分式方程 名師獲獎

第六講分式方程一、分式方程的定義_____中含有未知數(shù)的方程.分母二、分式方程的解法1.基本思想:將分式方程轉(zhuǎn)化為_____方程.2.方法:去分母,即方程兩邊同乘以___________.3.解分式方程時,求出的未知數(shù)的值,可能會使分式無意義,因此,解分式方程必須檢驗.整式最簡公分母三、列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題相同,基本步驟是審題、設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗并作答.【自我診斷】(打“√”或“×”)1.去分母時,只能乘以最簡公分母x(x+2)(x-2).

()2.x=1是分式方程的解.

()3.若x=3是分式方程的根,則a的值是5.

()××√考點一分式方程及其解法【示范題1】(2017·濟寧中考)解方程:【思路點撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解.【自主解答】方程兩邊乘(x-2),得2x=x-2+1,解得x=-1.檢驗:當(dāng)x=-1時,x-2≠0.所以原分式方程的解為x=-1.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】解分式方程的一般步驟【變式訓(xùn)練】1.(2017·濱州中考)分式方程的解為(

)A.x=1 B.x=-1 C.無解 D.x=-2【解析】選C.去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,去括號、合并同類項,得x=1,檢驗:當(dāng)x=1時,(x-1)(x+2)=0,所以x=1不是原方程的根,所以原分式方程無解.2.(2017·威海中考)方程的解是________.【解析】由原方程,得3-x-1=x-4,-2x=-6,x=3,經(jīng)檢驗x=3是原方程的解.答案:x=33.(2017·金華中考)解分式方程:【解析】方程兩邊同乘(x+1)(x-1)得2(x-1)=x+1,去括號,得2x-2=x+1,移項得2x-x=2+1,合并同類項得x=3.經(jīng)檢驗:x=3是原分式方程的解,∴原方程的解是x=3.4.(2017·上海中考)解方程:【解析】方程兩邊同乘x(x-3)得到3-x=x2-3x,∴x2-2x-3=0,∴(x-3)(x+1)=0,∴x=3或-1,經(jīng)檢驗x=3是原方程的增根,∴原方程的解為x=-1.考點二求方程中的字母系數(shù)的值或范圍【示范題2】(2017·荊州中考)若關(guān)于x的分式方程

=2的解為負數(shù),則k的取值范圍為________.【思路點撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,表示出整式方程的解,根據(jù)解為負數(shù)確定出k的范圍即可.【自主解答】去分母得:k-1=2x+2,解得:x=由分式方程的解為負數(shù),得到<0,且x+1≠0,即≠-1,解得:k<3且k≠1.答案:k<3且k≠1【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】解含有待定字母的分式方程時,通常先化為整式方程,把未知數(shù)用待定字母表示,且考慮到分式方程的增根情況,進而得到有關(guān)不等式組求解.【變式訓(xùn)練】1.(2017·成都中考)已知x=3是分式方程2的解,那么實數(shù)k的值為(

)A.-1

B.0

C.1

D.2【解析】選D.根據(jù)分式方程的解為x=3,可直接代入原方程得=2,解這個方程可得k=2.2.(2017·瀘州中考)關(guān)于x的分式方程的解為正實數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是________.【解析】=3,方程兩邊同乘(x-2)得,x+m-2m=3x-6,解得,x=由題意得,>0,解得m<6,∵≠2,∴m≠2.答案:m<6且m≠2考點三分式方程的應(yīng)用

【考情分析】分式方程的應(yīng)用的層級為能列分式方程解決實際問題,在各地中考試題中均有體現(xiàn),是分式方程的一個重要考向,考查的內(nèi)容一般為行程問題、工程問題、和差倍分問題等,有時涉及方案設(shè)計問題,結(jié)合方程組、不等式組一起考查,各種題型均有體現(xiàn).命題角度1:實際問題抽象出方程【示范題3】(2017·德州中考)某美術(shù)社團為練習(xí)素描,他們第一次用120元買了若干本資料,第二次用240元在同家商店買同樣的資料,這次商家每本優(yōu)惠4元,結(jié)果比上次多買了20本.求第一次買了多少本資料.若設(shè)第一次買了x本資料.列方程正確的是(

)【思路點撥】第一次買了x本資料,則第二次買了(x+20)本資料,由等量關(guān)系:第二次比第一次每本優(yōu)惠4元,即可得到方程.【自主解答】選D.第一次買了x本資料,第二次比第一次多買了20本,故第二次買了(x+20)本資料,第二次比第一次每本優(yōu)惠4元,所以命題角度2:行程問題【示范題4】(2017·揚州中考)星期天,小明和小芳從同一小區(qū)門口同時出發(fā),沿同一路線去離該小區(qū)1800米的少年宮參加活動,為響應(yīng)“節(jié)能環(huán)保,綠色出行”的號召,兩人都步行,已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍,結(jié)果小明比小芳早6分鐘到達,求小芳的速度.【思路點撥】設(shè)小芳的速度是x米/分鐘,則小明的速度是1.2x米/分鐘,根據(jù)路程÷速度=時間,列出方程,再求解即可.【自主解答】設(shè)小芳的速度是x米/分鐘,則小明的速度是1.2x米/分鐘,根據(jù)題意得:解得:x=50,經(jīng)檢驗x=50是原方程的解.答:小芳的速度是50米/分鐘.命題角度3:工程問題【示范題5】(2017·臨沂中考)甲、乙二人做某種機械零件,已知甲每小時比乙多做6個,甲做90個所用時間與乙做60個所用時間相等,求甲、乙每小時各做零件多少個.如果設(shè)乙每小時做x個,那么所列方程是(

)【思路點撥】根據(jù)甲、乙的工作時間,可列方程.【自主解答】選B.乙每小時做x個,則甲每小時做(x+6)個,根據(jù)甲做90個所用時間與乙做60個所用時間相等,得命題角度4:與方程組、不等式的綜合應(yīng)用【示范題6】(2016·常德中考)某服裝店用4500元購進一批襯衫,很快售完,服裝店老板又用2100元購進第二批該款式的襯衫,進貨量是第一次的一半,但進價每件比第一批降低了10元.(1)這兩次各購進這種襯衫多少件?(2)若第一批襯衫的售價是200元/件,老板想讓這兩批襯衫售完后的總利潤不低于1950元,則第二批襯衫每件至少要售多少元?【思路點撥】(1)設(shè)第一批襯衫每件進價是x元,則第二批每件進價是(x-10)元,再根據(jù)等量關(guān)系:第二批進的件數(shù)=×第一批進的件數(shù)可列方程.(2)設(shè)第二批襯衫每件售價y元,由利潤=售價-進價,根據(jù)這兩批襯衫售完后的總利潤不低于1950元,可列不等式求解.【自主解答】(1)設(shè)第一批襯衫每件進價是x元,則第二批每件進價是(x-10)元,根據(jù)題意可得:解得:x=150,經(jīng)檢驗x=150是原方程的解,則第一批襯衫每件進價是150元,第二批每件進價是140元,=30(件),=15(件),答:第一批襯衫進了30件,第二批進了15件.(2)設(shè)第二批襯衫每件售價為y元,根據(jù)題意可得:30×(200-150)+15(y-140)≥1950,解得:y≥170,答:第二批襯衫每件至少要售170元.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】

列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟1.審審清題意,分清題中的已知量、未知量2.設(shè)設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),可以直接設(shè)未知數(shù),有的題目需要間接設(shè)未知數(shù)3.列用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相等關(guān)系列出方程列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟4.解解分式方程5.驗檢驗是否是增根,是否符合題意6.答寫出答案(包括單位)【變式訓(xùn)練】1.(2017·溫州中考)甲、乙工程隊分別承接了160米、200米的管道鋪設(shè)任務(wù),已知乙比甲每天多鋪設(shè)5米,甲、乙完成鋪設(shè)任務(wù)的時間相同,問甲每天鋪設(shè)多少米?設(shè)甲每天鋪設(shè)x米,根據(jù)題意可列出方程:________.【解析】甲工程隊每天鋪設(shè)x米,則乙工程隊每天鋪設(shè)(x+5)米,由題意得:答案:

2.(2017·淄博中考)某內(nèi)陸城市為了落實國家“一帶一路”倡議,促進經(jīng)濟發(fā)展,增強對外貿(mào)易的競爭力,把距離港口420km的普通公路升級成了同等長度的高速公路,結(jié)果汽車行駛的平均速度比原來提高了50%,行駛時間縮短了2h.求汽車原來的平均速度.【解析】設(shè)汽車原來的平均速度為xkm/h,根據(jù)題意,得解這個方程,得x=70.經(jīng)檢驗x=70是方程的解.答:汽車原來的平均速度為70km/h.3.(2017·宜賓中考)用A,B兩種機器人搬運大米,A型機器人比B型機器人每小時多搬運20袋