第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布(理)第9節(jié)第九節(jié)離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布

第九節(jié)離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布（理）第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布（理）第十章概率（文）主干回顧·夯實基礎(chǔ)一、離散型隨機變量的均值與方差一般地，離散型隨機變量X的分布列為

1.均值稱E(X)＝__________________________為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的_________．

Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平2．方差

3．兩點分布與二項分布的均值和方差(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝___，D(X)＝________．

(2)若隨機變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝___，D(X)＝_________．

p(1－p)npnp(1－p)p4．均值與方差的性質(zhì)若X為隨機變量，則Y＝aX＋b(a，b為常數(shù))也為隨機變量，且(1)E(aX＋b)＝________；(2)D(aX＋b)＝_______．二、正態(tài)分布1．正態(tài)曲線

aE(X)＋ba2D(X)2．正態(tài)分布的定義

3．正態(tài)曲線的特點(1)曲線位于x軸_____，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線______對稱；

上方x＝μx＝μ(4)曲線與x軸之間的面積為__；(5)當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“______”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“______”，表示總體的分布越______．4．正態(tài)分布的三個常用概率值(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝________；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝_______；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝_______.

1瘦高矮胖分散0.68260.95440.99741．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)均值是隨機變量取值的平均值，常用于對隨機變量平均水平的估計．()(2)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平均程度越小．(3)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況，因此它們是一回事．()(4)若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.()

[答案及提示](1)√(2)√(3)×均值與方差不是一回事．(4)√

2．已知隨機變量X的分布列如下表，則D(X)＝()A.0.4 B．1.2C．1.6 D．2解析：選C由0.2＋0.2＋y＝1得y＝0.6，∴E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋3×0.6＝2，∴D(X)＝(0－2)2×0.2＋(1－2)2×0.2＋(3－2)2×0.6＝1.6，故選C.

X013P0.20.2y5．若隨機變量X～N(μ，σ2)，且P(X≤1)＝P(X＞3)，則E(2X－1)＝________.

考點技法·全面突破1．(2015·保定模擬)隨機變量ξ的分布列為

離散型隨機變量的均值、方差(☆☆☆☆☆)ξ－101Pabc2．(2014·遼寧高考)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．

將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立．(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．解：(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.X0123P0.0640.2880.4320.216因為X～B(3,0.6),所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.

3．(2013·浙江高考)設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分．(1)當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和，求ξ的分布列；

所以ξ的分布列為

(2)由題意知η的分布列為

ξ23456PΗ123P求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每個值時的概率．(3)寫出ξ的分布列．(4)由均值的定義求E(ξ)．(5)由方差的定義求D(ξ)．[典例1]

(2014·湖北高考)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站．過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和．單位：億立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立．離散型隨機變量均值與方差的應(yīng)用(☆☆☆☆)(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：

若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元．欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？

年入流量X40＜X＜8080≤X≤120X＞120發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123②安裝2臺發(fā)電機的情形．依題意，當40＜X＜80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；當X≥80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.

Y420010000P0.20.8③安裝3臺發(fā)電機的情形．依題意，當40＜X＜80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；當80≤X≤120時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；當X＞120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X＞120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：

Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺．

1．解決實際應(yīng)用問題時，關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值時所表示的具體事件．2．隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．現(xiàn)有A，B兩個項目，投資A項目100萬元，一年后獲得的利潤為隨機變量X1(萬元)，根據(jù)市場分析，X1的分布列為：

投資B項目100萬元，一年后獲得的利潤X2(萬元)與B項目產(chǎn)品價格的調(diào)整(價格上調(diào)或下調(diào))有關(guān)，已知B項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進行2次獨立的調(diào)整，且在每次調(diào)整中價格下調(diào)的概率都是p(0≤p＜1)．X11211.811.7P經(jīng)專家測算評估B項目產(chǎn)品價格的下調(diào)與一年后獲得相應(yīng)利潤的關(guān)系如下表：

(1)求X1的方差D(X1)；(2)求X2的分布列；(3)若p＝0.3，根據(jù)投資獲得利潤的差異，你愿意選擇投資哪個項目？(參考數(shù)據(jù)：1.22×0.49＋0.72×0.42＋9.82×0.09＝9.555)．

B項目產(chǎn)品價格一年內(nèi)下調(diào)次數(shù)X(次)012投資100萬元一年后獲得的利潤X2(萬元)1312.52解：(1)X1的概率分布為

X11211.811.7P(2)解法1：由題意知X～B(2，p)，則X的概率分布為

故X2的分布列為

X012P(1－p)22p(1－p)p2X21312.52P(1－p)22p(1－p)p2故X2的分布列為

(3)當p＝0.3時，E(X2)＝E(X1)＝11.8，由于D(X1)＝0.01.D(X2)＝9.555.所以D(X2)＞D(X1)，當投資兩個項目的利潤均值相同的情況下，投資B項目的風險高于A項目．所以從獲得穩(wěn)定收益考慮，當p＝0.3時應(yīng)投資A項目．

X21312.52P(1－p)22p(1－p)p2正態(tài)分布是統(tǒng)計中的重要內(nèi)容，也是高考的?？键c，從近幾年的高考試題看，主要有以下類型：題型一根據(jù)正態(tài)曲線判斷u、σ的值\[典例2](1)設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函數(shù)圖象如圖所示．則有(

)

正態(tài)分布(☆☆☆)A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：選A正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，它是在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線越“矮胖”；反過來，σ越小，曲線越“瘦高”．故選A.

解析：－5σ＝2，μ＝－2，E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5.

題型二利用正態(tài)曲線的對稱性求概率[典例3](1)設(shè)隨機變量X～N(3,1)，若P(X＞4)＝p，則P(2＜X＜4)＝()解析：選C由正態(tài)密度曲線的對稱性知P(X＜2)＝p，故P(2＜X＜4)＝1－P(X＜2)－P(X＞4)＝1－2p.故選C.

(2)設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，則c＝________.

題型三利用正態(tài)分布進行估計[典例4]在某市組織的一次數(shù)學競賽中，全體參賽學生的成績近似服從正態(tài)分布N(60,100)，已知成績在90分以上的學生有13人．則此次參加競賽的學生共有________人．(P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974)

1．在正態(tài)分布N(μ，σ2)中，μ，σ的意義分別是期望和標準差．μ在正態(tài)分布曲線中確定曲線的位置，而σ確定曲線的形狀．如果給出兩條正態(tài)分布曲線，我們可以根據(jù)正態(tài)分布曲線的位置和形狀判別相應(yīng)的μ和σ的大小關(guān)系．2．對正態(tài)分布曲線的性質(zhì)考查最多的是其對稱性，即正態(tài)分布曲線關(guān)于x＝μ對稱，也可以推廣到P(ξ＜μ－μ0)＝P(ξ＞μ＋μ0)．學科素能·增分寶典規(guī)范答題系列之(十四)正態(tài)分布綜合題的答題規(guī)范[典例](12分)佛山某學校的教室統(tǒng)一使用“