的前項和分別為和，若，那么___________；(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非負(fù)項之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？練一練：等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值；例7．（1）設(shè)｛an｝（n∈N*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.d＜0 B.a7＝0C.S9＞S5 D.S6與S7均為Sn的最大值（2）等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（）A.130 B.170 C.210 D.260解析：（1）答案：C；由S5<S6得a1+a2+a3+…+a5<a1+a2+…+a5+a6，∴a6>0，又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，由S7>S8，得a8<0，而C選項S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，由題設(shè)a7=0，a8<0，顯然C選項是錯誤的。（2）答案：C解法一：由題意得方程組，視m為已知數(shù)，解得，∴。解法二：設(shè)前m項的和為b1，第m+1到2m項之和為b2，第2m+1到3m項之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數(shù)列。于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40?！郻3=b2+d=70+40=110∴前3m項之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2=S2－S1=70，從而d=a2－a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。等差數(shù)列課后練習(xí)一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題后的括號內(nèi)。1．若a≠b,數(shù)列a,x1,x2,b和數(shù)列a,y1,y2,b都是等差數(shù)列，則 （）A． B． C．1 D．2．在等差數(shù)列中，公差＝1，＝8，則＝（） A．40 B．45 C．50 D．553．等差數(shù)列的前三項為，則這個數(shù)列的通項公式為 （）A． B．C． D．4．在等差數(shù)列，則在Sn中最大的負(fù)數(shù)為 （） A．S17 B．S18 C．S19 D．S5．已知等差數(shù)列的首項為31,若此數(shù)列從第16項開始小于1，則此數(shù)列的公差d的取值范圍是 （） A．(－∞,－2)B．[－,－2]C．(－2,+∞)D．(—,－2)6．在等差數(shù)列中，若，則n的值為 （） A．18 B17． C．16 D．157．等差數(shù)列中，等于（） A．－20．5 B．－21．5 8．已知某數(shù)列前項之和為，且前個偶數(shù)項的和為，則前個奇數(shù)項的和為 （） A． B． C． D．9．一個只有有限項的等差數(shù)列，它的前5項的和為34，最后5項的和為146所有項的和為234，則它的第七項等于 （） A．22 B ．21 C．19 D．1810．等差數(shù)列中，≠0，若ｍ＞1且，，則ｍ的值是（）A．10B．19 C．20 D．38二、填空題：請把答案填在題中橫線上。11．已知是等差數(shù)列，且則k=.12．在△ABC中，A，B，C成等差數(shù)列，則.13．在等差數(shù)列中，若，則.14．是等差數(shù)列的前n項和，(n≥5，)，=336，則n的值是.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．己知為等差數(shù)列，，若在每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，求：（1）原數(shù)列的第12項是新數(shù)列的第幾項？（2）新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第幾項？16．?dāng)?shù)列是首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項為正，第七項為負(fù)。 （1）求數(shù)列公差；（2）求前項和的最大值；（3）當(dāng)時，求的最大值。17．設(shè)等差數(shù)列的前ｎ項的和為Sn,且S4=－62,S6=－75,求：（1）的通項公式an及前ｎ項的和Sn；（2）|a1|+|a2|+|a3|+……+|a14|.18．已知數(shù)列，首項a1=3且2an+1=Sn·Sn－1(n≥2).（1）求證：{}是等差數(shù)列,并求公差；（2）求{an}的通項公式；（3）數(shù)列{an}中是否存在自然數(shù)k0,使得當(dāng)自然數(shù)k≥k0時使不等式ak>ak+1對任意大于等于k的自然數(shù)都成立,若存在求出最小的k值,否則請說明理由.選擇題：ABCCBDABDA填空題：11．8；12．；13．24；14．21.解答題：15．分析：應(yīng)找到原數(shù)列的第n項是新數(shù)列的第幾項，即找出新、舊數(shù)列的對應(yīng)關(guān)系。解：設(shè)新數(shù)列為即3=2+4d，∴，∴，∴即原數(shù)列的第n項為新數(shù)列的第4n－3項． （1）當(dāng)n=12時，4n－3=4×12－3=45，故原數(shù)列的第12項為新數(shù)列的第45項； （2）由4n－3=29,得n=8，故新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第8項。說明：一般地，在公差為d的等差數(shù)列每相鄰兩項之間插入m個數(shù),構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，則新數(shù)列的公差為原數(shù)列的第n項