河南省商丘一中（商丘市）高三第三次模擬考試數學（文）試題

2022屆河南省商丘一中（商丘市）高三第三次模擬考試數學（文）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用集合的并集運算即得.【詳解】因為，，所以．故選:D．2．已知，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】化簡復數，然后根據復數模的計算公式即可【詳解】，所以．故選：B3．已知且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】利用指數函數的單調性即可判斷【詳解】由“”可知，函數在上單調遞增，所以，充分性成立；因為，所以當時，則；當時，則，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A4．已知，則（

）A．3 B． C． D．-3【答案】C【分析】利用二倍角公式化簡即可【詳解】．故選：C5．函數的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函數的奇偶性和特殊點即得.【詳解】易知的定義域為，因為，所以為奇函數，排除答案B，D；又，排除選項C．故選:A．6．2021年10月26日國務院印發(fā)《2030年前碳達峰行動方案》，要求我國二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值．低碳生活已經深入民心，新能源汽車備受歡迎，下表是某地區(qū)近5個月新能源汽車的銷售量與月份統(tǒng)計表：月份代號12345銷售量（萬輛）若根據表中數據求得的與的線性回歸方程為，則利用此回歸方程預測第6個月新能源汽車的銷售量為（

【答案】B【分析】分別求得，根據樣本中心點在回歸方程上計算可得，再代入計算即可【詳解】，，因為直線過點，所以，解得，所以，將代入，得（萬輛）．故選：B．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（

）A．146 B．156 C．169 D．176【答案】C【分析】依據循環(huán)結構逐次去求解即可求得輸出的值【詳解】根據程序框圖，，，執(zhí)行第1次循環(huán)：，；，執(zhí)行第2次循環(huán)：，；，執(zhí)行第3次循環(huán)：，；，結束循環(huán)，輸出．故選：C．8．如圖，在正六邊形中，若，為的中點，則（

）A．7 B．5 C．3 D．1【答案】B【分析】由，再延長AB，DC交于點H，得到各所求向量間的夾角再求解即可【詳解】如圖，延長AB，DC交于點H，則，，所以．故選：B．9．已知曲線的一條切線在軸上的截距為2，則這條切線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設出切點坐標，根據導數的幾何意義寫出切線方程，將點代入求出的值，進而得切線方程.【詳解】函數的定義域為，設切點坐標為，因為，則切線斜率為，所以切線方程為，將點代入切線方程并整理得，解得，或（舍去），所以這條切線的方程為，即．故選：D．10．在正四面體中，為的中點，則直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設正四面體的棱長為，取的中點，連接、，分析可知或其補角為直線與直線所成的角，計算出三邊邊長，利用余弦定理可求得結果.【詳解】如圖，設正四面體的棱長為，取的中點，連接、，因為、分別為、的中點，則且，所以或其補角為直線與直線所成的角，因為為等邊三角形，為的中點，則，且，同理可得，所以．故選：A．11．已知雙曲線：經過點，且的實軸長大于，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將點點代入雙曲線方程得到關于的一個方程，然后再根據實軸長大于列出關于的不等式即可得出答案【詳解】由題意可知，，所以，又，所以，所以，解得故選：D12．已知函數，若，在內有最小值，沒有最大值，則的最大值為（

）A．19 B．13 C．10 D．7【答案】B【分析】由解得，再根據函數圖像以及周期性即得.【詳解】由，得，，解得，，由在內有最小值，無最大值，可得，解得，所以的最大值為13.故選:B．二、填空題13．已知，滿足，則的最大值為__________．【答案】【分析】依據線性規(guī)劃，應用數形結合求的最大值【詳解】作出滿足條件的可行域如圖陰影部分所示，由，可得作出直線并平移，當平移后的直線經過點時．取得最大值，且．故答案為：14．寫出一個同時滿足以下條件的拋物線的方程為___________．①的頂點在坐標原點；②的對稱軸為坐標軸；③的焦點到其準線的距離為【答案】（答案不唯一）【分析】待定系數法去求拋物線的方程【詳解】由①②可知的方程為拋物線的標準方程，由③可知，，所以拋物線的方程可以為．故答案為：(答案不唯一)15．已知的內角A，B，的對邊分別為a，b，c，，，則______________．【答案】【分析】利用正余弦定理即得.【詳解】由及正弦定理得，由，得，由，得，解得，又，所以，則，由余弦定理，得，整理得，解得或（舍去），故．故答案為：16．已知體積為的圓錐的側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的外接球的表面積為___________．【答案】【分析】先求得圓錐的外接球的半徑，再去求該圓錐的外接球的表面積【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，由題意得，所以，則圓錐的高為，由，解得，則，，設圓錐的外接球的半徑為，由球的性質可知，，即，解得，所以該圓錐的外接球的表面積為．故答案為：三、解答題17．設為等差數列的前項和，已知，，既成等差數列，又成等比數列．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過題目所給條件列出關于的兩個方程，解出，即可寫出數列的通項公式（2）先寫出數列的通項公式，再根據通項公式的特征進行裂項相消求和【詳解】(1)設等差數列的公差為，因為，，既成等差數列，又成等比數列，所以，，均相等且不為0，所以即解之得，，滿足條件．故．(2)由（1）得，，所以．故18．大力開展體育運動，增強學生體質，是學校教育的重要目標之一．某校組織全校學生進行了立定跳遠訓練，為了解訓練的效果，從該校男生中隨機抽出100人進行立定跳遠達標測試，成績（單位：米）均在內，整理數據得到如下頻率分布直方圖．學校規(guī)定男生立定跳遠2.05米及以上為達標，否則不達標．(1)若男生立定跳遠的達標率低于60%，該校男生還需加強立定跳遠訓練．請你通過計算，判斷該校男生是否還需加強立定跳遠訓練；(2)從該校隨機抽取的100名立定跳遠成績在和內的男生中，用分層抽樣的方法抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，求這2人來自不同區(qū)間的概率．【答案】(1)該校男生還需加強立定跳遠訓練．(2)【分析】（1）根據頻率分布直方圖求出男生立定跳遠的達標率，即可判斷；（2）依題意抽取的7人應從立定跳遠成績在內的男生中抽取4人，分別記為，，，，成績在內的男生中抽取3人，分別記為，，．用列舉法列出所有可能結果，再找出符合題意的基本事件，最后根據古典概型的概率公式計算可得；【詳解】(1)解：由頻率分布直方圖可知，男生立定跳遠的達標率為因為，所以該校男生還需加強立定跳遠訓練．(2)解：由題意可知，抽取的7人應從立定跳遠成績在內的男生中抽取人，分別記為，，，，成績在內的男生中抽取人，分別記為，，．從這7人中隨機抽取2人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21個；其中這2人來自不同區(qū)間的有：，，，，，，，，，，，共12個；故這2人來自不同區(qū)間的概率為．19．如圖，三棱柱的底面為等邊三角形，側面為菱形，，，．(1)證明：為直角三角形；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取BC的中點D，連結AD，，即可得到、，從而得到平面，即可得到，再根據棱柱的性質得到，即可得證；（2）利用勾股定理逆定理得到，再由，即可得到平面，首先求出，設點到平面的距離為，利用等體積法求出點到面的距離；【詳解】(1)證明：取BC的中點D，連結AD，．因為為等邊三角形，所以．因為側面為菱形，，所以為等邊三角形，所以，因為，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以，故為直角三角形．(2)解：由（1）及，可知，，則．在中，，同理，又，所以，所以．法1：又，，平面，所以平面．所以，則．設點到平面的距離為，又，則，所以，故點到平面的距離為．法2：又，，平面，所以平面．即平面．設點到平面的距離為，因為，且，，．所以，所以，故點到平面的距離為．20．在平面直角坐標系中，已知，，是一個動點，C，D分別為線段AM，BM的中點，且直線OC，OD的斜率之積是，記M的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)若過點且不與x軸重合的直線與E交于P，Q兩點，點P關于x軸的對稱點為（與不重合），求證：直線過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可知，再根據直線OC，OD的斜率之積是列出關于的另外一個方程，解出即可（2）法1：先設出直線的方程，聯立與橢圓的方程，利用韋達定理得到，然后寫出直線的方程，代入化簡即可得到答案法2：寫出直線的方程，令，然后再根據P、F、Q三點共線列出另外一個方程，化簡即可【詳解】(1)由題意可知，直線OC，OD的斜率存在，且，．所以直線BM，AM的斜率之積也等于，設，則直線的斜率為，直線的斜率為，所以，整理得，故的方程為(2)證法1：由題意知，過點F的直線PQ的斜率存在且不為0，可設其方程為，由整理得．則，設，，則，，．直線方程為，令，則，故直線恒過定點．證法2：設，，則，因為直線的方程為，令，則．①因為P、F、Q三點共線，所以，整理得．②由①②，得，因此．所以直線恒過定點．21．已知函數．(1)討論的單調性；(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)【分析】（1）利用的導數去討論的單調性；（2）構造新函數轉化成新函數最大值不大于0去求的取值范圍．【詳解】(1)，若，則當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．若時，，所以在上單調增；若，則當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．(2)當時，恒成立等價于當時，恒成立，即當時，恒成立．設，，則．設，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，若時，，所以在上單調遞減，則，解得．若時，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則時，，不合題意，故實數的取值范圍為．22．在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(2)若直線與軸、軸的交點分別為，兩點，為曲線上的任意一點，求的面積的最小值．【答案】(1)直線的普通方程；曲線的直角坐標方程為．(2).【分析】（1）直接消去參數得普通方程，利用互化公式得到曲線的直角坐標方程；（2）由題可設，利用點到直線的距離公式求解可得.【詳解】(1)由直線的參數方程為消去參數，得直線的普通方程；由得，則，所以曲線的直角坐標方程為．(2)由（1）可知，，設，則點到直線的距離為，其中，當時，，又，所以的面積的最小值為．23．已知函數，不