高等代數(shù)初等因子

高等代數(shù)初等因子第1頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§5初等因子一、初等因子的概念Definition設(shè)

的不變因子為。如果其中為非負(fù)整數(shù)，為數(shù)域上

互異的首1系數(shù)的不可約多項(xiàng)式。則稱為的初等因子，而

為的全部初等因子為的初等因子(組)。第2頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Remark

1:初等因子與數(shù)域有關(guān)Remark2:初等因子必須是不可約因式的方冪全體，則稱的全部初等因子為的初等因子.Remark3:例1設(shè)域上矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形為求的初等因子第3頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、初等因子與不變因子的關(guān)系1.已知的不變因子，可求出其初等因子則的初等因子為第4頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Properties2)

1)

在屬于同一個(gè)一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的分解式中，的性質(zhì)，即.例如：同一個(gè)不可約因式的方冪作成的初等因子中，方次最高的必定出現(xiàn)在的分解中.屬于同一個(gè)不可約因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的.Conclusion初等因子由不變因子唯一確定第5頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Proposition等價(jià)的矩陣有相同的初等因子。Remark該命題的逆不成立。例如：的初等因子相同，但它們不等價(jià)。第6頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.已知的秩和初等因子，可求出的的不變因子二、初等因子與不變因子的關(guān)系方法：將初等因子的方冪按降冪排列(當(dāng)這些方冪不足個(gè)時(shí)，用1補(bǔ)足到個(gè))為則為所求第7頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Theorem它們的秩和初等因子相同.Corollary1它們初等因子相同.Corollary2它們的初等因子相同.第8頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、初等因子的求法Theorem對(duì)角矩陣的初等因子等于其對(duì)角線上諸多項(xiàng)式的不可約因式方冪的全體.Lemma1設(shè)多項(xiàng)式與互素,則Example第9頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Lemma2設(shè)且,則第10頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Corollary設(shè)在復(fù)數(shù)域上等價(jià)于一個(gè)對(duì)角陣把分解為一次因式的冪,則所有這些一次因式的方冪為的初等因子.第11頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Example求的初等因子返回第12頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Example求