江蘇省徐州市賈汪中學2020-2022學年高一下學期春季競賽數(shù)學試題2

2022年春季賈汪中學高一數(shù)學競賽試題（總分120分）一、單選題（每題5分，共40分）1.已知，則（）A.1 B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式和兩角和的余弦公式，可得，即可得到，再根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求出.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以.故選：D.2.若滿足條件的△ABC有兩個，那么a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理得出，由于滿足條件的△ABC有兩個，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，畫出圖象，即可得出a的取值范圍.【詳解】根據(jù)正弦定理可知，代入可求得因為滿足條件的△ABC有兩個，所以有兩個角即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，如下圖所示由圖可知，，所以故選：C【點睛】本題主要考查了根據(jù)三角形解的個數(shù)求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.3.當時,函數(shù)的最小值是A. B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】分子與分母同除以，得利用二次函數(shù)求最值即可解答【詳解】分子與分母同除以，得，時，的最大值為綜上，的最小值為4故選D【點睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，考查二次函數(shù)求最值，注意公式的合理運用，是基礎(chǔ)題4.若外接圓的半徑為1，圓心為，且,則等于A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：利用向量的運算法則將已知等式化簡得到，得到為直徑，所以為直角三角形，求出三邊的長求得的值，利用兩個向量的數(shù)量積的定義即可求得的值．詳解：因為，所以，所以，所以三點共線，且為直徑，如圖所示，所以，因為，所以，則，故選D．點睛：本題主要考查了向量在幾何問題中的應(yīng)用、數(shù)量積的計算，以及向量垂直的充要條件等知識的應(yīng)用，其中求出為直角三角形即三邊是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力．5.已知、為正實數(shù)，且，則的最小值是（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則可得，再利用乘“1”法及基本不等式計算可得．【詳解】解：、為正實數(shù)，且，，，．，當且僅當，即時取等號．的最小值是．故選：B．6.定義在上的函數(shù)滿足：，且函數(shù)為奇函數(shù)給出以下3個命題：函數(shù)的周期是6；

函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱其中，真命題的個數(shù)是A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】【詳解】由，知.所以，①正確；將的圖像向左平移個單位，即為的圖像，而的圖像關(guān)于原點對稱，所以，②正確；由②知，，則為偶函數(shù)，所以，③正確.7.設(shè)，若表示不超過的最大整數(shù)，則函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡分析的值域,再分析的值域即可.【詳解】,因為,故,故故,由表示不超過的最大整數(shù)知或0故選A【點睛】本題主要考查函數(shù)的值域求解以及取整函數(shù)的值域等.屬于基礎(chǔ)題型.8.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，再根據(jù)的單調(diào)區(qū)間，列出不等式組求解即可.【詳解】解：因為，，所以，又因為在上單調(diào)遞減，所以，,解得：，因為，故，而，故，故.故選：A二、填空題（每題6分，共30分）9.已知，則=_________【答案】【解析】【分析】由余弦的二倍角公式計算．【詳解】．故答案為：．10.設(shè)函數(shù)的定義域是，且，，則＝_______【答案】325【解析】【分析】利用可得，再利用等差數(shù)列求和公式，即可求出結(jié)果．【詳解】因為，所以，……故答案為：【點睛】本題主要考查求抽象函數(shù)的函數(shù)值，關(guān)鍵是利用已知將變形轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．11.如圖，線段把邊長為等邊分成面積相等的兩部分，在上，在上，則線段長度的最小值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由題意得出之間的關(guān)系，再由余弦定理及基本不等式即可得出的最小值.【詳解】設(shè)，由題意知，即所以，即；由余弦定理，即，解得.則線段長度的最小值為.故答案為：.12.內(nèi)接于以為圓心，為半徑的圓，且，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算法則，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】解：∵，∴；∴；由，∴，∴，∴；∴面積為．故答案為：13.已知集合，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】討論和兩種情況，當時，結(jié)合一元二次不等式知識列出不等式組，解得a的范圍，綜合可求得答案.【詳解】當時，即，該式不成立，此時，符合題意；當時，要使集合，需滿足，解得，綜合可得實數(shù)取值范圍為，故答案為：三、解答題（14、15、16題12分，17題14分，共50分）14.求的值.【答案】【解析】【分析】由正弦的二倍角公式及誘導(dǎo)公式化簡即可得到結(jié)果.【詳解】15.已知函數(shù)滿足：，，且對任意的，都成立，試求.【答案】【解析】【分析】首先令代入，再令代入，最后令再代入，聯(lián)立三個式子即可求得最后結(jié)果.【詳解】在已知條件中令可得令可得令可得解方程可得易檢驗滿足已知條件.16.的內(nèi)角的對邊分別為,已知．（1）求;（2）若為中點,,求的面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理,對進行化簡,再將代入,展開化簡,即可得,即可求;（2）根據(jù)為的中點,可得,兩邊同時平方,將長度代入進行化簡,再根據(jù)基本不等式即可得,再根據(jù)面積公式即可求出面積的最大值.【小問1詳解】解:由題知,在中,由正弦定理可得:,代入題中有:①,因為,所以,所以代入①中化簡可得:,因為,所以,故,即,因為,所以;【小問2詳解】由（1）知,因為為的中點,所以,兩邊同時平方可得:,即,即,當且僅當時取等,化簡可得:,因為,故面積最大值為.17.已知，，，將曲線的圖象向右平移得到函數(shù)的圖象.（1）若，，求的值；（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由平面向量數(shù)量積的坐標表示及三角恒等變換得，轉(zhuǎn)化條件得，再由的取值范圍即可得，再由兩角差的正切公式即可得解；（2）由三角函數(shù)的圖象變換得，轉(zhuǎn)化條件得對任意恒成立，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)令即可得解.【詳解】由題意，（1）由得，又，所以，所以，解得，則；（2）因為將的圖象向右平移