考研數(shù)學(xué)概率論復(fù)習(xí)重點(diǎn)總結(jié)

概率論是研究偶然現(xiàn)象的內(nèi)在統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門學(xué)科數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究如何收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)1滿足下列條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)(E表示定義 在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結(jié)果或叫隨機(jī)，簡稱為，用大寫字A、B、C、D 組成的集合，可記為。 不可 ：每次試驗(yàn)都不可能發(fā)生的，稱為注:一次試驗(yàn)中有且只有一個(gè)基本發(fā)生；隨機(jī)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)所包含基本之一出現(xiàn)的運(yùn)算：（1）的并（和）（2）的交（3） 律：。r定義 隨機(jī)A在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，在相同條件下試驗(yàn)n次，r發(fā)生r次，則稱fn(A)n 2（概率的統(tǒng)計(jì)定義）nn很大時(shí)，A發(fā)生的頻率在一個(gè)常數(shù)附近n的增大，這種擺動(dòng)“大致上越來越小，我們稱這個(gè)常數(shù)為APA。概率實(shí)質(zhì)上是頻率的穩(wěn)定值（n0fnA1（非負(fù)性fn(1;f() (3）AB,則fnAB)fnAfn(B；（有限相加性）0PA1（非負(fù)性(2）P() 1P()0

P(A)1P(P(BA)P(B)P(AP(BA)P(B)P(A)P(BP(A)nA，其中n是A中含基 設(shè)某一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間是歐氏空間的某一區(qū)域（可以是一的一段線段二的一塊平面區(qū)域，三的某一立體區(qū)域甚至是n 可能出現(xiàn)，設(shè)A是中的任一區(qū)域，基本落在區(qū)域A的概率為P(A)(A) 1A、BEB的條件概率。

P(A0，則稱P(B|A)P(AB) P(PAB)PA)P(B|A),PA0PAB)P(B)(A|B),P(B)0定義2設(shè)有樣本空間，A1,A2,...An是樣本空間的n個(gè) （1）AiAj,i,j1,2,3,..n,i（2）A1A2A3...An則稱A1,A2,...An是的一個(gè)有限剖分（完備組，且記A1A2...Ann有P(B)PAi)P(B|Ai定理 設(shè) n是樣本空 P(

|B)P(AiB)

P(Ai)P(B|AinP(Aj)P(B|Aj

ab個(gè)白球，進(jìn)行有放回摸球兩次，A表示“第一次摸到黑球”，B表示“第二次摸到黑球”，經(jīng)計(jì)算可知P（B|A)P(B).即無論A發(fā)生與否對B的發(fā)生沒有影響，這在直觀上很顯然。一般情況下，P（B|A)和P(B)不一定相同，即A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率可能是有影響的。上P（B|AP(BPABPA)P(B,定義1設(shè)A和B是同一樣本空間的任意兩個(gè)隨機(jī)，若它們滿P(AB)P(則稱A和B相互獨(dú)立，簡稱獨(dú)立（（（2三個(gè)相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)它們滿足下面四條：P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(P(BC)P(B)P(C)，P(ABC)P(例 甲、乙、丙獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，設(shè)甲乙、丙中率分別為0.4,0.5,0.7，又設(shè)恰有一人，人，三人飛機(jī)后，飛機(jī)墜毀的概率分別為0.20.6,1 解設(shè)Ai表“恰有i個(gè)人 飛機(jī)”i0,1,23

A0C1C2C3 A1C1C2C3C1C2C3C1C2C3A2C1CC3C1C2C3C1C2C3 A3C1C2C3C1C2C3P(C10.4P(C20.5,P(C3P(A0)P(C1)P(C2)P(C3)P(A1)P(C1)P(C2)P(C3)P(C1)P(C2)P(C3)P(C1)P(C2)P(C3)P(A2)P(C)P(C2)P(C3)P(C1)P(C2)P(C3)P(C1)P(C2)P(C3)P(A3)P(C1)P(C2)P(C)0.14P(B|A00,P(B|A10.2,P(B|A20.6,P(B|A34P(B)P(Ai)P(B|Ai)

定義 定理 在n重概型中A發(fā)生k次的概率P(k)Ckpk(1p)nk,k0,1,, 樣本空間：S= s∈ ⅰS={s1,s2,…,sniiPr(sioccurs)= (古典概型：pi= iiiPr(A)=ivS上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，這里“隨機(jī)投擲一點(diǎn)”的含義是該點(diǎn)落在S內(nèi)任何區(qū)域的可能性與該區(qū)域的面積成正比。Pr(A)=u(A)/u(S) P(A)≥Pr(S)=A1A2,…(兩兩不相交

Ai)=

（1）Pr(ф)=（2）A1,A2,…,An兩兩不相交，Pr(∪∞i=1Ai)=（3）ⅰPr(AC)=1–ii Pr(A)≤iiiAPr(A)ivPr(A∪B)=Pr(A)+Pr(B)-三個(gè)：對任意三個(gè)有限多個(gè)：對任意n個(gè)A1,…,An,-∑i<j<k<lPr(AiAjAkAl)+…+(-1)n+1Pr(A1A2…) B=S,Pr(AB)=Pr(B)Pr(A|B)=（6）假設(shè)A1,A2,…,An滿足Pr(A1A2…An-1)>0，那么：Pr(A1A2…An-1)=Pr(A1)Pr(A2|A1)Pr(A3|A2A1)Pr(An|A1A2…An-1)（7）假設(shè)A1,A2,…,An,B，滿足Pr(A1A2…An-1|B)>0，那么： 定義：①如果Pr(AB)=Pr(A)Pr(B)，那么A,B獨(dú)立Pr(A)>0,Pr(B)>0Pr(A|B)=Pr(A)假設(shè)A,B獨(dú)立 =>Pr(∪Ai)=1-Pr(AC)Pr(AC)… 本質(zhì)：B發(fā)生與否與A無對于A1,…,Ak，如果這些的任意包含j（j=2,3,…,k）個(gè)的子集滿足Pr(Ai1…Aij)=Pr(Ai1)…Pr(Aij)，則這k個(gè)獨(dú)立。以3個(gè)為例 因此pairwiseindependence如果A1,…,Ak滿足Pr(A1…Ak)>0，那么當(dāng)且僅當(dāng)任意兩個(gè){1,…,k}中的不相交的子集{i1,…,im}和{j1,…,jl}滿足Pr(Ai1…Aim|Aj1…Ajl)=Pr(Ai1…Aim)時(shí)，A1…,Ak獨(dú)立?？紤]樣本空間中的k個(gè)不相交的B1,…,Bk，并且∪i=1kBi=S,則這k個(gè)事假設(shè)B1,…,Bk是樣本空間S的一個(gè)劃分并且Pr(Bj)>0(j=1,…,k)，那么對于S中的任意A，Pr(A)=∑j=1Pr(A|C)=Bayes定律（已知結(jié)果，推原因假設(shè)B1,…,Bk是樣本空間S的一個(gè)劃分并且Pr(Bj)>0(j=1,…,k)，A滿足Pr(A)>0，那么對于i=1,…,k,Pr(Bi|A)=Pr(Bi)Pr(A|Bi)/三．隨量及分布隨量SS上定義的實(shí)值函數(shù)叫做一個(gè)隨機(jī)隨量的分布：Pr(x∈A)=Pr{s:X(s)①如果隨量X僅取有限個(gè)不同值x1,x2,…,xk，或者無限個(gè)不同但連續(xù)的（p.f.假設(shè)隨機(jī)隨量00-1Bernouli模型只有兩 pN重試驗(yàn)f(X=k)=Ckpk(1-p)n-k 0A Pascal布（負(fù)二X:單位時(shí)間內(nèi)發(fā)XX~⑥分布函數(shù) ⑦ 值的概率為f在A上的積分?！摇?∞-④d.f.:F(x)=Pr(X≤x)=∫-f(x)X在x⑦F’=f(連續(xù))在間斷點(diǎn)處取任一值均可=>f X～Exp(λ)指數(shù)分布 X～N(μ，σ2)正態(tài)分布：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：μ=0;非標(biāo)準(zhǔn)=>標(biāo)準(zhǔn) Y=(X-μ)/①對于任一實(shí)數(shù)x滿足：F(x)=Pr(X≤x)（-∞<x<∞）則稱F為隨量X的②性質(zhì)：i x1<x2,則F(x1)≤F(x2) x->③定理 對于任意x,Pr(X>x)=1-對于所有x1和x2滿足x1<x2,Pr(x1≤x≤x2)=F(x2)-對于任意x,Pr(X<x)=F(x-對于任意x,Pr(X=x)=F(x)-F(x-④反函數(shù)①兩個(gè)隨量的聯(lián)合概率密度叫做二變量分②離散的聯(lián)合分布函數(shù)f滿足平面x-y上任一點(diǎn)（x,y，f(x,y)=Pr(X=x,Y=y)f稱為隨量X,Y的聯(lián)合概率函數(shù)。對于平面x-y的任一子集A,Pr[(X,Y)∈A]=∑(x,y如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)f定義在整個(gè)x-yPr[(X,Y)則稱f為隨量X，Y的聯(lián)合概率密度函∫-∞∞∫-∞如果（X,Y）在一條直線或曲線上，則它的概率為 (x,y)0, D為區(qū)域S的面積④二變量分布函數(shù)F(x,y）=Pr(X≤x,Y≤y)則稱F為隨量X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)(X,Y)x-y上一個(gè)特定矩形內(nèi)的概率為 ∫-∞y∫-∞xf(r,s)drds=∫-∞x∫-∞二變量分布中的一個(gè)變量的分布：F1(x)=limy-∞F(x,y) F2(y)=limx-∞F(x,y) ①從聯(lián)合分布中得到的其中一個(gè)隨量X的分布，叫做X的邊緣分布。②由聯(lián)合分布推導(dǎo)邊緣分布X,Y為離散的聯(lián)合分布，p.f.f, f2(y)=∑f(x,y) X,Y為聯(lián)合的聯(lián)合分布，p.d.f.f,則③獨(dú)立隨如果對于實(shí)數(shù)的任意兩個(gè)子集A,B，Pr(X∈A，Y∈B),那么隨量X，Y稱x,yPr(≤xPr(X=i,Y=j)=pij,Pr(X=i)=pi+,Pr(Y=j)=p+j，那么當(dāng)且僅當(dāng)pij=pi+p+j時(shí)，X，Y稱為 或者對于矩形區(qū)域S外的任一點(diǎn)（x,yf(x,y)=0,則稱隨量XY稱為相互①（X,Y）～f(x,y)/pij=Pr(X=xi,Y=yj)X～fX(x)/pi+ Y～fY(y)/p+jg1（x|y）=Pr(X=xi|Y=y)=f(x,y)/③獨(dú)立分布變量 -∞<x<∞，-隨量的函為X的函數(shù)。那么Y的p.f.,g為g(y)=dG(y)③使X為隨量并且p.df.為f,Pr(a<X<b)=1,使Y=r(X)并且假設(shè)r(x)連續(xù)并且在g(y)= y④如果r單調(diào)遞增，G(y)=F[s(y)]如果r單調(diào)遞減，G(y)=1-F[s(y)] 構(gòu)造一個(gè)隨量Z=r(X),它的分布函數(shù)為 Yn=max{X1,…,Xn}=> Y1=min{X1,…,Xn}=>G1(y)=1-[1- iv (y1,…,yn) 假設(shè)兩個(gè)隨量X1,X2有聯(lián)合分布p.d.f為f，則Y=X1+X2的概率密度函數(shù)g(y)=- 或者g(y)=∫∞- - 如果XX獨(dú)立=>g(y)=∫ - - 或者g(y)=∫∞f- ①離散型： ii存在<=>∑|x|f(x)<∞連續(xù)型： E(X)=∫-∞ =>E(X)= CauchydistributionE(X)不存在E[r(X)]=∫-存在<=>∫-E(Y)=∫Rn∫r(x1,…,xn)fx1,…,xn)d④性質(zhì) 如果Y=aX+b,那么ii如果存在一個(gè)常數(shù)使得Pr(X≥a)=1，那么E(X)≥a。如果存在一個(gè)常數(shù)使得Pr(X≤b)=1，那么E(X)≤b。

=>對于非負(fù)的隨量X，E(X)≥0，并且如果E(X)、=0，那么如果隨量X1,…,Xn滿足期望存在，那 隨量在0，1，2，…中取值，那么E(X)=∑n=0∞nPr(X=n)=∑∞nPr(X=n)=∑n=0∞Pr(X≥n)=∑∞Pr(X>n)定義：假設(shè)X為一個(gè)隨量，均值為μ=E(X),X的方差表 Var(X)：Var(X)=E[(X-如果方差無限大，則稱方差不存在。當(dāng)且僅當(dāng)Pr(X=C)=1時(shí)，Var(X)=0對于任意常數(shù)對于任意的隨量X，Var(X)=E(X2)-[E(X)]2如果X1,…,Xn為獨(dú)立的隨量，那Var(X1+…+Xn)=Var(X1)+…+X～Poisson(λ)=>Var(X)=λX～ =>Var(X)=(b-)2/12 使E(X)=μX,E(Y)=μY,Var(X)=σX2,Var(Y)= Cov(X1X2)=∫-∞∞∫-∞∞(X1-EX1)（X2-EX2）f(x1,x2)dx 相關(guān)系數(shù)如果0<σ2<0<σ2<∞，那么X和 [Cov(X,Y)]2≤σ2σ <=>Var(X±YVar(X)+Var(Y)<=X,Y<=>對于所有隨量X,Y滿足0<σ2<∞并且0<σ X假設(shè)X為一個(gè)隨量滿足0<σ2<∞，并且Y=aX+b(a,b為常數(shù)，a≠0),如X如果X,Y為隨量滿足Var(X)<∞,Var(Y)<∞,那Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Var(aX+bY+c)=a2Var(X)+b2Var(Y)+2abVar(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2 那Var(∑Xi)=Var(∑Xi)+2∑∑i<j期望為μ，方差為 Markov不等式：X為隨量且Pr(X≥0)=1,那么對于任意t>0Chebyshev不等式：X為隨量且均值存在。那么對于任意t>0 量 相互獨(dú)立，服從一分布且具有數(shù)學(xué)期望和方差 則隨量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量的分布函數(shù)Fn（x）對于任意x滿足(一)一維隨 對應(yīng)，則稱X（）為隨 例1將一枚硬幣連拋兩次，用H,T分別表示正面、，其樣本空間以通過隨量來描述中的隨機(jī)，如{X＝2}表示“出現(xiàn)兩次正面”這一，{X1}表示“出現(xiàn)了一次或沒有出現(xiàn)正面”這一，顯然有{X1}{X0}{X1}全體正實(shí)數(shù)，因此，為了研究隨量取值的概率規(guī)律，需研究隨量的取值落在某個(gè)區(qū)間（x1,x2]P{x1Xx2}P{Xx2}P{X可知，對任意給定的實(shí)數(shù)x，{Xx}的概率確定了，概率P{x1Xx2}也就確定了，而概率P{X定義2 設(shè)X是一個(gè)隨量，對任意的xR，稱函數(shù)F(x)P{Xx}為隨量的X分布函數(shù)。0F(X)1,x（3）F()limF(x)1,F()limF(x)

定義3若隨量X可能取值的數(shù)目是有限個(gè)或可列無限個(gè)，則稱X是離散型隨量。X的可能值可寫成x1x2,xk,，在有限的情形，這個(gè)序列至某一項(xiàng)結(jié)束。定義4 若離散型隨量X的取值為xk(k1,2,)的概率為PXxkpk,k則稱{pk,k1,2,}為離散型 量X的概率分布或分布律分布律也可寫成下列的表格形式X……P……由概率的定義，pkk1,2,（1）pk0,k

P{aXb}（ab定義 設(shè)隨量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對任意實(shí)數(shù)xxF(x)f(t)dtP{Xx}，則稱X為連續(xù)型隨 量，稱f(x)為X的概率密度。xf(x1）f(x)0（非負(fù)性b3）P{aXb}F(b)F(a)4)f(xxF(x)

f(x)dxf(x。若在一次隨機(jī)試驗(yàn)中隨量X只能取0或1兩個(gè)值，且它的分布律為P{X1}p,P{X0}1pq，則稱隨量X服從兩點(diǎn)分布或(01)分布。 X的分布律為 1兩點(diǎn)分布可以作為描述試驗(yàn)只有兩個(gè)基 在n 試驗(yàn)中，若A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率均為p，即P(A)p，則A恰好發(fā)生kC（k0,1,n）的概率為kpk(1p)nk。令X表示n 試驗(yàn) CnCP{Xk kpk(1p)nkk01,nCXnp,X~B(npn1時(shí)，二項(xiàng)分布就是(0-1)分布因而(01)k}

ke

k其中0X服從參數(shù)為X~P(}

axX在有限區(qū)間(a,b)內(nèi)均勻分布其密度函數(shù)為f(x) 則稱X在(a,b)上服從均勻分布 X~U(a

x若隨量X的密度函數(shù)為f(x) x

(0為參數(shù)X服從參數(shù)為若隨量的密度函數(shù)為f(x)

(x 1e22,x,2為常數(shù)且0X 1參數(shù),2的正態(tài)分布或分布，記為X~N(,2) 圖 圖

稱0,1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X~N(0,1)。其密度函數(shù)為(x)

2數(shù)為(x)

e2dt；由(x)(x可知(x)1(x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)(x的值可通過查表及(x)1(xF(x與(xF(x)

x 量的X分布律 PXxkpk, 1,2,，Yg(X)也是一個(gè) 量。求Y的分布律X……P……g(Xg(x2…g(xi…g(xi中有相同的取值則把對應(yīng)的概率值加起來，得到Y(jié)設(shè)X是連續(xù)型隨量，其密度函數(shù)為fX(x)，Yg(X)也是連續(xù)型 量F(y)P{Yy}P{g(X)y}{x|g(x)y}f(x)dx定理1X的概率密度fX x，函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù)(x)0(g(x)0)，Yg(X)是連續(xù)型隨量，其概率密度為 f(y)fX[h(y)]|h

y，其中min{g(g(max{g(g(hyg(x的反函數(shù)。注：1只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以上推求Y的密度函數(shù)。2X~N(,2，證明YaXb(a0)服從正態(tài)分布。證X的密度函數(shù)為Xf(x) X2

2 x令yg(x)axbxhy)ybhy)1YaXb(a0

fY(y)1f

a(yb) a

(yb 2 2|a故Y服從正態(tài)分布且Y~N(ab,(a)2

[y(ba 2(a) ya1/b時(shí)，有Y(二)二維

X

量或二維隨機(jī)向量，簡記為R.V.(X,Y)。(X1,X2,,Xn)稱為n維隨量或n維隨機(jī)向量。F(x,y)PXx,YyPXxYy為X,YX與Y對于二維 量(X,Y)，X,Y作 量 FX(x)=PXxPXx,YF(x,)FY(y)PYyPx,YyF(,X,Y的可能取值為(xiyji,j1,2,

PXxi,Yyj

i,j則稱pij(i,j1,2)為 由二維離散型隨量(X,Y)的定義，可知XY為一維離散型隨量，其分布律如下 PXxiPXxiYPXxYyjpijpi,iPYyPX,Yy PXx,Yy

p

,j

YXyPXxiYXyPXxip2PYyp pipjpiji j i1jj定義2：設(shè)F(x,y)是二維隨量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使得對于

XfX(x)f(xy)dy。關(guān)于YfYy)f(xy)dx定義3.設(shè)F(x,y)及FX(x),FY(y)分別為二維隨量(X,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對所有x,y有F(x,y)FX(x)FY(y)則稱隨量X和Y是相互獨(dú)立的。定義4.若對離散型隨 量(X,Y)的所有可能取值(xi,yj)，有PXx,YyPXxPYy i,j pijpip i,j則稱隨量X和Y相互獨(dú)立定義5.若二維連續(xù)型隨量(X,Y)的聯(lián)合密度和邊緣密度滿足f(x,y)F(x1,x2,,xn)PXx1,X2x2,,Xnxn

fX(xfYyX與Yi邊緣分布函數(shù)FX(xi)PXixiF(,,xi,,,i1,2,ni設(shè)(X1,X2,,Xn)是n維連續(xù)型隨量，若其聯(lián)合密度函數(shù)f(x,x2,,xn)與邊緣密度函數(shù)fX1(x1fXn(xnf(x1x2xnfX1(x1fX2(x2,fXn(xnX1X2Xn(三)隨量的數(shù)字特PXxipi i EXpnxn，當(dāng)pnxnR.V.X

xf(x)dx 當(dāng)

xf(x)dxX1.yg(xXR.VYgX 若png(xnE(YE[gXpng(xn

nXR.Vf(xg(xf(x)dxE(Y)E[gXg(x)f(x)dx。推廣：對于二維R.V.(X,Y)若X,YR.VPXx,Yyp(i,j1,2,g(xy i1j i1j（2）X,Y)為連續(xù)型R.V.，其分布密度為f(xy)，g(x,y)為二元連續(xù)函數(shù)， g(x,yf(xy)dxdyE[gX,Yg(xyf(x1.E(C)C2.EXC)EX

E(kX)kE(XE(XY)E(X)E(YE(X1X2Xn)E(X1)E(X2)E(XnE(aXbYaEXbE(Yab5.X,YEXYEX)E(Y)即D(X)=E[XE(X)]2。稱 為R.V.X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記作XR.VPXxkpkk1,2DXXR.Vf(xDX[xEX)]2f

E(X)]21XCDX2.DXCDXD(aXba2DX4.X,YDXYDXD(YD(X1XXn)D(X1)D(X2)D(XnX~X(1,Bp)p(E) X() (1p)；X~B,n(p) E(X)np X~P() E(X)D(X) X~() E(X)1 D(X)1 X~N(,2 E(X) D(X)2；X~U)a, E(X)b D(X)1(b 差，記為CovX,Y)，即CovX,Y)EXEX)][YE(Y)]而 D(X)D(YD(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,YCov(X,Y)Cov(Y,XCov(aX,bY)abCov(X,YCov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y

2.X與YX與YX與Y相互獨(dú)立EXY)EX)E(Y)CovX,Y)0XYR.V.XPX11PX01,YX23EXY)EX3EX) EX)E(Y)0

從而CovX,Y)EXYEX)E(Y)0X與YX與Y

2.X與YR.VEXkk1,2,Xk階原點(diǎn)矩EXEX)]kk1,2,Xk階中心矩EXkYlkl1,2,X和Ykl階混合矩

Cov(Xi,X1n

i,j1,2,, 都存在，則稱矩陣 2n nnR.VX1X,Xn的協(xié)方差矩陣三(一) 量X都 P{|XE(X)|}D(X)，其中是任一正數(shù) 不等式也可以表示成P{|XE(X)|}1D(X)。由于 夫不等式還可以看出，當(dāng)方差越小時(shí)，{|XE(X)|}發(fā)生的概率也越小從而可知，方差確實(shí)是一個(gè)設(shè)n是n重貝奴里試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，而p是A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，則對任意0limP{|np|} 如貝努里定律所的，A的頻率也很小或者說A很少發(fā)生設(shè)Y1,Y2,....,Yn,....是一個(gè)互相獨(dú)立的隨量序列，a是一個(gè)常數(shù)，若對于任意正數(shù)，有l(wèi)imP{|Yna|1，則稱序列Y1Y2

n 和有限 nnklimP{|1Xk

E(X

)|}n1 nk nkn1 設(shè)獨(dú)立隨量X,X,....,X,....服從同一分布，并且有數(shù)學(xué)期望a及方差2，則X,

1

Xia|}n nk aX1X2 Xn(二) 設(shè)隨機(jī)變量X1X2Xn,....相互獨(dú)立,服從同一分布，具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：nE(Xi),D(Xi) 0(i 則隨機(jī)變量Y 的分布函數(shù)F(x)對任意 X x(,),都 Xk limFn(x)limPk x

xt

n N

,

2n

Xk，方差

nn

隨量中心極限定理可以解釋如下：假設(shè)被研究的隨量可以表示為大量獨(dú)立的隨變量的和，其中每一個(gè)隨設(shè)隨量n(n1,2,)服從參數(shù)為n,p(0p1)的二項(xiàng)分布，則對于任一區(qū)間(a,b)，恒有 np(1limPa b enp(1n 1（12 （解：（1）P{1}1P{0,0}P{1,1}1 aP{0,1}P{0,1}P{0}P{1}(1a) 1 1解得a 6利用規(guī)范性，得到b（2）Cov(,)

E

12

0 min{01P21332（152xy,0x1,0yp(x,y) 解：(1)，的邊際密度函數(shù)為：p(x)

x 0x 3 0x

p(y)

y)d 0y 0y

由于p(x,y)p(x)p(y)，因此，不獨(dú)立 當(dāng)z0或z2時(shí)，p(z) z當(dāng)0z1時(shí)，p(z)0(2x(zx))dxz(2 z1當(dāng)1z2p(z)z1

(2x(zx))dx(2 z(2 0z即p(z)(2 1z00z0F(z)0 z 當(dāng)0z1F(z)0dx當(dāng)1z2

(2xy)dyz2z3F(z)

(2xy)dy

(2xy)dy11(2 z2F(z)1z(2 0zp(z)(2 1z003．（8分）在天平上重復(fù)稱重一重物，假設(shè)各次稱重結(jié)果相互獨(dú)立，稱重結(jié)果的期望值為a，方解：若 量i表示第i次稱重的重物，則a|1|n

1nni1

|

n

ina|

|

ina P{|

a|0.1}P{|

na|0.1}P{ ni ni n) 2

a|0.1}0.95，即 n)0975 2于是得到n15.3664 取n16 6 6 6 假設(shè)油漆的干燥時(shí)間~N(,2，這里2是否可以認(rèn)為油漆的平均干燥時(shí)間為6（0.