高中數(shù)學(xué)選修2-1-空間向量與立體幾何

-.z.空間向量與立體幾何一、知識網(wǎng)絡(luò)：空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何空間向量及其運(yùn)算立體幾何中的向量方法空間向量的加減運(yùn)算空間向量的數(shù)乘運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算共線向量定理共面向量定理空間向量根本定理平行與垂直的條件向量夾角與距離直線的方向向量與平面的法向量用空間向量證平行與垂直問題求空間角求空間距離二．典例解析題型1：空間向量的概念及性質(zhì)例1、有以下命題：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則的關(guān)系是不共線；②為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個基底，則點(diǎn)一定共面；③向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底。其中正確的命題是〔〕。①②①③②③①②③題型2：空間向量的根本運(yùn)算例2、如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)。假設(shè)，，，則以下向量中與相等的向量是〔〕例3、：且不共面.假設(shè)∥,求的值.例4、底面為正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D為AC的中點(diǎn)，求證：AB1∥平面C1BD.〔三〕強(qiáng)化穩(wěn)固導(dǎo)練1、正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)F是側(cè)面CDD1C1的中心，假設(shè)，求*－y的值.2、在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，假設(shè)a，b，c，則以下向量中與相等的向量是()。A．a(chǎn)＋b＋c B．a(chǎn)＋b＋cC．a(chǎn)b＋c D．a(chǎn)b＋c3、〔2009卷理〕如圖，正三棱柱的各條棱長都相等，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的大是。第二課時(shí)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算〔一〕、根底知識過關(guān)〔二〕典型題型探析題型1：空間向量的坐標(biāo)例1、〔1〕兩個非零向量=〔a1，a2，a3〕，=〔b1，b2，b3〕，它們平行的充要條件是〔〕A.：||=：||B.a1·b1=a2·b2=a3·b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零實(shí)數(shù)k，使=k〔2〕向量=〔2，4，*〕，=〔2，y，2〕，假設(shè)||=6，⊥，則*+y的值是〔〕A.－3或1B.3或－1C.－3D.1〔3〕以下各組向量共面的是〔〕A.=(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B.=(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C.=(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D.=(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)例2、空間三點(diǎn)A〔－2，0，2〕，B〔－1，1，2〕，C〔－3，0，4〕。設(shè)=，=，〔1〕求和的夾角；〔2〕假設(shè)向量k+與k－2互相垂直，求k的值.題型2：數(shù)量積例3、〔1〕〔2008文，理2〕向量和的夾角為120°，且||=2，||=5，則〔2－〕·=_____.〔2〕設(shè)空間兩個不同的單位向量=(*1，y1，0)，=(*2，y2，0)與向量=(1，1，1)的夾角都等于。(1)求*1+y1和*1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。題型3：空間向量的應(yīng)用例4、〔1〕a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：++≤4?！?〕F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，假設(shè)F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點(diǎn)M1〔1，-2，1〕移到點(diǎn)M2(3，1，2)，求物體合力做的功?！踩?、強(qiáng)化穩(wěn)固訓(xùn)練1、(07**理，4)設(shè)、、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則①〔·〕－〔·〕=②||－||<|－|③〔·〕－〔·〕不與垂直④〔3+2〕〔3－2〕=9||2－4||2中，是真命題的有〔〕A.①② B.②③ C.③④ D.②④2、為原點(diǎn)，向量∥，求．第三課時(shí)空間向量及其運(yùn)算強(qiáng)化訓(xùn)練、根底自測1.有4個命題：①假設(shè)p=*a+yb，則p與a、b共面；②假設(shè)p與a、b共面，則p=*a+yb；③假設(shè)=*+y，則P、M、A、B共面；④假設(shè)P、M、A、B共面，則=*+y.其中真命題的個數(shù)是〔〕。A.1 B.2 C.3 D.42.以下命題中是真命題的是()。A.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B.假設(shè)|a|=|b|，則a，b的長度相等而方向一樣或相反C.假設(shè)向量，滿足||＞||，且與同向，則＞D.假設(shè)兩個非零向量與滿足+=0，則∥3.假設(shè)a=(2*,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，則〔〕。A.*=1,y=1 B.*=，y=-C.*=，y=-D.*=-，y=4.A〔1，2，3〕，B〔2，1，2〕，P〔1，1，2〕，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，當(dāng)·取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是.5.在四面體O-ABC中，=a,=b,=c,D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn)，則=(用a,b,c表示).〔二〕、典例探析例1、如下圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)=a，=b，=c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：〔1〕；〔2〕；〔3〕+.例2、如下圖，空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn).〔1〕求證：MN⊥AB，MN⊥CD；〔2〕求MN的長；〔3〕求異面直線AN與CM夾角的余弦值.例3、〔1〕求與向量a=(2,-1,2)共線且滿足方程a·*=-18的向量*的坐標(biāo)；〔2〕A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為〔2，-1，2〕，〔4，5，-1〕，〔-2，2，3〕，求點(diǎn)P的坐標(biāo)使得=〔-〕；〔3〕a=〔3，5，-4〕，b=〔2，1，8〕，求：①a·b；②a與b夾角的余弦值；③確定，的值使得a+b與z軸垂直，且〔a+b〕·〔a+b〕=53.〔三〕、強(qiáng)化訓(xùn)練：如下圖，正四面體V—ABC的高VD的中點(diǎn)為O，VC的中點(diǎn)為M.〔1〕求證：AO、BO、CO兩兩垂直；〔2〕求〈,〉.補(bǔ)充：1、空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，則·的值為〔C〕A.a2B.C.D.2、A〔4，1，3〕，B〔2，-5，1〕，C為線段AB上一點(diǎn)，且=，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(C)A.B.C.D.3、如下圖，平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；〔2〕求BD1與AC夾角的余弦值.立體幾何中的向量方法-------空間夾角和距離〔三〕、根底穩(wěn)固導(dǎo)練1、在平行六面體ABCD—中，設(shè)，則*+y+z=〔A〕A.B.C.D.2、在正方體ABCD—中，M是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點(diǎn)，則異面直線OP與AM所成角的大小為〔C〕A.B.C.D.與P點(diǎn)位置無關(guān)3、如圖，正方體ABCD—中，E、F分別是AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1C與EF所成角的余弦值為〔B〕A.B.C.D.4、如下圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE?！?〕求證：AE⊥平面BCE；〔2〕求二面角B－AC－E的大?。弧?〕求點(diǎn)D到平面ACE的距離。10、〔1〕略〔2〕〔3〕第二課時(shí)用向量法求空間夾角——熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析〔一〕熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析題型1：異面直線所成的角A1B1C1D1ABCDE*yz例1、正方體ABCD－A1B1C1D1ABCDE*yz求：D1E與平面BC1D所成角的大小〔用余弦值表示〕題型2：直線與平面所成的角EFO例2、〔09年高考試題〕如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90，側(cè)棱AA1＝2，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B與平面EFO題型3：二面角例3、〔08年高考〕在四棱錐P－ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，E為BC中點(diǎn)?！?〕求平面PDE與平面PAB所成二面角的大小〔用正切值表示〕；〔2〕求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。第三課時(shí)用向量法求空間的距離ABABCDOS圖2題型1：異面直線間的距離例1、如圖2，正四棱錐的高，底邊長。求異面直線和之間的距離？題型2：點(diǎn)面距離ＡＢＣＤＡＢＣＤＧＥＥＥＦＥＯＨＥ，Ｆ分別是ＡＢ，ＡＤ的中點(diǎn)，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求點(diǎn)Ｂ到平面ＥＦＧ的距離。BACDBACD例3、正三棱柱的底面邊長為8，對角線，D是AC的中點(diǎn)?！?〕求點(diǎn)到直線AC的距離。〔2〕求直線到平面的距離。例4、如圖，邊長為的正三角形中，、分別為和的中點(diǎn)，面，且，設(shè)平面過且與平行。求與平面間的距離？〔二〕、強(qiáng)化穩(wěn)固訓(xùn)練長方體ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中點(diǎn)，P在線段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點(diǎn)，求：〔1〕異面直線AM與PQ所成角的余弦值；〔2〕M到直線PQ的距離；〔3〕M到平面AB1P的距離。立體幾何空間向量知識點(diǎn)總結(jié)知識網(wǎng)絡(luò)：【典型例題】例1.P是平面四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC、PD，點(diǎn)E、F、G、H分別為△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心。求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面。例2.如下圖，在平行六面體中，，，，P是CA'的中點(diǎn)，M是CD'的中點(diǎn)，N是C'D'的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是CA'上的點(diǎn)，且CQ：QA'=4：1，用基底表示以下向量：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。例3.空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC。M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)。求證：OG⊥BC。例4.空間三點(diǎn)A〔0，2，3〕，B〔－2，1，6〕，C〔1，－1，5〕?！?〕求以為鄰邊的平行四邊形面積；〔2〕假設(shè)，且垂直，求向量的坐標(biāo)。解：〔1〕由題中條件可知∴∴以為鄰邊的平行四邊形面積：〔2〕設(shè)由題意得解得∴第二講直線的方向向量、平面的法向量及其應(yīng)用一、直線的方向向量及其應(yīng)用1、直線的方向向量直線的方向向量就是指和這條直線所對應(yīng)向量平行〔或共線〕的向量，顯然一條直線的方向向量可以有無數(shù)個．2、直線方向向量的應(yīng)用利用直線的方向向量，可以確定空間中的直線和平面．〔1〕假設(shè)有直線l,點(diǎn)A是直線l上一點(diǎn)，向量是l的方向向量，在直線l上取，則對于直線l上任意一點(diǎn)P，一定存在實(shí)數(shù)t，使得，這樣，點(diǎn)A和向量不僅可以確定l的位置，還可具體表示出l上的任意點(diǎn)．〔2〕空間中平面α的位置可以由α上兩條相交直線確定，假設(shè)設(shè)這兩條直線交于點(diǎn)O,它們的方向向量分別是和，P為平面α上任意一點(diǎn)，由平面向量根本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)對〔*，y〕，使得，這樣，點(diǎn)O與方向向量、不僅可以確定平面α的位置，還可以具體表示出α上的任意點(diǎn)．二、平面的法向量1、所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也有無數(shù)個，它們是共線向量．2、在空間中，給定一個點(diǎn)A和一個向量，則以向量為法向量且經(jīng)過點(diǎn)A的平面是唯一確定的．三、直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關(guān)系中的應(yīng)用1、假設(shè)兩直線l1、l2的方向向量分別是、，則有l(wèi)1//l2//，l1⊥l2⊥．2、假設(shè)兩平面α、β的法向量分別是、，則有α//β//，α⊥β⊥．假設(shè)直線l的方向向量是，平面的法向量是，則有l(wèi)//α⊥，l⊥α//四、平面法向量的求法假設(shè)要求出一個平面的法向量的坐標(biāo)，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：1、設(shè)出平面的法向量為．2、找出〔求出〕平面的兩個不共線的向量的坐標(biāo)3、根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于*，y，z的方程組4、解方程組，取其中一個解，即得法向量五、用向量方法證明空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系〔一〕用向量方法證明空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．1、線線平行設(shè)直線l1、l2的方向向量分別是、，則要證明l1//l2，只需證明//，即2、線面平行〔1〕設(shè)直線l的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明，即.〔2〕根據(jù)線面平行的判定定理："如果直線〔平面外〕與平面的一條直線平行，則這條直線和這個平面平行〞，要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面找一個向量與直線的方向向量是共線向量即可．〔3〕根據(jù)共面向量定理可知，如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量，則這個向量與這兩個不共線向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面兩個不共線向量線性表示即可．3、面面平行〔1〕由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．〔2〕假設(shè)能求出平面α、β的法向量、，則要證明α//β，只需證明//〔二〕用向量方法證明空間中的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．1、線線垂直設(shè)直線l1、l2的方向向量分別是、，則要證明l1⊥l2，只需證明⊥，即2、線面垂直〔1〕設(shè)直線l的方向向量是，平面α的法向量是，則要證l⊥α，只需證明//〔2〕根據(jù)線面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為直線與平面的兩條相交直線垂直．3、面面垂直〔1〕根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．〔2〕證明兩個平面的法向量互相垂直．六、用向量方法求空間的角〔一〕兩條異面直線所成的角1、定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，過空間任一點(diǎn)O作直線，則與所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角．2、圍：兩異面直線所成角θ的取值圍是3、向量求法：設(shè)直線a、b的方向向量為、，其夾角為，則有4、注意：兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求得，但兩者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．〔二〕直線與平面所成的角1、定義：直線和平面所成的角，是指直線與它在這個平面的射影所成的角．2、圍：直線和平面所成角θ的取值圍是3、向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為，則有〔三〕二面角1、二面角的取值圍：2、二面角的向量求法〔1〕假設(shè)AB、CD分別是二面角的兩個面與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角〔如圖〔a〕所示〕．〔2〕設(shè)、是二面角的兩個角α、β的法向量，則向量與的夾角〔或其補(bǔ)角〕就是二面角的平面角的大小〔如圖〔b〕所示〕．七、用向量的方法求空間的距離〔一〕點(diǎn)面距離的求法如圖〔a〕所示，BO⊥平面α，垂足為O，則點(diǎn)B到平面α的距離就是線段BO的長度．假設(shè)AB是平面α的任一條斜線段，則在Rt△BOA中，cos∠ABO=。如果令平面α的法向量為，考慮到法向量的方向，可以得到B點(diǎn)到平面α的距離為。因此要求一個點(diǎn)到平面的距離，可以分以下幾步完成：1、求出該平面的一個法向量．2、找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量．3、求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離．由于可以視為平面的單位法向量，所以點(diǎn)到平面的距離實(shí)質(zhì)就是平面的單位法向量與從該點(diǎn)出發(fā)的斜線段向量的數(shù)量積的絕對值，即．另外，等積法也是點(diǎn)到面距離的常用求法．〔二〕線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)展求解。〔三〕兩異面直線距離的求法如圖〔b〕所示，設(shè)l1、l2是兩條異面直線，是l1與l2的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是l1、l2上的任意兩點(diǎn)，則l1與l2的距離是?！镜湫屠}】例1.設(shè)分別是直線l1、l2的方向向量，根據(jù)以下條件判斷l(xiāng)1與l2的位置關(guān)系。〔1〕=〔2，3，－1〕，=〔－6，－9，3〕；〔2〕=〔5，0，2〕，=〔0，4，0〕；〔3〕=〔－2，1，4〕，=〔6，3，3〕解：〔1〕∵，=〔－6，－9，3〕∴，∴，∴l(xiāng)1//l2〔2〕∵=〔5，0，2〕，=〔0，4，0〕∴，∴，∴l(xiāng)1⊥l2〔3〕∵〔－2，1，4，〕，=〔6，3，3〕∴不共線，也不垂直∴l(xiāng)1與l2的位置關(guān)系是相交或異面例2.設(shè)分別是平面α、β的法向量，根據(jù)以下條件判斷α、β的位置關(guān)系：〔1〕=〔1，－1，2〕，=〔3，2，〕；〔2〕=〔0，3，0〕，=〔0，－5，0〕；〔3〕=〔2，－3，4〕，=〔4，－2，1〕。解：〔1〕∵=〔1，－1，2〕，=〔3，2，〕∴∴α⊥β〔2〕∵=〔0，3，0〕，=〔0，－5，0〕∴〔3〕∵=〔2，－3，4〕，=〔4，－2，1〕∴既不共線、也不垂直，∴α與β相交點(diǎn)評：應(yīng)熟練掌握利用向量共線、垂直的條件。例3.點(diǎn)A〔3，0，0〕，B〔0，4，0〕，C〔0，0，5〕，求平面ABC的一個單位法向量。解：由于A〔3，0，0〕，B〔0，4，0〕，C〔0，0，5〕，∴=〔－3，4，0〕，=〔－3，0，5〕設(shè)平面ABC的法向量為〔*，y，z〕則有即取z=1，得，于是=〔〕，又∴平面α的單位法向量是例4.假設(shè)直線l的方向向量是=〔1，2，2〕，平面α的法向量是=〔－1，3，0〕，試求直線l與平面α所成角的余弦值。分析：如下圖，直線l與平面α所成的角就是直線l與它在平面的射影所成的角，即∠ABO，而在Rt△ABO中，∠ABO=∠BAO，又∠BAO可以看作是直線l與平面α的垂線所成的銳角，這樣∠BAO就與直線l的方向向量a與平面α的法向量n的夾角建立了聯(lián)系，故可借助向量的運(yùn)算求出∠BAO，從而求出∠ABO，得到直線與平面所成的角。解：∵=〔1，2，2，〕，=〔－1，3，0〕∴，，∴假設(shè)設(shè)直線l與平面α所成的角是θ則有∵∴因此，即直線l與平面α所成角的余弦值等于。例5.如圖〔a〕所示，在正方體中，M、N分別是、的中點(diǎn)。求證：〔1〕MN//平面；〔2〕平面?！?〕證法一：如圖〔b〕所示，以D為原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為*軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則可求得M〔0，1，〕，N〔，1，1，〕，D〔0，0，0〕，〔1，0，1〕，B〔1，1，0〕，于是=〔，0，〕。設(shè)平面的法向量是〔*，y，z〕則，得取*=1，得，，=〔1，－1，－1〕又=〔，0，〕·〔1，－1，－1〕=0，∴∴MN//平面證法二：∵∴，∴證法三：∵即線性表示，故是共面向量∴//平面A1BD，即MN//平面A1BD?！?〕證明：由〔1〕求得平面的法向量為=〔1，－1，－1〕同理可求平面B1D1C的法向量=〔1，－1，－1〕∴∴平面A1BD//平面B1D1C例6.如圖，在正方體中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)。求證：A1O⊥平面GBD。證明：設(shè)，則而∴同理∴，又，∴面GBD。例7.〔2004年**〕如圖〔a〕所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)?！?〕證明：PA//平面EDB；〔2〕求EB與底面ABCD所成角的正切值。〔1〕證明：如圖〔b〕所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)DC=a，連結(jié)AC，AC交BD于G，連結(jié)EG依題意得A〔a，0，0〕，P〔0，0，a〕，E〔0，，〕∵底面ABCD是正方形∴G是此正方形的中心故點(diǎn)G的坐標(biāo)為〔，，0〕∴=〔a，0，－a〕，=〔，0，〕∴，這說明PA//EG而EG平面EDB，且PA平面EDB∴PA//平面EDB〔2〕解：依題意得B〔a，a，0〕，C〔0，a，0〕如圖〔b〕取DC的中點(diǎn)F〔0，，0〕，連結(jié)EF、BF∵=〔0，0，〕，=〔a，，0〕，=〔0，a，0〕∴，∴FE⊥FB，F(xiàn)E⊥DC。∴tan∠EBF∴EB與底面ABCD所成角的正切值為例8.正方體中，E、F分別是、的中點(diǎn)，求：〔1〕異面直線AE與CF所成角的余弦值；〔2〕二面角C—AE—F的余弦值的大小。解：不妨設(shè)正方體棱長為2，分別取DA、DC、所在直線為*軸、y軸、z軸建立如下圖空間直角坐標(biāo)系，則A〔2，0，0〕，C〔0，2，0〕，E〔1，0，2〕，F(xiàn)〔1，1，2〕〔1〕由=〔－1，0，2〕，=〔1，－1，2〕，得，∴=－1＋0＋4=3又∴，∴所求值為〔2〕∵=〔0，1，0〕∴=〔－1，0，2〕·〔0，1，0〕=0∴AE⊥EF，過C作CM⊥AE于M則二面角C—AE—F的大小等于∵M(jìn)在AE上，∴則=〔－m，0，2m〕，=〔－2，2，0〕－〔－m，0，2m〕=〔m－2，2，－2m〕∵M(jìn)C⊥AE∴=〔m－2，2，－2m〕·〔－1，0，2〕=0∴，∴，∴=〔0，1，0〕·〔，2，〕=0＋2＋0=2又∴∴二面角C—AE—F的余弦值的大小為例9.正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，H是EF與AC的交點(diǎn)，CG⊥面ABCD，且CG=2。求BD到面EFG的距離。分析：因BD//平面EFG，故O到面EFG與BD到面EFG距離相等，證明OM垂直于面EFG即可。解：如下圖，分別以CD、CB、CG所在直線為*、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。易證BD//面EFG，設(shè)=O，EF⊥面CGH，O到面EFG的距離等于BD到面EFG的距離，過O作OM⊥HG于M，易證OM⊥面EFG，可知OM為所求距離。另易知H〔3，3，0〕，G〔0，0，2〕，O〔2，2，0〕。設(shè)，=〔3，3，－2〕則又，∴∴，∴∴即BD到平面EFG的距離等于【勵志故事】習(xí)慣父子倆住山上，每天都要趕牛車下山賣柴。老父較有經(jīng)歷，坐鎮(zhèn)駕車，山路崎嶇，彎道特多，兒子眼神較好，總是在要轉(zhuǎn)彎時(shí)提醒道："爹，轉(zhuǎn)彎啦！〞有一次父親因病沒有下山，兒子一人駕車。到了彎道，牛怎么也不肯轉(zhuǎn)彎，兒子用盡各種方法，下車又推又拉，用青草誘之，牛一動不動。到底是怎么回事？兒子百思不得其解。最后只有一個方法了，他左右看看無人，貼近牛的耳朵大聲叫道："爹，轉(zhuǎn)彎啦！〞牛應(yīng)聲而動。牛用條件反射的方式活著，而人則以習(xí)慣生活。一個成功的人曉得如何培養(yǎng)好的習(xí)慣來代替壞的習(xí)慣，當(dāng)好的習(xí)慣積累多了，自然會有一個好的人生。空間向量與立體幾何知識要點(diǎn)。1.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：〔1〕向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量?！?〕空間的兩個向量可用同一平面的兩條有向線段來表示。2.空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下〔如圖〕。;;運(yùn)算律：⑴加法交換律：⑵加法結(jié)合律：⑶數(shù)乘分配律：3.共線向量?！?〕如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，則這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。當(dāng)我們說向量、共線〔或//〕時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線?！?〕共線向量定理：空間任意兩個向量、〔≠〕，//存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ。4.共面向量〔1〕定義：一般地，能平移到同一平面的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的?！?〕共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的條件是存在實(shí)數(shù)使。5.空間向量根本定理：如果三個向量不共面，則對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。假設(shè)三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使。6.空間向量的直角坐標(biāo)系：〔1〕空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)。?！?〕空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：①假設(shè)，，則，，，，，。②假設(shè)，，則。一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。〔4〕模長公式：假設(shè)，，則，〔5〕夾角公式：?！?〕兩點(diǎn)間的距離公式：假設(shè)，，則，或7.空間向量的數(shù)量積?！?〕空間向量的夾角及其表示：兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；假設(shè)，則稱與互相垂直，記作：?！?〕向量的模：設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：?！?〕向量的數(shù)量積：向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。〔4〕空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：①。②。③?！?〕空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：①。②〔交換律〕。③〔分配律〕。【典型例題】例1.平行六面體ABCD－，化簡以下向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。⑴；⑵；⑶；⑷。例2.對空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，問滿足向量式：〔其中〕的四點(diǎn)是否共面？例3.空間四邊形，其對角線，分別是對邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，用基底向量表示向量。例4.如圖，在空間四邊形中，，，，，，，求與的夾角的余弦值。說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如易錯寫成，切記！例5.長方體中，，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，又，求長方體的高。【模擬試題】1.空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點(diǎn)，化簡以下各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：〔1〕；〔2〕；〔3〕。2.平行四邊形ABCD，從平面外一點(diǎn)引向量。?！?〕求證：四點(diǎn)共面；〔2〕平面平面。3.如圖正方體中，，求與所成角的余弦。4.空間三點(diǎn)A〔0，2，3〕，B〔－2，1，6〕，C〔1，－1，5〕。⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；⑵假設(shè)向量分別與向量垂直，且||＝，求向量的坐標(biāo)。5.平行六面體中，，，求的長。[參考答案]1.解：如圖，〔1〕；〔2〕。；〔3〕。2.解：〔1〕證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴共面；〔2〕解：∵，又∵，∴。所以，平面平面。3.解：不妨設(shè)正方體棱長為，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，∴，。。4.分析：⑴∴∠BAC＝60°，⑵設(shè)＝〔*，y，z〕，則解得*＝y(tǒng)＝z＝1或*＝y(tǒng)＝z＝－1，∴＝〔1，1，1〕或＝〔－1，－1，－1〕。5.解：所以，。專題四：立體幾何第三講空間向量與立體幾何【最新考綱透析】1．空間向量及其運(yùn)算〔1〕了解空間向量的概念，了解空間向量的根本定理及其意義，掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示?！?〕掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示。〔3〕掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。2．空間向量的應(yīng)用〔1〕理解直線的方向向量與平面的法向量?！?〕能用向量語言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的垂直、平行關(guān)系?！?〕能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理〔包括三垂線定理〕?！?〕能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用?！竞诵囊c(diǎn)突破】要點(diǎn)考向1：利用空間向量證明空間位置關(guān)系考情聚焦：1．平行與垂直是空間關(guān)系中最重要的位置關(guān)系，也是每年的必考容，利用空間向量判斷空間位置關(guān)系更是近幾年高考題的新亮點(diǎn)。2．題型靈活多樣，難度為中檔題，且常考常新。考向：1．空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)?？疾斓囊粋€重要容，一方面考察學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；另一個方面考察"向量法〞的應(yīng)用。2．空間中線面的平行與垂直的證明有兩個思路：一是利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是利用空間向量來論證。例1：〔2010·高考理科·Ｔ18〕如圖，在多面體中，四邊形是正方形，∥，，，，，為的中點(diǎn)。(1)求證：∥平面；(2)求證：平面；(3)求二面角的大小。【命題立意】此題主要考察了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考察了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明?！疽?guī)解答】AEAEFBCDHG*YZ(1)(2)(3)【方法技巧】1、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面的一條直線平行；2、證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面的兩條相交直線垂直；3、確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個適宜的三角形中進(jìn)展求解。4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問題進(jìn)展求解證明。應(yīng)用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用。要點(diǎn)考向2：利用空間向量求線線角、線面角考情聚焦：1．線線角、線面角是高考命題的重點(diǎn)容，幾乎每年都考。2．在各類題型中均可出現(xiàn)，特別以解答題為主，屬于低、中檔題。考向：1．利用空間向量求兩異面直線所成的角,直線與平面所成的角的方法及公式為:〔1〕異面直線所成角設(shè)分別為異面直線的方向向量，則〔2〕線面角設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則2．運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟為：〔1〕建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)。〔2〕求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。〔3〕寫出向量坐標(biāo)。〔4〕結(jié)合公式進(jìn)展論證、計(jì)算?！?〕轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。例2：〔2010·高考理科·Ｔ19〕三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).〔Ⅰ〕證明：CM⊥SN；〔Ⅱ〕求SN與平面CMN所成角的大小.【命題立意】此題考察了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計(jì)算問題，考察了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】建系，寫出有關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，計(jì)算的數(shù)量積，寫出答案；求平面CMN的法向量，求線面角的余弦，求線面角，寫出答案?！疽?guī)解答】設(shè)PA＝1，以A為原點(diǎn)，射線AB、AC、AP分別為*,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖。則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0,)，N(,0,0)，S(1,,0)〔I〕【方法技巧】〔1〕空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法?！?〕求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決?！?〕線面角的圍是0°～90°，因此直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦是非負(fù)的，要取絕對值。要點(diǎn)考向3：利用空間向量求二面角考情聚焦：1．二面角是高考命題的重點(diǎn)容，是年年必考的知識點(diǎn)。2．常以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題?？枷颍呵蠖娼亲畛Ｓ玫姆椒ň褪欠謩e求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。其計(jì)算公式為：設(shè)分別為平面的法向量，則與互補(bǔ)或相等，例3：〔2010·**高考理科·Ｔ１9〕如圖，在長方體中，、分別是棱,上的點(diǎn)，,求異面直線與所成角的余弦值；證明平面求二面角的正弦值?！久}立意】本小題主要考察異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等根底知識，考察用空間向量解決立體幾何問題的方法，考察空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力。【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系或常規(guī)方法處理問題?！疽?guī)解答】方法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為*軸，AD所在直線為Y軸建立空間直角坐標(biāo)系〔如下圖〕，設(shè),依題意得,,,易得,，于是，所以異面直線與所成角的余弦值為。證明：,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即不妨令*=1,可得。由〔2〕可知，為平面的一個法向量。于是，從而所以二面角的正弦值為要點(diǎn)考向4：利用空間向量解決探索性問題考情聚焦：立體幾何中結(jié)論尋求結(jié)論成立的條件〔或是否存在問題〕，能較好地考察學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力，是今后考察的重點(diǎn)，也能很好地表達(dá)新課標(biāo)高考的特點(diǎn)。例4：〔2010·高考理科·Ｔ18〕如圖，圓柱OO1有一個三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面為圓柱底面的接三角形，且AB是圓O的直徑?！睮〕證明：平面A1ACC1平面B1BCC1；〔II〕設(shè)AB＝AA1,在圓柱OO1隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自三棱柱ABC-A1B1C1的概率為p?！瞚〕當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動時(shí)，求p的最大值；〔ii〕記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為〔〕。當(dāng)p取最大值時(shí)，求cos的值?！久}立意】本小題主要考察直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等根底知識；考察空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考察數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想?！舅悸伏c(diǎn)撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長方體的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，利用體積比計(jì)算出幾何概率。立體幾何中我們可以利用向量處理角度問題，立體幾何中涉及的角：有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等。關(guān)于角的計(jì)算，均可歸結(jié)為兩個向量的夾角。對于空間向量，有，利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中的角的問題。【規(guī)解答】〔I〕平面，平面，，又是的直徑，，又，平面，而平面，所以平面平面；〔II〕〔i〕設(shè)圓柱的底面半徑為，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為，所以，所以當(dāng)取得最大值時(shí)取得最大值。又因?yàn)辄c(diǎn)在圓周上運(yùn)動，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大，進(jìn)而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積最大，且其最大值為，故的最大值為；〔ii〕由〔i〕知，取最大值時(shí)，，于是，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面，是平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，由于，，所以平面的一個法向量為，，?！痉椒记伞苛Ⅲw幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，此題的〔II〕〔i〕也可以采用向量法進(jìn)展證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)圓柱的底面半徑為，，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為，所以，所以當(dāng)取得最大值時(shí)取得最大值。，所以當(dāng)時(shí)的的面積最大，進(jìn)而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積最大，且其最大值為，故的最大值為；【高考真題探究】1.〔2010·高考理科·Ｔ１0〕假設(shè)向量=〔1,1,*〕,=(1,2,1),=(1,1,1),滿足條件=-2,則=.【命題立意】此題考察空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的數(shù)量積運(yùn)算.【思路點(diǎn)撥】先算出、，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出【規(guī)解答】，，由得，即，解得【答案】22.〔2010·高考理科·Ｔ20〕如圖，在矩形中，點(diǎn)分別在線段上，.沿直線將翻折成，使平面.〔Ⅰ〕求二面角的余弦值；〔Ⅱ〕點(diǎn)分別在線段上，假設(shè)沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長?！久}立意】此題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等根底知識，考察空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考察空間想象能力和運(yùn)算求解能力。【思路點(diǎn)撥】方法一利用相應(yīng)的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問題；方法二利用幾何法解決求二面角問題和翻折問題?！疽?guī)解答】方法一：〔Ⅰ〕取線段EF的中點(diǎn)H，連結(jié)，因?yàn)?及H是EF的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)槠矫嫫矫?如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-*yz，則〔2，2，〕，C〔10，8，0〕，F(xiàn)〔4，0，0〕，D〔10，0，0〕.故=〔-2，2，2〕，=〔6，0，0〕.設(shè)=〔*,y,z〕為平面的一個法向量，所以。取，則。又平面的一個法向量，故。所以二面角的余弦值為〔Ⅱ〕設(shè)，則，，因?yàn)榉酆螅c重合，所以，，故，，得，，所以。3.〔2010·高考理科·Ｔ１8〕如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=，E，F(xiàn)分別是AD,PC的中點(diǎn).〔Ⅰ〕證明：PC⊥平面BEF；〔Ⅱ〕求平面BEF與平面BAP夾角的大小。【命題立意】此題考察了空間幾何體的的線線、線面垂直、以及二面角的求解問題，考察了同學(xué)們的空間想象能力以及空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧?！舅悸伏c(diǎn)撥】思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解；思路二：利用幾何法求解.【規(guī)解答】解法一〔Ⅰ〕如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在的直線分別為*，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵AP=AB=2，BC=，四邊形ABCD是矩形.∴A，B，C，D的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,,0)，D(0，，0)，P(0,0,2)又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，∴E(0，，0),F(1，，1).∴=〔2，，-2〕=〔-1，，1〕=〔1,0,1〕，∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，∴⊥，⊥，∴PC⊥BF,PC⊥EF,,∴PC⊥平面BEF〔II〕由〔I〕知平面BEF的法向量平面BAP的法向量設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為，則∴，∴平面BEF與平面BAP的夾角為4.〔2010·高考文科·Ｔ20〕如題圖，四棱錐中，底面為矩形，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).〔I〕證明：；〔II〕假設(shè)，求二面角的平面角的余弦值.【命題立意】本小題考察空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考察余弦定理及其應(yīng)用，考察空間向量的根底知識和在立體幾何中的應(yīng)用，考察空間想象能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考察數(shù)形結(jié)合的思想，考察化歸與轉(zhuǎn)化的思想.【思路點(diǎn)撥】〔1〕通過證明線線垂直證明結(jié)論：線面垂直，〔II〕作出二面角的平面角，再利用三角函數(shù)、余弦定理等知識求余弦值.或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明垂直和求出有關(guān)角的三角函數(shù)值.【規(guī)解答】〔I〕以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如下圖.設(shè)設(shè)，則，，，。于是，，，則，所以，故.〔II〕設(shè)平面BEC的法向量為，由〔Ⅰ〕知，，故可取.設(shè)平面DEC的法向量，則，，由，得D，G，從而，，故，所以，，可取，則，從而.【方法技巧】〔1〕用幾何法推理證明、計(jì)算求解；〔2〕空間向量坐標(biāo)法，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題.5.〔2010·高考文科·Ｔ２０〕如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，.〔1〕求直線與平面所成的角的大?。弧?〕求平面與平面所成的二面角的正弦值.【命題立意】此題主要考察空間幾何體的線線、線面與面面垂直關(guān)系及平行關(guān)系，考察空間線面角、二面角的問題以及有關(guān)的計(jì)算問題，考察空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考察數(shù)形結(jié)合思想，考察考生的空間想象能力、推理論證能力、劃歸轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】此題主要有兩種方法，法一：幾何法〔1〕直接找出線面角，然后求解；〔2〕對二面角的求法思路，一般是分三步①"作〞，②"證〞，③"求〞.其中"作〞是關(guān)鍵，"證〞是難點(diǎn).法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解.【規(guī)解答】取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,則MO⊥平面.以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC、BO、OM為*軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.OB=OM=，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O〔0，0，0〕，C〔1，0，0〕，M〔0，0，〕，B〔0，-，0〕，A〔0，-，2〕，〔1〕設(shè)直線AM與平面BCD所成的角為.因〔0，，〕，平面的法向量為.則有，所以.〔2〕，.設(shè)平面ACM的法向量為，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量為，則設(shè)所求二面角為，則.6.〔2010·高考理科·Ｔ18〕正方體的棱長為1，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是對角線的中點(diǎn).〔Ⅰ〕求證：為異面直線和的公垂線；〔Ⅱ〕求二面角的大小；〔Ⅲ〕求三棱錐的體積.【命題立意】此題主要考察異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體、三棱錐體積等根底知識，并考察空間想象能力和邏輯推理能力，考察應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.【思路點(diǎn)撥】方法一：幾何法問題〔Ⅰ〕，分別證明，即可.問題〔II〕首先利用三垂線定理，作出二面角的平面角，然后通過平面角所在的直角三角形，求出平面角的一個三角函數(shù)值，便可解決問題.問題〔Ⅲ〕選擇便于計(jì)算的底面和高，觀察圖形可知，和都在平面，且，故，利用三棱錐的體積公式很快求出.方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解.【規(guī)解答】(方法一)：〔I〕連結(jié).取的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連結(jié).∵點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，由，得.∵，∴.∴.∴.又∵與異面直線和都相交，故為異面直線和的公垂線，〔II〕取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，過點(diǎn)過點(diǎn)作于，連結(jié)，則由三垂線定理得，.∴為二面角的平面角..在中.故二面角的大小為.〔III〕易知，,且和都在平面，點(diǎn)到平面的距離，∴.(方法二)：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，〔I〕∵點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴,，,,.,,∴,,又∵與異面直線和都相交，故為異面直線和的公垂線，〔II〕設(shè)平面的一個法向量為，，.即取，則..取平面的一個法向量.，由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的大小為.〔III〕易知，，設(shè)平面的一個法向量為，,,即取，則，從而.點(diǎn)到平面的距離..【跟蹤模擬訓(xùn)練】一、選擇題(每題6分，共36分)1.點(diǎn)A〔-3,1,-4〕，則點(diǎn)A關(guān)于*軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為()(A)〔-3,-1,4〕(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)2.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AB1⊥BC1，則平面DBC1與平面CBC1所成的角為()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°3.設(shè)動直線與函數(shù)和的圖象分別交于、兩點(diǎn)，則的最大值為〔〕A．B．C．2D．34.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，沿軸把坐標(biāo)平面折成的二面角后，的長為〔〕A．B．C．D．5.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B