寧夏回族自治區(qū)石嘴山市高三5月第四次模擬數(shù)學（理）試題-1

石嘴山市2022屆高三下學期5月第四次模擬理科數(shù)學試卷滿分150分考試時間120分鐘注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、座位號填寫在答題卡上.2.作答時，請將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（

） B． C． D．2.已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊.一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面看上去形狀較為美觀，現(xiàn)在圓面上隨機投入一粒芝麻，芝麻落在美觀的扇面上的概率為（

） B． C． D．4、在等邊中，O為重心，D是的中點，則（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，當時，，則的解集為（

）A． B．C． D．6.中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗，則不同的安排方案共有（

）A．8種 B．14種 C．20種 D．116種7、函數(shù)的周期為2，下列說法正確的是（

）A．B．是奇函數(shù)C．f（x）在[，]上單調遞增D．的圖像關于直線對稱8、設函數(shù)，若，則（）A． B． C． D．9、已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前n項和，則的最小值為（

）A． B．7 C． D．10.圓錐被過頂點的一個截面截取一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示，則截取部分幾何體的體積為（

） B． C． D．11.已知雙曲線的左?右焦點分別為，，點是雙曲線漸近線上一點，且(其中為坐標原點)，交雙曲線于點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.12.已知實數(shù)x，y滿足且，則的最小值為（

）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）填空題13.曲線在處的切線方程為___________.14.已知拋物線的焦點為F，準線為l，點M是拋物線C上一點，于H，若，則拋物線C的方程為___________.第十四屆國際數(shù)學教育大會（簡稱ICME-14）于2021年7月在上海舉辦，會徽的主題圖案（如圖）有著豐富的數(shù)學元素，展現(xiàn)了中國古代數(shù)學的燦爛文明，其右下方的“卦”是用中國古代的計數(shù)符號寫出的八進制數(shù)字3745.八進制有0～7共8個數(shù)字，基數(shù)為8，加法運算時逢八進一，減法運算時借一當八.八進制數(shù)字3745換算成十進制是，表示的舉辦年份.設正整數(shù)，其中，.記，，則_______；當時，用含的代數(shù)式表示_____.已知四面體ABCD的所有棱長都相等，其外接球的體積等于π，則①四面體ABCD的棱長均為2：②四面體ABCD的體積等于③異面直線AC與BD所成角為以上結論正確的序號為_________三?解答題：（本題共6小題共70分，解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.第17-21題必考題，每個學生都必須作答。第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）（一）必考題：共60分.17（本小題滿分12分）凸四邊形ABCD中，，，，，．（1）求∠BAC；（2）求四邊形ABCD的面積．18、（本小題滿分12分）某學校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實踐活動”.為了解學生的學習成果，該校從全校學生中隨機抽取了50名學生作為樣本進行測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)若全校學生參加同樣的測試，試估計全校學生的平均成績（每組成績用中間值代替）；(2)在樣本中，從其成績在80分及以上的學生中隨機抽取3人，用表示其成績在中的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；(3)在（2）抽取的3人中，用表示其成績在的人數(shù)，試判斷方差與的大小.（直接寫結果）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，點為線段上的點，且(1)證明：；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成的角.20.（本小題滿分12分）已知橢圓的左頂點為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)已知經過點的直線交橢圓于兩點，是直線上一點.若四邊形為平行四邊形，求直線的方程.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)當時，①求證：有唯一的極值點；②記的零點為，是否存在使得？說明理由.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.并用2B鉛筆將選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分.如果多做，則按所做的第一題計分.22.（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數(shù)方程如圖，在極坐標系中，已知點，曲線是以極點O為圓心，以OM為半徑的半圓，曲線是過極點且與曲線相切于點的圓．(1)求曲線、的極坐標方程；(2)直線與曲線、分別相交于點A，B（異于極點），求△ABM面積的最大值．23.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講已知a，b，c為非負實數(shù)，函數(shù).（1）當，，時，解不等式；（2）若函數(shù)的最小值為2，證明：

石嘴山市2022屆高三下學期5月第四次模擬理科數(shù)學試卷滿分150分考試時間120分鐘注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、座位號填寫在答題卡上.2.作答時，請將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】A2.已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】利用復數(shù)的乘方運算、除法運算求出復數(shù)z，再結合復數(shù)的幾何意義即可作答.【詳解】依題意，，所以復數(shù)z在復平面內所對應的點位于第三象限.故選：C3.中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊.一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面看上去形狀較為美觀，現(xiàn)在圓面上隨機投入一粒芝麻，芝麻落在美觀的扇面上的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由幾何概型的公式代入即可得出答案.【詳解】因為，所以，由幾何概型得：.故選：D.4、在等邊中，O為重心，D是的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運算計算作答.【詳解】O為的重心，延長AO交BC于E，如圖，E為BC中點，則有，而D是的中點，所以.故選：D5．已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，當時，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)偶函數(shù)以及當時，,可得時的表達式,由此求得的解析式，再求解該不等式即可.【詳解】∵是定義域為R的偶函數(shù)，當時，∴當時，，所以.，故，分別求解，或即可得解為故選：B6.中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗，則不同的安排方案共有（

）A．8種 B．14種 C．20種 D．116種【答案】B【解析】【分析】按照同個元素（甲）分類討論，特殊元素和特殊位置優(yōu)先考慮即可得解.【詳解】按照甲是否在天和核心艙劃分，①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的三人中選取兩人，剩下兩人去剩下兩個艙位，則有種可能；②若甲不在天和核心艙，需要從問天實驗艙和夢天實驗艙中挑選一個，剩下四人中選取三人進入天和核心艙即可，則有種可能；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有6+8=14種可能.故選：B.7.函數(shù)的周期為2，下列說法正確的是（

）A．B．是奇函數(shù)C．f（x）在[，]上單調遞增D．的圖像關于直線對稱【答案】C【解析】【分析】分別利用正弦函數(shù)周期公式，余弦函數(shù)的奇偶性，正弦函數(shù)的單調性，正弦函數(shù)的對稱軸的求法，依次判斷即可.【詳解】由可知，,由此可知選項不正確；由可知，，即是偶函數(shù)，由此可知選項不正確；由，解得,當時，區(qū)間上為單調遞增，由此可知選項正確；由，解得，則直線不是的對稱軸，由此可知選項不正確；故選：.8.設函數(shù)，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，故選B．9、.已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前n項和，則的最小值為（

）A． B．7 C． D．【答案】C10.．圓錐被過頂點的一個截面截取部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示，則截取部分幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖，則可得截去部分是圓錐的三分之一中再截去一個三棱錐，從而可求出其體積【詳解】解：如圖，圓錐底面半徑為2，高為3，，，，截取的幾何體的體積.故選：A.11.已知雙曲線的左?右焦點分別為，，點是雙曲線漸近線上一點，且(其中為坐標原點)，交雙曲線于點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義和余弦定理建立關于的方程，從而可得雙曲線的離心率．【詳解】根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設點在第二象限，設，因為，點到直線的距離，所以，因為，所以，因為，所以，由雙曲線的定義可知，在中，由余弦定理可得，整理得，所以，即離心率.故選：C.12.已知實數(shù)x，y滿足且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，∴，∴，即，設,則上式表明,求導得，當時，,單調遞減，由于，∴，∴，∴,∴，∴,令,,當時，單調遞減；當時，單調遞增，∴,故選：D.第II卷（非選擇題）填空題13.曲線在處的切線方程為___________.【答案】【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再用點斜式計算可得；【詳解】解：因為，所以，，所以，所以切線方程為，即；故答案為：14.已知拋物線的焦點為F，準線為l，點M是拋物線C上一點，于H，若，則拋物線C的方程為___________.【答案】15.第十四屆國際數(shù)學教育大會（簡稱ICME-14）于2021年7月在上海舉辦，會徽的主題圖案（如圖）有著豐富的數(shù)學元素，展現(xiàn)了中國古代數(shù)學的燦爛文明，其右下方的“卦”是用中國古代的計數(shù)符號寫出的八進制數(shù)字3745.八進制有0～7共8個數(shù)字，基數(shù)為8，加法運算時逢八進一，減法運算時借一當八.八進制數(shù)字3745換算成十進制是，表示的舉辦年份.設正整數(shù)，其中，.記，，則_______；當時，用含的代數(shù)式表示_____.【答案】

2；

.已知四面體ABCD的所有棱長都相等，其外接球的體積等于π，則①四面體ABCD的棱長均為2：②四面體ABCD的體積等于③異面直線AC與BD所成角為以上結論正確的序號為_________【答案】①②.【分析】①,求出外接球半徑與正四面體棱長之間的關系，由外接球體積求出外接球半徑，從而求出棱長；②,在①的基礎上利用椎體體積公式進行求解；③,作出輔助線，可證明出AC與BD垂直，從而③錯誤.【詳解】由題意知，可以設該正四面體的棱長為a，底面正三角形BCD的中心為G，該正四面體的外接球的球心為O，半徑為R；則在直角三角形AGB中，.在直角三角形OBG中，，所以，由外接球的體積為，可得，所以，解得：，故①正確；由①得：正四面體的高，故正四面體的體積為，故②正確；設BD的中點為E，連接AE，CE，因為三角形ABD與三角形BCD均為等邊三角形，由三線合一得：，因為，所以平面AEC，因為平面AEC，所以，故③錯誤.故正確的是①②.三?解答題：（本題共6小題共70分，解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.第17-21題必考題，每個學生都必須作答第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）17（本小題滿分12分）凸四邊形ABCD中，，，，，．（1）求∠BAC；（2）求四邊形ABCD的面積．【17題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可得，然后再由正弦定理可得；（2）由直接計算可得.【小問1詳解】由余弦定理知∴由正弦定理知∴，得∴∴【小問2詳解】由（1）知，，∴∴∴四邊形ABCD的面積18.某學校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實踐活動”.為了解學生的學習成果，該校從全校學生中隨機抽取了50名學生作為樣本進行測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)若全校學生參加同樣的測試，試估計全校學生的平均成績（每組成績用中間值代替）；(2)在樣本中，從其成績在80分及以上的學生中隨機抽取3人，用表示其成績在中的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；(3)在（2）抽取的3人中，用表示其成績在的人數(shù)，試判斷方差與的大小.（直接寫結果）【答案】(1)；(2)分布列見解析，；(3).【分析】（1）利用直方圖的性質及平均數(shù)的計算方法即得；（2）由題可知服從超幾何分布，即求；（3）由超幾何分布即得.(1)由直方圖可得第二組的頻率為，∴全校學生的平均成績?yōu)椋?2)由題可知成績在80分及以上的學生共有人，其中中的人數(shù)為5，所以可取0,1,2,3，則，，，，故的分布列為：0123P；(3).19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，點為線段上的點，且(1)證明：；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成的角.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面得，再根據(jù)幾何關系得，進而證明平面即可證明結論；（2）根據(jù)題意，結合（1）的證明，建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可；(1)證明：因為四邊形為矩形，所以又，所以平面．所以又所以因為所以平面則.(2)解法一：由（1）得，平面，且四邊形為矩形如圖建立空間直角坐標系易知，平面的一個法向量為

點在線段上，設，則，，設平面的一個法向量為，即令，得，則因為二面角的余弦值為，所以，即，解得或（舍去）所以，，又設直線與平面所成的角為θ，.所以直線與平面所成的角大小為.解法二：由（1）得，平面，則平面所以，又所以即為二面角的平面角，即因為所以.即為的三等分點，取中點，連接，易知為等腰直角三角形所以又平面，所以因為，所以平面，過作則即為直線與平面所成角，在中，，所以，直線與平面所成角大小為.20.（本小題滿分12分）橢圓的左頂點為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)已知經過點的直線交橢圓于兩點，是直線上一點.若四邊形為平行四邊形，求直線的方程.【解析】(1)由題意知：，則，故橢圓的方程為；(2)設，又，故，又直線經過點，故的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得，顯然，，則，又，由，可得，解得，故直線的方程為.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)當時，①求證：有唯一的極值點；②記的零點為，是否存在使得？說明理由.【答案】(1)(2)①證明見解析，②不存在，詳細見解析.【分析】（1）求得導函數(shù)，由，代入計算即可.(2)①求得設,由函數(shù)性質可知在上單調遞減.進而由，可得有有唯一解，進而利用導數(shù)可判斷有唯一的極值點.②由題意，可得假設存在a，使，進而可知由在單調遞減，，則，求得，與已知矛盾，則假設錯誤.(1)因為，所以因為，所以(2