河南省平頂山市許昌市汝州市九校聯(lián)盟高三下學期押題信息卷（二）數(shù)學（文）試題

2022屆河南省平頂山市、許昌市、汝州市九校聯(lián)盟高三下學期押題信息卷（二）數(shù)學（文）試題一、單選題1．設全集，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先用列舉法表示全集，再根據(jù)補集、交集的定義計算可得；【詳解】解：，由，可得，所以．故選：B．2．復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．103【答案】C【分析】先求出復數(shù)，再求其模即可【詳解】由，得，所以．故選：C．3．設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】由，得，解得．由可得．由推不出，由能推出，故“”是“”的必要而不充分條件，即“”是“”的必要不充分條件．故選：B．4．若函數(shù)則（

）A．10 B．9 C．12 D．11．【答案】A【分析】當時，利用迭代式即可求出，又由即可求解.【詳解】當時，，所以．故選：A.5．已知，是兩條直線，，，是三個平面，則下列說法錯誤的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【分析】由直線、平面的位置關系判斷即可.【詳解】A選項，面面平行具有傳遞性，故A選項正確；B選項，若，，則可能包含于，故B選項錯誤；C選項，若，，則，故C選項正確；D選項，根據(jù)面面垂直的判定定理可知D選項正確．故選：B．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)循環(huán)結構，計算每次循環(huán)的過程，結果，直至退出循環(huán)，即可計算結果.【詳解】由程序框圖知，，；，；，；，；，，此時不滿足條件，跳出循環(huán)，輸出的值為．故選：D．7．設，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，，即可得到答案.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以.函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以．故選：C8．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個解析式（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】逆向：的圖像的圖像【詳解】將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的4倍，縱坐標不變，得到，再將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到．故選：D9．2019年版第五套人民幣1元硬幣保持1999年版第五套人民幣1元硬幣外形、外緣特征、“中國人民銀行”行名、漢語拼音面額、人民幣單位、花卉圖案、漢語拼音行名等要素不變，調(diào)整了正面面額數(shù)字的造型，背面花卉圖案適當收縮，直徑由25毫米調(diào)整為22.25毫米，正面面額數(shù)字“1”輪廓線內(nèi)增加隱形圖文“￥”和“1”，邊部增加圓點，材質保持不變．為了測算如圖所示的直徑為22.25毫米的圓形幣中花卉圖案的面積，進行如下實驗，即向該圓形幣內(nèi)隨機投擲100個點，若恰有33個點落在花卉圖案上，則據(jù)此可估算花卉圖案的面積是（

）（單位：平方毫米）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知可得圓的面積以及花卉圖案的占比，再利用面積型的幾何概型的計算公式可估算卉圖案的面積.【詳解】設花卉圖案的面積為，則由題意可得，解得．故選A．10．設，，在平面直角坐標系內(nèi)，點為角終邊上任意一點，則的一個對稱中心為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)變換，求，再設，利用三角函數(shù)的對稱性，即可求解.【詳解】根據(jù)已知得到，，所以，又因為，所以，所以點．不妨取，所以，令，，，，所以對稱中心為，，當時，函數(shù)的一個對稱中心是故選：A11．已知拋物線的焦點為F，過點F且斜率為的直線l交C于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓交y軸于M，N兩點，設線段AB的中點為D，若點F到C的準線的距離為4，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意得到拋物線C的方程為，聯(lián)立方程組消去y得，根據(jù)韋達定理以及弦長公式得到：，，因為.進而得到余弦值.【詳解】因為點F到C的準線的距離為4，所以，則拋物線C的方程為.設，，聯(lián)立方程組消去y得，所以，，從而.設以線段AB為直徑的圓的半徑為r，則，又，所以，從而.故選：D.12．已知a為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意，函數(shù)有兩個極值點，等價于有兩個解，即與有兩個交點，結合圖象，得，得，構造函數(shù)，利用單調(diào)性得．【詳解】解：求導得：，由函數(shù)有兩個極值點，等價于有兩個解，即與有兩個交點，得在點處的切線為．當時，直線與曲線交于不同兩點如下圖，且，．，令，則，所以單調(diào)遞增，，即．故選：C．二、填空題13．已知向量，，若，則實數(shù)_____________．【答案】【分析】利用平面向量共線的坐標表示可求得實數(shù)的值.【詳解】因為，所以，解得．故答案為：.14．已知雙曲線的兩條漸近線所夾銳角為，則雙曲線的離心率為_____________．【答案】【分析】根據(jù)漸近線方程的斜率得到漸近線與軸夾角小于，由，得，從而求出離心率【詳解】由于，雙曲線的漸近線方程為，，所以雙曲線的漸近線與軸夾角小于，由，得，則雙曲線的離心率．故答案為：15．在中，，，分別是角，，的對邊若，，，則外接圓的半徑為_____________．【答案】【分析】利用正弦定理角化邊求出，再根據(jù)余弦定理求出，進而求出外接圓半徑.【詳解】由正弦定理得，，，由余弦定理得，解得．又，所以外接圓半徑．故答案為：.16．現(xiàn)為一球形水果糖設計外包裝，要求外包裝是全封閉的圓錐形，若該水果糖的半徑為1cm，則所需外包裝材料面積的最小值是_____．【答案】【分析】求解本題的關鍵點有三個：①根據(jù)題意得到圓錐的母線長與底面半徑的關系；②利用換元法化簡面積的表達式；③利用基本不等式求最小值．【詳解】要使所需外包裝材料的面積最小，則水果糖與圓錐形外包裝內(nèi)切．如圖為圓錐與水果糖的軸截面示意圖，設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則，得，∴外包裝材料面積，設，則，，當且僅當，即時取等號．故答案為：8π三、解答題17．某高校從大三學生中隨機抽取100名小語種學生，將其參加考試的小語種成績（均為整數(shù)）分成六組后，得到如圖頻率分布直方圖，已知．(1)求，的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本中100名大三小語種學生的小語種成績的眾數(shù)、中位數(shù)（結果保留到0.1）．【答案】(1)【分析】（1）由各組的頻率和為1列方程，結合可求出，的值；（2）由頻率分布直方圖可知第4組的數(shù)最多，從而可求出眾數(shù)，由于交3組的頻率和小于，前4組的頻率和大于，所以可知中位數(shù)在第4組，設中位數(shù)為分，則有，從而可求出中位數(shù)【詳解】(1)由題意，解得(2)由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為75分．由（1）知，因為前3組的頻率和為，前4組的頻率和為，所以中位數(shù)在內(nèi)，設中位數(shù)為分，則有，解得所以樣本中100名大三小語種學生的小語種成績的眾數(shù)為75分，中位數(shù)為73.3分．18．如圖，四棱柱的底面是矩形，平面，，，E，M，N分別是的中點．(1)證明：平面；(2)求點C到平面的距離．【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，構造平行四邊形證明線線平行，進而證明線面平行；（2）等體積法求解點面距離.【詳解】(1)連接，，因為E，M分別是的中點，所以是△的中位線，所以∥，且，四棱柱中∥CD，且，所以四邊形是平行四邊形，所以∥，＝，又因為N是的中點，所以所以，且∥，所以四邊形是平行四邊形，所以∥DE，又平面，平面，所以平面(2)因為，，E是BC的中點，所以，因為四邊形ABCD是矩形，所以，因為平面，所以，且因為平面，所以CD，CE，由勾股定理得：，且，取DE中點Q，連接，由三線合一得：，由勾股定理得：，所以，設點C到平面的距離為，則，解得：19．已知等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由求和公式結合通項公式列出方程組，求解得出數(shù)列的通項公式；（2）由結合求和公式得出對恒成立，再由的單調(diào)性得出的取值范圍.【詳解】(1)設等差數(shù)列的公差為．由得解得故．(2)因為，所以即對恒成立．設，，則，當時，；當時，；當且時，，所以．綜上，的取值范圍為．20．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓相交于，兩點（異于橢圓長軸頂點），的周長為．(1)求橢圓的標準方程；(2)求（為坐標原點）面積的最大值，并求此時直線的方程．【答案】(1)；(2)面積最大值，直線的方程是或.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結合橢圓的定義求解作答.（2）設出直線l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，結合韋達定理求出面積的函數(shù)關系，借助均值不等式求解作答.【詳解】(1)依題意，橢圓半焦距，因的周長為，由橢圓定義有，解得，而，所以橢圓的標準方程是.(2)顯然直線不垂直于坐標軸，設直線的方程為，由消去并整理得：，而，即，設，，則，，則，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以當時，面積取最大值，此時直線的方程是或．【點睛】結論點睛：過定點的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點，，則面積；過定點直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點，，則面積.21．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，且在區(qū)間上有且只有一個極值點，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）求出導函數(shù)，分類討論判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.（2）求出，令，則，要使在區(qū)間上有且只有一個極值點，即在上有且只有一個零點，且在該零點兩側異號，分類討論即可求出的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為，，當時，令，得；令，得或，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，令，得或；令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)，其定義域為，，令，則，當時，在恒成立，故在上是增函數(shù)，而，故當時，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時在區(qū)間上沒有極值點；當時，令，解得，故在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，①當，即時，在上有且只有一個零點，且在該零點兩側異號，②令，得，不可能；③令，得，所以．而，又，所以在上有且只有一個零點，且在該零點兩側異號．綜上所述，的取值范圍是．【點睛】結論點睛：可導函數(shù)y＝f(x)在點處取得極值的充要條件是，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同．22．在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(2)若為曲線上的動點，求點到直線的距離的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）對于直線方程，消參即可，對于極坐標方程代入公式整理即可；（2）點到直線的距離的最大值為圓心到直線的距離加上半徑.【詳解】(1)由得，故直線的普通方程是．由，代入公式得，故曲線的直角坐標方程是．(2)方法一：的直角坐標方程為，曲線：化為標準方程是，圓心到直線的距離為，則點到直線的距離的最