正項(xiàng)級(jí)數(shù)介紹

則稱此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。

注1

不少級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題都可歸結(jié)為它的斂散性問(wèn)題.請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必掌握好其斂散性的判別法。9.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)一.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義3

若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)注2

因?yàn)閷?duì)任意均有各項(xiàng)則有于是正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和是一個(gè)單増數(shù)列1

定理6

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是部分和序列有上界。

證

“?”有單調(diào)有界準(zhǔn)則知極限存在，“?”若收斂,則存在,其等價(jià)命題是下面利用此定理導(dǎo)出正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂的幾個(gè)判別法。從而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.由極限存在準(zhǔn)則知,有界,從而有上界。從而正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散?！薄叭魺o(wú)上界,則2設(shè)兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)定理7

(比較判別法)

的對(duì)應(yīng)項(xiàng)滿足:則(1)當(dāng)級(jí)數(shù)也收斂;收斂時(shí),級(jí)數(shù)（大收小收）(2)當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí),級(jí)數(shù)也發(fā)散。（小發(fā)大發(fā)）證設(shè)部分和分別是3則(1)當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),故級(jí)數(shù)收斂。(2)當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí),故級(jí)數(shù)發(fā)散。

注3

因級(jí)數(shù)增加或去掉有限項(xiàng)不影響它的斂散性。故定理中的不等式不一定從首項(xiàng)就開(kāi)始面滿足。注4

當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí),不一定有級(jí)數(shù)發(fā)散，而發(fā)散。收斂。4例6

判定級(jí)數(shù)的斂散性.收斂,則收斂;收斂,則收斂。5例7

判定p級(jí)數(shù)的斂散性。解(1)當(dāng)p≤1時(shí),因?yàn)榘l(fā)散,則發(fā)散。(2)當(dāng)

p≤1時(shí),設(shè)6收斂,則收斂。

重要結(jié)論:

p級(jí)數(shù)在當(dāng)p>1時(shí)收斂;當(dāng)p≤1時(shí)發(fā)散.7例8

判定級(jí)數(shù)的斂散性。發(fā)散,則發(fā)散。收斂,則收斂。8定理8

(比較判別法的極限形式)若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足:

(1)當(dāng)0<k<+∞時(shí),級(jí)數(shù)同斂散;(2)當(dāng)k=0且級(jí)數(shù)也收斂;收斂時(shí),級(jí)數(shù)(3)當(dāng)k=+∞且級(jí)數(shù)也發(fā)散.發(fā)散時(shí),級(jí)數(shù)證則對(duì)于同斂散;則級(jí)數(shù)9推論

若正項(xiàng)級(jí)數(shù)通項(xiàng)或等價(jià)無(wú)窮小量,則同斂散.注5

在使用比較判別法的極限形式時(shí),首先觀察級(jí)數(shù)如例8中的兩個(gè)級(jí)數(shù)

為同階是的多少階無(wú)窮小.的一般項(xiàng)是否趨向于0,若那么就看10注6

利用此推論,可將許多復(fù)雜級(jí)數(shù)再如級(jí)數(shù)

當(dāng)a=1時(shí)級(jí)數(shù)顯然收斂;

則級(jí)數(shù)發(fā)散.的斂散性問(wèn)題.的斂散性當(dāng)a>1時(shí),因問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)以與等價(jià)的變量更簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)為一般項(xiàng)的11例9

判定下列級(jí)數(shù)的斂散性收斂,則收斂.收斂,收斂.收斂,收斂.

則

則

則12例10

設(shè)級(jí)數(shù)收斂,且常數(shù)c>0,注7

使用比較判別法,需記住一些已知其收斂性的級(jí)數(shù),證收斂,從而收斂,收斂.而且建立不等式關(guān)系也較繁.下面取幾何級(jí)數(shù)為比較的標(biāo)準(zhǔn),可得出在實(shí)用上很方便的判別法.求證收斂.13定理9(達(dá)朗貝爾比值判別法)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足則(1)當(dāng)0≤l<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂;(2)當(dāng)

l>1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;(3)當(dāng)l=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散.證(1)當(dāng)

l<1時(shí),則對(duì)任意給定的ε且滿足14收斂,則收斂.從而在它前面增加N項(xiàng)的級(jí)數(shù)也收斂.(2)當(dāng)

l>1時(shí),

則對(duì)任意給定的ε>0且滿足則當(dāng)n>N時(shí),后項(xiàng)始終大于前項(xiàng)發(fā)散.(3)當(dāng)

l=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散.15但當(dāng)p>1時(shí),p級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)p≤1時(shí),p級(jí)數(shù)發(fā)散.例11

判定下列級(jí)數(shù)的斂散性.故原級(jí)數(shù)收斂.比如p級(jí)數(shù)無(wú)論p取何值,均有故原級(jí)數(shù)發(fā)散.16故原級(jí)數(shù)發(fā)散.故當(dāng)0<x<1時(shí),原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)x≥1時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散.定理10(柯西根值判別法)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足則(1)當(dāng)0≤l<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂;(2)當(dāng)

l>1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;(3)當(dāng)l=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散.17例12

判定級(jí)數(shù)故原級(jí)數(shù)收斂