近世代數(shù) 子群

近世代數(shù)課件子群第1頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.1定義與例討論子對(duì)象是一個(gè)常用的代數(shù)方法.我們看一個(gè)群．假如由里取出一個(gè)非空子集來(lái)，那么利用的乘法可以把的兩個(gè)元相乘．對(duì)于這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)，很可能也作成一個(gè)群．定義一個(gè)群的一個(gè)非空子集叫做的一個(gè)子群，假如對(duì)于的乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群,用符號(hào)表示．例１給了一個(gè)任意群，至少有兩個(gè)子群：１．；２．只包含單位元的子集．第2頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例２，，．那么是的一個(gè)子群．因?yàn)椋孩瘢畬?duì)于的乘法來(lái)說(shuō)是閉的，，，，；Ⅱ．結(jié)合律對(duì)于所有的元都對(duì)，對(duì)于的元也對(duì)；Ⅳ．；Ⅴ．，．更多的例子……注1:的乘法必須是的乘法注2:驗(yàn)證是子群時(shí)有些條件可以省略.第3頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.2等價(jià)條件引理:設(shè),那么(1)(2),對(duì)于中運(yùn)算定理１一個(gè)群的一個(gè)不空子集作成的一個(gè)子群的充分而且必要條件是：（?。áⅲ┑?頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明若是（?。?，（ⅱ）成立，作成一個(gè)群．Ⅰ．由于（ⅰ），是閉的；Ⅱ．結(jié)合律在中成立，在中自然成立；Ⅳ．因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)元，由（ⅱ），也有元，所以由（ⅰ），Ⅴ．由（ⅱ），對(duì)于的任意元來(lái)說(shuō)，有元，使得反過(guò)來(lái)看，假如是一個(gè)子群，（ⅰ）顯然成立．我們證明，這時(shí)（ⅱ）也一定成立．證完■（?。áⅲ﹥蓚€(gè)條件也可以用一個(gè)條件來(lái)代替．第5頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理２一個(gè)群的一個(gè)不空子集作成的一個(gè)子群的充分而且必要條件是：（ⅲ）證明I.我們先證明，（ⅰ）和（ⅱ）成立，（ⅲ）就也成立．假定，屬于，由（ⅱ），，由（?。琁I.現(xiàn)在我們反過(guò)來(lái)證明，由（ⅲ）可以得到（?。┖停áⅲ俣ǎ桑á＃?，，于是（ⅱ）成立第6頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四假定，．由剛證明的，；由（ⅲ），,即(i)成立證完■假如所給子集是一個(gè)有限集合，那么作成子群的條件更要簡(jiǎn)單．定理３一個(gè)群的一個(gè)不空有限子集作成的一個(gè)子群的充分而且必要條件是：證明這個(gè)條件是必要的，無(wú)須證明．我們證明它是充分的．因?yàn)槭怯邢藜希覀兪褂糜邢薜亩x證明.第7頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.3生成子群現(xiàn)在我們要認(rèn)識(shí)一種找一個(gè)子群的一般方法．我們?cè)谝粋€(gè)群里任意取出一個(gè)非空子集來(lái)，包含元，，，，….那么當(dāng)然不見得是一個(gè)子群,但是我們可以把擴(kuò)大一點(diǎn)，而得到一個(gè)包含的子群．利用的元以及這些元的逆元我們可以作各種乘積，比方說(shuō)，，，，，等等．設(shè)集合剛好包含所有這樣的乘積,可以證明:第8頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(1).作成一個(gè)子群．因?yàn)閮蓚€(gè)這樣的乘積乘起來(lái)還是一個(gè)這樣的乘積，一個(gè)這樣的乘積的逆元也是一個(gè)這樣的乘積,由定理１，(2)對(duì)任何一個(gè)包含的子群,一定包含．這一點(diǎn)容易看出：既是一個(gè)子群，它又包含所有的元，，，…，Ⅰ，Ⅱ，兩個(gè)條件，因而根據(jù)定理1，它必須包含所有的上面所作的那些乘積；這就是說(shuō)，．由(1)和(2)，是包含的最小的子群．第9頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定義如上得到的叫做由生成的子群，我們用符號(hào)來(lái)表示它．假如我們?nèi)∫粋€(gè)只包含一個(gè)元的子集，那么是一個(gè)循環(huán)子群．例3生成子群很復(fù)雜,給出一些簡(jiǎn)單的例子第10頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.4子群的運(yùn)算兩個(gè)子群的交仍然是子群兩個(gè)子群的并不一定是子群群的子集的運(yùn)算容易證明:,,設(shè)A，B是群G的兩個(gè)非空子集,規(guī)定第11頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四等價(jià)條件的另外表達(dá)定理1’一個(gè)群的一個(gè)不空子集作成的一個(gè)子群的充分而且必要條件是：（ⅰ）（ⅱ）

定理２’一個(gè)群的一個(gè)不空子集作成的一個(gè)子群的充分而且必要條件是：（ⅲ）定理3’一個(gè)群的一個(gè)不空有限子集作成的一個(gè)子群的充分而且必要條件是：第12頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明:僅證明定理1設(shè)H是G的子群,那么,(??)另一方面,,所以,注意:,所以.反過(guò)來(lái),構(gòu)成的一個(gè)子群.第13頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四子群的乘積例4兩個(gè)子群的乘積一般不是子群.S3中，H={(1),(12)}N={(1),(13)},HN={(1),(13),(12),(132)}不是子群定理4設(shè)H,K是G的兩個(gè)子群,那么HK是子群HK=KH證明:如果HK是子群,那么(HK)-1=HK,同時(shí),(HK)-1=K-1H-1=KH,所以HK=KH反過(guò)來(lái),如果HK=KH(HK)(HK)=(HK)(K