2023年高考天津理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔天津卷〕數(shù)學(xué)〔理科〕參考公式：如果事件，互斥，那么；如果事件，相互獨(dú)立，那么；柱體的體積公式，其中表示柱體的底面面積，表示柱體的高；錐體體積公式，其中表示錐體的底面面積，表示錐體的高．第一卷〔共40分〕一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．〔1〕【2023年天津，理1，5分】集合，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】把分別代入得：，即，∵，∴，應(yīng)選D．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查集合的運(yùn)算，容易出錯(cuò)的地方是審錯(cuò)題意，誤求并集，屬于基此題，難點(diǎn)系數(shù)較?。灰⒁馀囵B(yǎng)良好的答題習(xí)慣，防止出現(xiàn)粗心錯(cuò)誤，二是明確集合交集的考查立足于元素互異性，做到不重不漏．〔2〕【2023年天津，理2，5分】設(shè)變量，滿足約束條件，那么目標(biāo)函數(shù)的最小值為〔〕〔A〕〔B〕6〔C〕10〔D〕17【答案】B【解析】作出不等式組表示的可行域，如右圖中三角形的區(qū)域，作出直線，圖中的虛線，平移直線，可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值6，應(yīng)選B．【點(diǎn)評(píng)】線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍．〔3〕【2023年天津，理3，5分】在中，假設(shè)，，，那么〔〕〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕4【答案】A【解析】在中，假設(shè)，，，，得：，解得或〔舍去〕，應(yīng)選A．【點(diǎn)評(píng)】〔1〕正、余弦定理可以處理四大類解三角形問(wèn)題，其中兩邊及其一邊的對(duì)角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．〔2〕利用正、余弦定理解三角形其關(guān)鍵是運(yùn)用兩個(gè)定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，從而到達(dá)知三求三的目的．〔4〕【2023年天津，理4，5分】閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，那么輸出的值為〔〕 〔A〕2〔B〕4〔C〕6〔D〕8【答案】B【解析】第一次判斷后：不滿足條件，，，；第二次判斷不滿足條件；第三次判斷滿足條件：，此時(shí)計(jì)算，，第四次判斷不滿足條件，第五次判斷不滿足條件，．，第六次判斷滿足條件，故輸出，應(yīng)選B．【點(diǎn)評(píng)】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查．先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是求和還是求項(xiàng)．〔5〕【2023年天津，理5，5分】設(shè)是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為那么“〞是“對(duì)任意的正整數(shù)，〞的〔〕 〔A〕充要條件〔B〕充分而不必要條件〔C〕必要而不充分條件〔D〕既不充分也不必要條件【答案】C【解析】是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，假設(shè)“〞是“對(duì)任意的正整數(shù)，〞不一定成立，例如：當(dāng)首項(xiàng)為2，時(shí)，各項(xiàng)為2，，，，…，此時(shí)，；而“對(duì)任意的正整數(shù)，〞，前提是“〞，那么“〞是“對(duì)任意的正整數(shù)，〞的必要而不充分條件，應(yīng)選C．【點(diǎn)評(píng)】充分、必要條件的三種判斷方法．〔1〕定義法：直接判斷“假設(shè)p那么q〞、“假設(shè)q那么p〞的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“p?q〞為真，那么p是q的充分條件．〔2〕等價(jià)法：利用p?q與非q?非p，q?p與非p?非q，p?q與非q?非p的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否認(rèn)式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．〔3〕集合法：假設(shè)A?B，那么A是B的充分條件或B是A的必要條件；假設(shè)A＝B，那么A是B的充要條件．〔6〕【2023年天津，理6，5分】雙曲線，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于，，，四點(diǎn)，四邊形的面積為，那么雙曲線的方程為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓的方程為，雙曲線兩條漸近線方程為，設(shè)，那么∵四邊形的面積為，∴，∴，將代入，可得，∴，∴雙曲線的方程為，應(yīng)選D．【點(diǎn)評(píng)】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)注點(diǎn)：〔1〕確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也需要一個(gè)“定位〞條件，兩個(gè)“定量〞條件，“定位〞是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，“定量〞是指確定，的值，常用待定系數(shù)法．〔2〕利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)應(yīng)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问?，以防止討論．①假設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)不能確定時(shí)，可設(shè)其方程為．②假設(shè)漸近線方程為，那么雙曲線方程可設(shè)為．〔7〕【2023年天津，理7，5分】是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，那么的值為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】由、分別是邊、的中點(diǎn)，，，，應(yīng)選B．【點(diǎn)評(píng)】研究向量數(shù)量積，一般有兩個(gè)思路，一是建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)研究向量數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實(shí)質(zhì)相同，坐標(biāo)法更易理解和化簡(jiǎn)．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語(yǔ)言——“坐標(biāo)語(yǔ)言〞，實(shí)質(zhì)是“形〞化為“數(shù)〞．向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)．〔8〕【2023年天津，理8，5分】函數(shù)〔，且〕在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于的方程恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，那么的取值范圍是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C【解析】在遞減，那么，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，那么；解得，；由圖象可知，在上，有且僅有一個(gè)解，故在上，同樣有且僅有一個(gè)解，當(dāng)即時(shí)，聯(lián)立，那么，解得或1〔舍去〕，當(dāng)時(shí)，由圖象可知，符合條件，綜上：的取值范圍為，應(yīng)選C．【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：〔1〕直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍〔2〕別離參數(shù)法：先將參數(shù)別離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；〔3〕數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．第II卷〔共110分〕二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分．〔9〕【2023年天津，理9，5分】，，是虛數(shù)單位，假設(shè)，那么的值為．【答案】2【解析】∵，，∴，解得：，∴．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的根本運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基此題．首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)根本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、共軛為．〔10〕【2023年天津，理10，5分】的展開式中的系數(shù)為．〔用數(shù)字作答〕【答案】【解析】，令，解得．∴的展開式中的系數(shù)為．【點(diǎn)評(píng)】〔1〕求特定項(xiàng)系數(shù)問(wèn)題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件〔特定項(xiàng)〕和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)〔求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中和的隱含條件，即，均為非負(fù)整數(shù)，且〕；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．〔2〕有理項(xiàng)是字母指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)．解此類問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解．〔11〕【2023年天津，理11，5分】一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如下圖〔單位：m〕，那么該四棱錐的體積為．【答案】2【解析】由中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐，棱錐的底面是底為2，高為1的平行四邊形，故底面面積，棱錐的高，．【點(diǎn)評(píng)】〔1〕解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖．〔2〕三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長(zhǎng)、俯側(cè)一樣寬〞，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)．〔12〕【2023年天津，理12，5分】如圖，是圓的直徑，弦與相交于點(diǎn)，，，那么線段的長(zhǎng)為．【答案】【解析】過(guò)作于，∵，，∴，，，∴，那么，在中，那么，由相交弦定理得：，∴．【點(diǎn)評(píng)】1、解決與圓有關(guān)的成比例線段問(wèn)題的兩種思路：〔1〕直接應(yīng)用相交弦、切割線定理及其推論；〔2〕當(dāng)比例式(等積式)中的線段分別在兩個(gè)三角形中時(shí)，可轉(zhuǎn)化為證明三角形相似，一般思路為“相似三角形→比例式→等積式〞．在證明中有時(shí)還要借助中間比來(lái)代換，解題時(shí)應(yīng)靈巧把握．2、應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等．〔13〕【2023年天津，理13，5分】是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增．假設(shè)實(shí)數(shù)滿足，那么的取值范圍是．【答案】【解析】∵是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么，等價(jià)為，即，那么，即．【點(diǎn)評(píng)】不等式中的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，在解題時(shí)既要想形又要以形助數(shù)，常見的“以形助數(shù)〞的方法有：〔1〕借助數(shù)軸，運(yùn)用數(shù)軸的有關(guān)概念，解決與絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題，解決數(shù)集的交、并、補(bǔ)運(yùn)算非常有效．〔2〕借助函數(shù)圖象性質(zhì)，利用函數(shù)圖象分析問(wèn)題和解決問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合的根本方法，需注意的問(wèn)題是準(zhǔn)確把握代數(shù)式的幾何意義實(shí)現(xiàn)“數(shù)〞向“形〞的轉(zhuǎn)化．〔14〕【2023年天津，理14，5分】設(shè)拋物線〔為參數(shù)，〕的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為．過(guò)拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為．設(shè)，與相交于點(diǎn)．假設(shè)，且的面積為，那么的值為．【答案】【解析】拋物線〔為參數(shù)，〕的普通方程為：焦點(diǎn)為，如圖：過(guò)拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)，與相交于點(diǎn)．，，，，的面積為，，可得．即：，解得．【點(diǎn)評(píng)】〔1〕凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．〔2〕假設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，由定義易得；假設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為，，那么弦長(zhǎng)為，可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；假設(shè)遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，那么焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到．三、解答題：本大題共6題，共80分．解容許寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．〔15〕【2023年天津，理15，13分】函數(shù)．QUOTE〔1〕求的定義域與最小正周期；〔2〕討論在區(qū)間上的單調(diào)性．解：〔1〕的定義域?yàn)椋裕淖钚≌芷冢?〕令，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是由，得設(shè)，易知．所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用角表示所求角，即注重角的變換．角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓?，是解決三角問(wèn)題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對(duì)開方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證．對(duì)于三角函數(shù)來(lái)說(shuō)，常常是先化為的形式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．三角恒等變換要堅(jiān)持結(jié)構(gòu)同化原那么，即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等，其中切化弦也是同化思想的表達(dá)；降次是一種三角變換的常用技巧，要靈巧運(yùn)用降次公式．〔16〕【2023年天津，理16，13分】某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)．參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4．現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)．〔1〕設(shè)為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4〞，求事件發(fā)生的概率；〔2〕設(shè)為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：〔1〕由，有所以，事件發(fā)生的概率為．〔2〕隨機(jī)變量的所有可能取值為，，．所以，隨機(jī)變量分布列為：012隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．【點(diǎn)評(píng)】求均值、方差的方法〔1〕隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；〔2〕隨機(jī)變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解；〔3〕如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解．〔17〕【2023年天津，理17，13分】如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．〔1〕求證：平面；〔2〕求二面角的正弦值；〔3〕設(shè)為線段上的點(diǎn)，且，求直線和平面所成角的正弦值．解：依題意，，如圖，以為點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，．〔1〕．設(shè)為平面的法向量，那么，即．不妨設(shè)，可得，又，可得，又因?yàn)橹本€，所以．〔2〕易證，為平面的一個(gè)法向量．依題意，．設(shè)為平面的法向量，那么，即．不妨設(shè)，可得．因此有，于是，所以，二面角的正弦值為．〔3〕由，得．因?yàn)?，所以，進(jìn)而有，從而，因此．直線和平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】1、利用數(shù)量積解決問(wèn)題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算．2、利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度問(wèn)題．〔1〕，，；〔2〕；〔3〕．〔18〕【2023年天津，理18，13分】是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為．對(duì)任意的，是和的等比中項(xiàng)．〔1〕設(shè)，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；〔2〕設(shè)，，，求證．解：〔1〕由題意得，有，因此，所以是等差數(shù)列．〔2〕所以．【點(diǎn)評(píng)】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型〔1〕假設(shè)，且，為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求的前項(xiàng)和．〔2〕通項(xiàng)公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列，是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．〔19〕【2023年天津，理19，14分】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為．，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率．〔1〕求橢圓的方程；〔2〕設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)〔不在軸上〕，垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．假設(shè)，且，求直線的斜率的取值范圍．解：〔1〕設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為．〔2〕設(shè)直線的斜率為，那么直線的方程為．設(shè)，由方程組，消去，整理得．解得，或，由題意得，從而．由〔1〕知，，設(shè)，有，．由，得，所以，解得．因此直線的方程為．設(shè)，由方程組消去，解得．在中，，即，化簡(jiǎn)得，即，解得或．所以，直線的斜率的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮：〔1〕利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；〔2〕利用參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范