江西省南昌市高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題

2022屆江西省南昌市高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查集合的交集，易錯(cuò)點(diǎn)在于集合A元素是自然數(shù)，集合B的元素是實(shí)數(shù)．【詳解】∵，，∴．故選：．2．已知i為虛數(shù)單位，若，則（

）A．1+i B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出，然后利用復(fù)數(shù)的模長公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，故選：B.3．已知直線與直線垂直，則m=（

）A．-2 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線垂直，直接列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由知，斜率為2，所以直線與不垂直，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得.故選：C.4．已知公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則公比q=（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】直接應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式建立方程就可解出q.【詳解】由題知公比不為1且為正，由得，化簡(jiǎn)得，所以q=3.故選：A.5．已知圓錐內(nèi)部有一個(gè)半徑為的球與其側(cè)面和底面均相切，且圓錐的軸截面為等邊三角形，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則該圓錐的軸截面（等邊三角形）的邊長為，利用等面積法可得出關(guān)于的等式，解出的值，可得出該圓錐的母線長，利用圓錐的側(cè)面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則該圓錐的軸截面（等邊三角形）的邊長為，由等面積法可知圓錐的軸截面面積為，解得，則該圓錐的母線長為，因此，該圓錐的側(cè)面積為.故選：C.6．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可比較出大小.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：D7．若為奇函數(shù)，則（

）A．-8 B．-4 C．-2 D．0【答案】A【分析】利用分段函數(shù)的特點(diǎn)及奇函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又，可得.故選：A.8．已知，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用圖象解不等式，然后利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于不等式，作出曲線與的圖象如下圖所示：由圖象可知，不等式的解集為，因?yàn)?，因此，是的必要不充分條件，故選：B.9．如圖1，正方體中，點(diǎn)P在矩形內(nèi)（包含邊界），若三棱錐的左視圖如圖2所示，則此三棱錐的俯視圖不可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別取點(diǎn)點(diǎn)為，和線段的中點(diǎn)，結(jié)合三視圖的規(guī)則，即可求解.【詳解】如圖（1）所示，若點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)三棱錐的俯視圖為選項(xiàng)C；如圖（2）所示，若點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)三棱錐的俯視圖為選項(xiàng)B；如圖（3）所示，取和的中點(diǎn)和，連接，若點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)三棱錐的俯視圖為選項(xiàng)A；所以此三棱錐的俯視圖不可能是選項(xiàng)D.故選：D.10．已知函數(shù)在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則m的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，得到的零點(diǎn)，根據(jù)題意可得m的取值范圍，從而可得m的最大值.【詳解】，令，即，所以，即，令，得，令，得，令，得，令，得，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，所以，所以m的最大值為，故選：C.11．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與原函數(shù)極值點(diǎn)的關(guān)系即可判定圖像.【詳解】由題，導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)即原函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，只有B圖符合.故選：B.12．已知函數(shù)，若，且，則實(shí)數(shù)a的最大值為（

）A．2 B． C．ln2 D．e【答案】C【分析】先用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)，，得到，利用復(fù)合函數(shù)的值域求解.【詳解】解：，若，則不滿足，所以，令，得，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，因?yàn)?，所以，又，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，故?shí)數(shù)a的最大值為，故選：C二、填空題13．已知向量，，若，則___________.【答案】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由已知.故答案為：.14．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則___________.【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)公式得到方程組，求出、，即可得解；【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，所以，解得，所以；故答案為：15．從裝有個(gè)紅球和個(gè)藍(lán)球（除顏色外完全相同）的盒子中任取兩個(gè)球，則選到的兩個(gè)球顏色相同的概率為___________.【答案】【分析】列舉出任取兩個(gè)球所有可能的選法，并確定顏色相同的選法數(shù)，由古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】個(gè)紅球記為，個(gè)籃球記為，則任取兩個(gè)球有，，，，，，，，，，共種選法；其中顏色相同的有，，，，共種選法；選到的兩個(gè)球顏色相同的概率.故答案為：.16．已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【分析】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，求出，求出、的余弦值，由題意可知，可得出關(guān)于、的齊次等式，結(jié)合可解得的值.【詳解】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，則，因?yàn)?，則，則，因?yàn)?，則，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，，所以，，整理可得，即，因?yàn)?，解?故答案為：.三、解答題17．如圖，銳角中，，延長到，使得，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）在，直接利用正弦定理可求得的長；（2）設(shè)，則為銳角，可得出、的值，計(jì)算出的正弦值和余弦值，然后利用兩角和的正弦公式可求得的值.【詳解】(1)解：在中，由正弦定理知，所以，.(2)解：設(shè)，則為銳角，，所以，，所以，則，所以.18．如圖，四邊形、都是邊長為的正方形，，四邊形為矩形，平面平面，平面平面，點(diǎn)在線段上，且.(1)求四棱錐的體積；(2)求證：平面.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）過點(diǎn)在平面內(nèi)作垂直于的延長線于點(diǎn)，推導(dǎo)出平面，計(jì)算出的長，然后利用錐體的體積公式可求得結(jié)果；（2）證明出，推導(dǎo)出、、、四點(diǎn)共面，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.【詳解】(1)解：因?yàn)椋?，，平面，因?yàn)槠矫?，則平面平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作垂直于的延長線于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以，平面，因?yàn)樗倪呅?、都是邊長為的正方形，則，，利用等角定理結(jié)合圖形可知，故，所以，，所以.(2)證明：因?yàn)?，，，所以，所以，因?yàn)闉榫匦?，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，，所以，、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，平面，因此，平?19．國際上常用體重指數(shù)作為判斷胖瘦指標(biāo)，體重指數(shù)是體重（單位：千克）與身高（單位：米）的平方的比值.高中學(xué)生由于學(xué)業(yè)壓力，缺少體育鍛煉等原因，導(dǎo)致體重指數(shù)偏高.某市教育局為督促各學(xué)校保證學(xué)生體育鍛煉時(shí)間，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)壓力，準(zhǔn)備對(duì)各校學(xué)生體重指數(shù)進(jìn)行抽查，并制定了體重指數(shù)檔次及所對(duì)應(yīng)得分如下表：檔次低體重正常超重肥胖體重指數(shù)（單位：）學(xué)生得分抽查了某校高三名學(xué)生的體重指數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下表：(1)請(qǐng)你計(jì)算該校這次檢查中學(xué)生平均得分，估算該校高三學(xué)生的肥胖率；(2)從這名學(xué)生中選取了名男同學(xué)，測(cè)量了他們的肺活量，得到如下數(shù)據(jù)表：序號(hào)體重指數(shù)（單位：）肺活量（單位：）求關(guān)于的線性回歸方程.參考數(shù)據(jù)：，，，.參考公式：回歸直線方程是，其中，.【答案】(1)平均得分為；肥胖率為(2)【分析】（1）由表格數(shù)據(jù)可確定低體重、正常、超重和肥胖的人數(shù)，由平均數(shù)的計(jì)算方法可求得平均得分；根據(jù)肥胖人數(shù)可得肥胖率；（2）根據(jù)參考數(shù)據(jù)，利用最小二乘法即可求得回歸方程.【詳解】(1)由表格數(shù)據(jù)知：低體重的有人，正常的有人，超重的有人，肥胖的有人；學(xué)生的平均得分為：；學(xué)生肥胖率為.(2)由參考數(shù)據(jù)知：，，，，關(guān)于的線性回歸方程為：.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，證明：方程有且僅有一個(gè)正根.【答案】(1)增區(qū)間為，無減區(qū)間；(2)證明見解析【分析】（1）時(shí)，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可得出單調(diào)區(qū)間；（2）先證明出一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)，，再證時(shí)函數(shù)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可說明.【詳解】(1)因?yàn)椋?，則，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；(2)因?yàn)椋?，設(shè)，，所以，當(dāng)時(shí)，，則在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則在為增函數(shù)；因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，；且當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有且僅有一個(gè)正根.21．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)H是直線上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)H為圓心且過原點(diǎn)的圓與直線l交于M，NH在橢圓E上時(shí)，圓H的半徑為.(1)求橢圓E的方程；(2)若直線AM，AN與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P，Q，記直線PQ，OH的斜率分別為，，判斷是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由.【答案】(1)；(2)是定值，定值為.【分析】（1）求出，即得解；（2）設(shè)，，根據(jù)，所以，再把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，得到P，Q的坐標(biāo)，求出，即得解.【詳解】(1)解：由題意知a=2，因?yàn)?，所以，所以，所以，即橢圓方程為.(2)解：，，可得，，，因?yàn)椋?，由，整理可得：，所以，則，，同理可得：，，所以，因?yàn)椋?22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且，求a.【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再根據(jù)化為極坐標(biāo)方程，根據(jù)公式將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)圓心角的性質(zhì)得到，即可得到圓心到直線的距離為，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到方程，解得，再檢驗(yàn)即可；【詳解】(1)解：因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）所以，所以曲線C的普通方程為，即，又，所以，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為.因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為，所以