人教版高中數(shù)學選修4-5練習：第四講4.1數(shù)學歸納法 Word版含解析

4.1A級基礎鞏固一、選擇題112311．設f()＝1＋＋＋…＋(n∈N)，則f(n＋1)－(n)等于3－1＋()111A.B.＋3＋23n31＋11111C.＋D.＋＋3＋13＋233＋13＋2n11解析：因為f(＝＋＋＋…＋231，3－111所以(＋＝＋＋＋…＋231111＋＋＋.－＋＋313n313211＋1＋所以(＋－f(n＝＋＋.3n3132答案：D2．在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(－3)條時，第12一步檢驗第一個值n等于()0．1B．2C．3D．0解析：邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形．答案：C3．在數(shù)列{a中，已知a＝，當≥2時，a＝a＋2－1.依次n1nn－1計算a，a，a后，猜想a的表達式是()234n．3－2B．2．3．4－3n1－解析：由條件知：a＝a＋×－＝2，221a＝a＋×3－＝，32a＝a＋×4－＝，猜想a＝n2.43n答案：B4．一個與自然數(shù)n有關的命題，當＝2時命題成立，且由＝k時命題成立推得當n＝＋2時命題也成立，則(．該命題對于＞2的自然數(shù)n都成立B．該命題對于所有的正偶數(shù)都成立．該命題何時成立與k取什么值無關．以上答案都不對)解析：由題意當＝2時成立可推得＝，，，…都成立，因此該命題對所有正偶數(shù)都成立．答案：B．對于數(shù)，規(guī)定第1次操作為2＋5＝133，第2次操作為1333＋3＋3＝55，如此反復操作，則第2011次操作后得到的數(shù)是()33．25B．250C．55．133解析：根據(jù)第1次，第2次操作規(guī)律，可知第3次操作為5＋33＝4次操作為2＋5＋0＝333變化，周期為32011＝×＋，故第2011次操作后得到的數(shù)是133.答案：D二、填空題＋＋2＋…＋2＝2－1(∈N”的過2n1－n*＝k＝＋1時應得到________．解析：因為＝k時，命題為“＋＋2＋＋2＝2－”，2k1－k所以＝＋1時為使用歸納假設，應寫成＋＋2＋…＋2＋2＝2－＋2，2k1－kkk又考慮到目的，最終應為2－1.k1＋答案：＋＋2＋…＋2＋2＝2－12k1－kk1＋7．觀察下列等式：1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋433233323333＝10，根據(jù)上述規(guī)律，猜想1＋2＋3＋4＋5＋6＝________．2333333解析：已知等式可寫為：1＋2＝3＝＋2)1＋2＋3＝6＝(133223332＋＋3)，1＋2＋3＋4＝10＝(1＋＋＋4)，根據(jù)上述規(guī)律，猜想23333221＋2＋3＋4＋5＋6＝＋＋＋6)＝21.33333322答案：212．用數(shù)學歸納法證明“∈N時，＋＋2＋2＋…＋2是31*235n1－的倍數(shù)”時，＝1時的原式是________，從k到k＋1時需添加的項是________．答案：＋＋2＋2＋2，2＋2＋2＋2＋2234k5k1＋k2＋k3＋5k4＋三、解答題．用數(shù)學歸納法證明：14191161n＋1－－－－(n≥2，n∈．N)…＝2nn2＋13證明：當＝2時，左邊＝－＝，44＋13×24右邊＝＝.所以等式成立．(2)假設當＝≥，∈N時，等式成立，＋14191161＋1－－－－…(2N)即＝k≥，∈．＋2kk2當＝＋1時，141911611－－－－－…＝k2（＋）2＋12k（＋）－1（＋）·（＋）＋2（＋）·＝＝＝（＋）12k·（＋）1222（＋）＋1（＋），所以當＝＋1時，等式成立．根據(jù)和知，對n≥，∈N時，等式成立．＋10．用數(shù)學歸納法證明n＋5n能被6整除．3證明：當＝1時，左邊＝1＋＝，能被6整除，結論正3確．(2)假設當＝k時，結論正確，即k＋k能被6整除．3則(＋1)＋5(＋＝k＋k＋＋＋5＋＝k＋＋3(k＋＋332322)＝k＋＋3(＋＋，3因為k＋k能被6整除，＋1)(＋2)必為偶數(shù)，k＋1)(＋2)3能被6整除，因此，k＋k＋3(＋1)(＋能被6整除．3即當＝＋1時結論正確．根據(jù)可知，n＋5n對于任何∈N都能被6整除．3＋B級能力提升1(＋1)(＋2)…(＋n＝2×1××…×n(2n－1)(∈N)時，從“n＝k到n＝k＋”左端需乘以的代數(shù)式為＋()．＋1B．2(2＋1)2＋32＋1C.D.＋1＋1當＝k(＋＋…＋k＝2×1××…×k(2－．當n＝k＋1時，左邊＝k＋1)＋1](k＋1)＋2]…k＋1)＋k]·(k＋1)＋＋1)]＝＋＋…(＋＋1)(2＋．比較n＝k和n＝k＋1時等式的左邊，可知左端需乘以（＋）（＋）＝＋．＋1答案：B．用數(shù)學歸納法證明3＋5(∈N)能被14整除，當＝kn1＋2n1＋＋＋1時，對于3解析：3＋5應變形為_______________．4(k1)12(k1)1＋＋＋＋＋5＝3＋5＝81·3＋25×5＝k1)1k1)1k5＋k3＋4k1＋2k1＋＋＋＋＋81×3＋×5－×5＝×(3＋5－×5k1＋2k1＋2k1＋k1＋2k1＋k1＋答案：81·(3＋5)－56·5k1＋k1＋k1＋11．已知正數(shù)數(shù)列{a}中，前n項和S＝＋.a2annnn(1)求a，a，a，a；1234(2)推測{a的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明．n解：(1)a＝1，a＝－，a＝3－，a＝－3.1234(2)a＝－－1n①a＝，a＝－，a＝3－2，a＝－3.1234②猜想a＝n－－1(n∈N．n＋(ⅰ當＝1時，a＝1－0＝，結論成立；1(ⅱ假設當＝≥，∈N成立，＋即a＝－－1.k111a＋則a＝S－S＝