高等數(shù)學(xué)1(上冊(cè))試題答案及復(fù)習(xí)要點(diǎn)匯總(完整版)

和籍學(xué)除開被將者《高等數(shù)學(xué)上冊(cè)》試題答案及復(fù)習(xí)要點(diǎn)匯總（完整版）考人他閉卷（√）代或考代人。三四總分題號(hào)一二五123456712他果請(qǐng)后分值10157777777998道切知一還的，起性引重此閱卷人(全名)嚴(yán)由的擔(dān)弊承作愿考生注意事項(xiàng)：1、本試卷共6頁，總分100分，考試時(shí)間120分鐘。卷、答題紙和草稿紙帶出考場(chǎng)。2、考試一、填空題(每題2分，共10分)結(jié)束后，考生不得將試、，紀(jì)位違學(xué)試士考學(xué)道予知授得分年評(píng)閱人ax，x0ex2，x0在x0處連續(xù)，則a_____1、設(shè)f(x)32、設(shè)f(1)3，則f(1)f(12x)_________lim6xx0，不：律將紀(jì)分名33、函數(shù)f(x)x39x2在[0，3]上滿足羅爾定理的________簽場(chǎng)處2生考上守以4、設(shè)f(x)在[1，1]上為偶函數(shù)，則1[xxf(x)]dx______3學(xué)1遵及格過嚴(yán)記將到我受：弊諾作承因ycosxCxC5、微分方程ycosx的通解為___________________12二、選擇題(每題3分，共15分)1、lim(xsin2sin2x)(C)得分評(píng)閱人xxxA.4B.3C.2D.13、不定積分xsinxdx(D)2A.cosxCB.cosxCC.12cosxCD.12cosxC22224、由曲線xy、直線y1及y軸圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體體積為(B)A.5B.2C.13D.325、極限lim(C)0et2dtxxx0A.1B.0C.1D.2三、解答題(每題7分，共49分)得分評(píng)閱人1、設(shè)lim(2x2x1xaxb)6，求a、b.xlim(2x2xaxb)解x1xlim(2a)x2(1ab)xbx1x62a01ab6a2，b3lim112、求極限[xln(x1)].得分評(píng)閱人x0lim原式ln(x1)xxln(x1)解x01x11limxx1ln(x1)x01lim(x1)211x1(x1)2x0123、設(shè)y(cosx)sinx，求dy.得分評(píng)閱人解兩邊取對(duì)數(shù)得lnysinxlncosx1sinxcosisnxxyxcoslncosxyy(cosx)(cosxlncosxsinxtanx)sinxdyydx(cosx)sinx(cosxlncosxsinxtanx)dxx24dx.得分評(píng)閱人4、求不定積分x令x2sectdx，則2secttantdt解2tant2sectan原式ttdt2sect2tan2tdt2(sect1)dt22(tantt)Cx242arccos2Cx5、求定積分ex2lnxdx.得分評(píng)閱人1原式1elnxdx31解313(x3lnx)e13x3dlnxe11113e3ex2dx13113e39x3e12e319x216、求曲線y2lnx在區(qū)間[1，2]上的長(zhǎng)度.4得分評(píng)閱人y2x21x解2s1ydx21212(x1)dxx111(x2lnx)212231ln242yy7、求微分方程yln滿足ye2的特解.xx得分評(píng)閱人x1yx令u解1u(lnu1)du1x則dx1x1u(lnu1)dudxln(lnu1)lnxlnC通解yxeCx1由yx1e2得C1特解yxex1四、綜合題(每題9分，共18分)1、求函數(shù)f(x)xe2x的極值及該函數(shù)圖形的拐點(diǎn).得分評(píng)閱人fxe解()2x2xe2xx12fx令()0得當(dāng)x12時(shí)，f(x)0，當(dāng)x12時(shí)，f(x)0當(dāng)x12時(shí)f(x)取極小值，極小值為f()1e1122()fxx4xe24e2xfx令()0得x1當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0拐點(diǎn)為(1，e2)2、求微分方程y6y8y(x1)e4x的通解.得分評(píng)閱人解特征方程為r26r80r2，r412y6y8y2xCe4x0的通解YCe124為r26r80的單根可設(shè)yx(axb)e4x*把y*代入原方程得4ax2a2bx14a12a2b1a14，b43134yx(4x)e4*x通解yx(14x)e4xCe2xCe4x3412得分評(píng)閱人五、證明題(8分)1、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，證明：2f(sinx)dx2f(cosx)dx2、證明當(dāng)x0時(shí)，1x1與2x等價(jià).00lim1x1令x2t，則dxdt證證x2x02lim20f(cos)()tdtf(sinx)dx21x10x02f(cosx)dx10故1x1與2x等價(jià)大一上學(xué)期高數(shù)期末考試一、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)設(shè)f(x)cosx(xsinx),則在x0處有().1.f(0)2f(0)1f(0)0f(x)（A）（B）（C）（D）不可導(dǎo).1x設(shè)(x)1x，(x)333x，則當(dāng)x1時(shí)（）2..(x)與(x)(x)與(x)是等價(jià)（A）是同階無窮小，但不是等價(jià)無窮??；（B）無窮?。?x)(x)(x)(x)（C）是比高階的無窮?。唬―）是比高階的無窮小.F(x)x(2tx)f(t)dt0則（）.f(x)03.()fx(1,1)，其中在區(qū)間上二階可導(dǎo)且，若F(x)（A）函數(shù)必在x處取得極大值；0F(x)（B）函數(shù)必在x處取得極小值；00F(x)(0,F(0))x處沒有極值，但點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)；yF(x)（C）函數(shù)在yF(x)0F(x)(0,F(0))x處沒有極值，點(diǎn)也不是曲線的拐點(diǎn)。（D）函數(shù)在設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且x2x2（A）（2f(x)x21f(t)dt,則f(x)()4.021C）x（D）x2.B）（2二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）2lim(13x)sinx5.6..已知cosx是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則f(x)cosxdxxx0x.lim(cosnncosn1cos2)2227.nnn.1x2arcsinx1dx1x228.－12三、解答題（本大題有.5小題，每小題8分，共40分）yy(x)y(x)以及y(0).確定，求exysin(xy)19.設(shè)函數(shù)由方程求1x7dx.x(1x7)10.xex，x0設(shè)f(x)求1f(x)dx．32xx2，0x111.12.1limf(x)A，且x0g(x)f(xt)dtg(x)f(x)xA，為常數(shù)求.設(shè)函數(shù)連續(xù)，0g(x)x0并討論在處的連續(xù)性.y(1)1滿足的解xy2yxlnx913.求微分方程.四、解答題（本大題10分）14.已知上半平面內(nèi)一曲線yy(x)(x0)，過點(diǎn)(0,1)，且曲線上任一點(diǎn)M(x,y)00處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線所圍成面積的2倍與該點(diǎn)xx0縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.五、解答題（本大題10分）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線ylnx的切線，該切線與曲線ylnx及x軸圍成平面圖15.形D.(1)求D的面積A；(2)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）0,116.f(x)[,]q01設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對(duì)任意的，q1f(x)dxqf(x)dx.00f(x)cosxdx0f(x)dx0f(x)0,17.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且0，0.證明：f()f()0.（提示：設(shè),120,在內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使12xF(x)f(x)dx）解答0一、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）1(cosx)2ce6.6.2x2.8.35..7..三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）9.解：方程兩邊求導(dǎo)exy(1y)cos(xy)(xyy)0ycos(xy)y(x)xyeex0,y0y(0)，xyxcos(xy)1ux7x6dxdu10.解：7原式1(1u)du1(127u(1u)7uu1)du1(ln|u|2ln|u1|)c717ln|x7|72ln|1x7|C1dx()0xex111.解：2xx2dxfxdx3300xd(e)x11(x1)2dx3xe0xxe03cos2d(令x1sin)0242e31f(0)0，知g(0)012.解：由。xf(u)du1xtug(x)f(xt)dt0x(x0)0xxf(x)f(u)dug(x)(x0)0x2xf(u)dulimf(x)A2xg(0)lim0x0x22x0xxf(x)f(u)duAAAg(x)22，在limg(x)lim0x2x0處連續(xù)。x0x0dy2ylnx13.解：dxx22xyedx(edxlnxdxC)x13xlnx19xCx2y(1)19,C0y1xlnx19x3，四、解答題（本大題10分）14.解：由已知且y2xydxy，0y2yy將此方程關(guān)于x求導(dǎo)得rr20解出特征根：r1,r2.特征方程：其通解為212yCeCex2x12C,C132y(0)y(0)1，得3代入初始條件12yex13e2x23故所求曲線方程為：五、解答題（本大題10分）ylnx1(xx)先設(shè)切點(diǎn)為(x,lnx)，切線方程：15.解：（1）根據(jù)題意，0x00001yxe由于切線過原點(diǎn)，解出x0e，從而切線方程為：A(eyey)dy12e11則平面圖形面積013Ve2（2）三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為V1，則1曲線ylnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V21V(eey)2dy20VVV6(5e212e3)D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積12六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共12分）1q1qqf(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)16.證明：0000q1q(1q)f(x)dxqf(x)dx0q1f(1f()02[0,q][q,1])q(1q)f()q(1q)f()212故有：q1f(x)dxqf(x)dx證畢。0017.xF(x)f(t)dt,0x(0,)[0,]證：構(gòu)造輔助函數(shù)：。其滿足在上連續(xù)，在上可0F(0)F()0，且F(x)f(x)導(dǎo)。|0f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosxsinxF(x)dx由題設(shè)，有00，00F(x)sinxdx0F()sin0F()0(0,)，由積分中值定理，存在，使即有0F(0)F()F()0,(0,)[0,],[,].在區(qū)間綜上可知知存在上分別應(yīng)用羅爾定理，f()f()0.，即1(0,)(,)F()0F()0和，使及12122高等數(shù)學(xué)（上）試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）1、若函數(shù)fx()x，則limf(x)（）xx0A、0B、1C、1D、不存在2、下列變量中，是無窮小量的為（）x2A.ln1(x0)B.lnx(xC.cosx(x0)D.x24(x2)1)x3、滿足方程f(x)0的x是函數(shù)yf(x)的（）．A．極大值點(diǎn)B．極小值點(diǎn)C．駐點(diǎn)D．間斷點(diǎn)4、下列無窮積分收斂的是（）A、sinxdxB、e2xdxC、1dxD、1dxx00x005、設(shè)空間三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M（1，1，1）、A（2，2，1）、B（2，1，2）。則AMB=A、B、C、D、342二、填空題（每小題3分，本題共15分）21、lim(13x)x______.。x0x0ex2、當(dāng)k時(shí)，f(x)在x0處連續(xù)．xkx023、設(shè)yxlnx,則dx______dy4、曲線yex在點(diǎn)（0，1）處的切線方程是x5、若f(x)dxsin2xC，C為常數(shù)，則f(x)。三、計(jì)算題（每小題7分，本題共56分）4x2limx01、求極限2、求極限。sin2xlim(11xex1)x0cosxet2dtlim3、求極限1x2x04、設(shè)ye5ln(x1x2)，求yxln(1t)2d2y，求dx25、設(shè)fy(x)由已知yarctant1x2sin(23)dxx6、求不定積分excosxdx7、求不定積分1x0x0，求2f(x1)dx1ex11x8、設(shè)f(x)0四、應(yīng)用題（本題7分）求曲線yx2與xy2所圍成圖形的面積A以及A饒軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積。y五、證明題（本題7分）f(0)f(1)0，f(1)1，證明：f(x)若在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且2在(0,1)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使f()1。參考答案一。填空題（每小題3分，本題共15分）x1、e64、y15、f(x)2cos2x2、k=1．3、1x二．單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）1、D2、B3、C4、B5、A三．計(jì)算題（本題共56分，每小題7分）1.解：lim4x2lim1lim2x2x0sin2x(4x2)x187分sin2xx0sin2x(4x2)x01xex1)limex1xlimex1exx0exexxex12.解：lim(1x0ex1xexlim7分x(e1)2xx0x0cosxet2dtlimlimsinxecos2x13、解：7分1x22x2ex0x011y(1)………4、解：…...4分…...7分x1x21x21………1x21dy11t2t25、解：（4分）dx2t1t21d2yddy1t2()dxdt2tdtdx2（7分）（7分）2t1t2dx24t31x2sin(23)dxsin(3)d(3)1cos(23)C1226、解：x2x32xecosxdxcosxdex7、解：xexcosxesinxdx………….2分……….3分……5分xexcosxsinxdex..…excosxexsinxecosxdx………xex(sinxcosx)C…………7分f(x1)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx…21018、解：…2分0110dxdx011x0………………3分1e1xex1ex0(1)dxln(1x)1……0……5分11ln(1ex)ln2………………0…6分……711ln(1e1)ln(1e)…………分四．應(yīng)用題（本題7分）yx解：曲線xy2與的交點(diǎn)為（1，1），21分yx于是曲線xy22與所圍成圖形的面積A為A(xx2)dx[x213x2]112134分3300A繞y軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積為：1031y2y5V(y)ydy7分2425100五、證明題（本題7分）證明：設(shè)F(x)f(x)x，……….……………2分11(,1)2顯然F(x)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，[,1]211F()0，22F(1)10.且由零點(diǎn)定理知存在x[1,1]，使F(x)0.…….……………4分211由F(0)0，在[0,x]上應(yīng)用羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)1f()1…，即(0,x)(0,1)1F()f()10，使…7分第一章函數(shù)與極限函數(shù)和極限都是高等數(shù)學(xué)中最重要、最基本的概念，極值方法是最基本的方法，一切內(nèi)容都將從這二者開始?！?、函數(shù)一、集合、常量與變量、集合：集合是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的全體。通常用大寫字母A、B、C……等來表示，組成集合的各個(gè)事物稱為該集合的元素。若事物a是集合M的一個(gè)元素，就記aM（讀a屬于M）；若事物a不是集合M的一個(gè)元素，就記aM或aM（讀a不屬于M）；集合有時(shí)也簡(jiǎn)稱為集。注1：若一集合只有有限個(gè)元素，就稱為有限集；否則稱為無限集。2：集合的表示方法：來表示，如：A{1,2,3,,(i)、若集合為有限集，就可用列舉出其全體元素的方法10},B{一只貓，一只狗，一只雞}；(ii)、對(duì)無限集，若知道其元素的規(guī)律，也可類似寫出，如：A{1，2，3，}為全體自然數(shù)集，B{2，4，6，}為全體偶數(shù)集；枚舉法(iii)、列不出全體元素或找不到元素規(guī)律的集合，若知其元素有某種性質(zhì)，那么該集合可表示為：A{xx所具有的某種性質(zhì)}，即：有此性質(zhì)的必在A中，且A中的元素必須有此性質(zhì)。如：A{xx35x27x30}；B{xx為我校的學(xué)生}；C{(x,y)點(diǎn)(x,y)在D中}等。：全體自然數(shù)集記為N,全體整數(shù)的集合記為Z,全體有理數(shù)的集合記為Q,全體實(shí)數(shù)的集合記為R。以后不特別說明的情況下考慮的集合均為數(shù)集。4：集合間的基本關(guān)系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有xA，必有xB，就稱A為B的子集，記為AB,或BA(讀B包含A)。顯然：NZQR.若AB,同時(shí)BA,就稱A、B相等,記為A=B。5：當(dāng)集合中的6：不含任何元素的集稱為空集,記為,如：{xx210,xR}=,{x:2x1}=,空集是任何集合的子集,即A。7：區(qū)間：所有大于a、小于b(a＜b)的實(shí)數(shù)組成一個(gè)集合,稱之為開區(qū)間,記為(a,b),即元素重復(fù)時(shí),重復(fù)的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。,b)={xaxb}。同理：[a,b]={xaxb}為閉區(qū)間，a,b{xaxb}和a,b{xaxb}分別稱為左閉右開、左開右閉的區(qū)間，統(tǒng)稱為半開區(qū)間。以上均成為有限區(qū)間，a、b分別稱為左、右端點(diǎn)。對(duì)無窮區(qū)間有：,b{xxb},(a,){xax},(,){xx}R，在不特別要求下，有限區(qū)間、無限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間，用I表示。0.集合{xxa}稱為點(diǎn)a的鄰域，記為8：鄰域：設(shè)a和為兩個(gè)實(shí)數(shù)，且U(a,),a為該鄰域的中心，為該鄰域的半徑，事實(shí)上，U(a,){xaxa}(a,a)。xxa同理：我們稱(,){0}為a的去心鄰域，或a的空心鄰域。Ua9：集合的內(nèi)容很多，其它內(nèi)容(如集合的運(yùn)算)在此不作一一介紹了。2、常量與變量：在自然科學(xué)中，我們會(huì)遇到各種不同的量，然而在觀察這些量時(shí)，發(fā)現(xiàn)有著非常不同的狀態(tài)，有的量在過程中不起變化，保持一定的數(shù)值，此量稱為常量；又有些量有變化，可取各種不同的數(shù)值，這種量稱為變量。【例】擲同一鉛球數(shù)次，發(fā)現(xiàn)鉛球的質(zhì)量、體積為常量，而投擲距離、上拋角、度用力大小均為變量。注1：常量與變量是相對(duì)而言的，同一量在不同場(chǎng)合下，可能是常量，也可能是天或在一年中觀察某小孩的身高；從小范圍和大范圍而言，重力加速度可是常量和變量，然而，一旦環(huán)境確定了，同一量不能既為常量又為變量，二者必居其一。變量，如在一2：常量一般用a,b,c……等字母表示，變量用x,y,u,t……等字母表示，常量a為一定值，在數(shù)軸上可用定點(diǎn)表示，變量x代表該量可能取的任一值，在數(shù)軸上可用動(dòng)點(diǎn)表示，如：x(a,b)表示可代表(a,b)中的任一個(gè)數(shù)。x二、函數(shù)的概念【例】正方形的邊長(zhǎng)與面積S之間的關(guān)系為：Sx2，顯然當(dāng)確定了，S也就確定了。xx這就是說，同一過程中變量之間往往存在著某種內(nèi)在的聯(lián)系。它們?cè)谧裱骋灰?guī)律時(shí)相互聯(lián)系、相互約束著。定義：設(shè)x和y為兩個(gè)變量，，D為一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)每一個(gè)xD，按照一定的法則f變量y總有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，就稱y為x的函數(shù)，記為yf(x).數(shù)集D稱為該函數(shù)的定義域，x叫做自變量，叫做因變量。yfyfx當(dāng)x取數(shù)值xD時(shí)，依法則的對(duì)應(yīng)值稱為函數(shù)()在時(shí)的函數(shù)值。所有函數(shù)xx00yfx值組成的集合W{yyf(x),xD}稱為函數(shù)()的值域。ygxyF(x),su(t)等表示。注1：函數(shù)通常還可用(),2：約定：函數(shù)的定義域就是自變量所能取的，使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值的全體。y(,)[1,1]【例1】sinx的定義域?yàn)?，值域?yàn)?。y12】x[1,)[0,)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椤！纠齲210x1x0的定義域?yàn)?x0【例3】y[1,1]，值域?yàn)閇0,2]。21x【例4】f(x)1的定義域?yàn)?,0)(0,)，從而顯然(,)，h(x)x的定義域?yàn)閤(x)h(x)。3、若對(duì)個(gè)xD，只有每一唯一的一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，就稱函數(shù)yf(x)為單值函數(shù)；若有不y止一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，就稱為多值函數(shù)。如：xy21,x2y21等。以后若不特別聲明，只討y2論單值函數(shù)。4、函數(shù)的表示法有三種：解析法、圖象法、列表法。其中解析法較普遍，它是借助于數(shù)學(xué)式子來表示對(duì)應(yīng)法則，上例均為解析法，注意例3的法則是：當(dāng)自變量在(0,1]上取值，其函數(shù)值x1為x；當(dāng)??；當(dāng)在x[1,0)上取值時(shí)，1x。（這種函數(shù)稱為分段其函數(shù)值為xfx0時(shí)，()22以后經(jīng)常遇見，希望注意！）盡管有幾個(gè)不同的算式，但它們合起來只表示一個(gè)函數(shù)！函數(shù)，在5、對(duì)D中任一固定的，依照法則有一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，以為橫坐，標(biāo)y為縱坐在標(biāo)坐標(biāo)yxx平面上就確定了一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)取我們稱之為函數(shù)yf(x)的圖形。換言之，當(dāng)在遍D中的每一數(shù)時(shí)，便得到一個(gè)點(diǎn)集C{(x,y)yf(x),xD}，xD中變動(dòng)時(shí)，點(diǎn)(x,y)的軌跡就是yf(x)的圖x形?！纠?】書上的幾個(gè)例子。（同學(xué)們自己看）【例6】例3的圖形如下圖三、函數(shù)的幾種特性有界性：設(shè)yf(x)在D上有定義，若對(duì)xD,M0，使得：f(x)M，就稱f(x)在D上有界，否則稱為無界。、函數(shù)的注：1、若對(duì)xD，M，使得f(x)M(f(x)M)，就稱f(x)在D上有上(下)界。f(x)在D上有界f(x)在D上同時(shí)有上界和下界。2、f(x)在D上無界也可這樣說：對(duì)M0，總xD，使得f(x)M。00【例7】上段例1、3、4中的函數(shù)是有界的；例2中的函數(shù)是無界的，但有下界。、函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，若對(duì)x、xI，當(dāng)xx時(shí)總有：1212（1）f(x)f(x)，就稱f(x)在I上單調(diào)遞增，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式f(x)f(x)成立時(shí)，1212就稱f(x)在I上嚴(yán)格單調(diào)遞增。（2）f(x)f(x)，就稱f(x)在I上單調(diào)遞減，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式f(x)f(x)成立時(shí)，1212就稱f(x)在I上嚴(yán)格單調(diào)遞減。注：1、此處的定義與書上有區(qū)別，希望注意！2、這樣的函數(shù)分別稱為單調(diào)函數(shù)和嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。3、調(diào)遞增有時(shí)簡(jiǎn)稱單增、遞增或不減，其它也一樣?！纠?】符號(hào)函數(shù)和取整函數(shù)均為單增函數(shù)，但不嚴(yán)格單調(diào)?！纠?】y1在(0,)上是嚴(yán)格單減函數(shù)。x[1,0)(0,1]【例10】[例3]中的函數(shù)在定義域[1,1]上不是單調(diào)的，但在上是嚴(yán)格單減的，在上是嚴(yán)格單增的。DxD、函數(shù)的奇偶性：設(shè)函數(shù)()的定義域fx為對(duì)稱于原點(diǎn)的數(shù)集，即若，，有xD)若對(duì)xD，有()為偶函數(shù)。f(x)恒成立，就稱f(x)為奇函數(shù)。fxf(x)恒成立，就稱f(x))若對(duì)xD，有()fx【例11】yx2，cosx,yx,是偶函數(shù)，，，，是ysinxysgnxyx3奇函數(shù)。yyxx，ycosxsinx是非奇非偶函數(shù)。311】﹡ln(x1x2)是奇函數(shù)。2【例y注：1、偶函數(shù)的圖形是關(guān)于y軸對(duì)稱的，奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。2、若f(x)是奇函數(shù)，且0D，則必有f(0)0。3、兩偶函數(shù)和為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)和為奇函數(shù)；兩偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)的積也為偶函數(shù)；一奇一偶的積為奇函數(shù)。4、周期性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果l0，使得對(duì)xD，有xlD，且(xl)f(x)恒成立，就稱f(x)為周期函數(shù)，l稱為f(x)的周期。【例12】ysinx,ycosx,ytgx分別為周期為2,2,的周期函數(shù)，yx[x]為周期為1的函數(shù)。注1：若l為f(x)的周期，由定義f(x)的周期，故周期函數(shù)有無窮多個(gè)周期，知2l,3l,4l也都是通常說的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（為什么？）例如：ysin2xcos2x1，設(shè)有最小正周期。2：周期函數(shù)在一每個(gè)周期(akl,a(k1)l)（為任意數(shù)，k為任意常數(shù)）上，有相同的形a狀。四、反函數(shù)f(x)yyWxD()的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，因此，?duì)，必，使得，這樣的x可DW設(shè)fxx能不止一個(gè)，若將當(dāng)作自變量，x當(dāng)作因變量，按函數(shù)的概念，就得到一新函數(shù)(y)，稱yyfxf(x)之為函數(shù)()的反函數(shù)，而叫做直接函數(shù)。WD注1：反函數(shù)(y)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?；x2：由上討論知，即使()為單值函數(shù)，其反函數(shù)卻未必是單值函數(shù)，以后對(duì)此問題還作yfx研究；x3：在習(xí)慣上往往用x表示自變量，表示因變量，因此將(y)中的x與對(duì)換一下，y(x)與x(y)是表示同一函數(shù)的，因?yàn)椋?"沒變，僅自變量與因變量的字母變了，這沒什么關(guān)系。所以說：若yf(x)yyf(x)的反函數(shù)就變成y(x)，事實(shí)上函數(shù)表示函數(shù)關(guān)系的字母的反函數(shù)為x(y)，那么y(x)也是yf(x)的反函數(shù)，且后者較常用；4：反函數(shù)y(x)的圖形與直接函數(shù)yf(x)的圖形是對(duì)稱于yx（證明很簡(jiǎn)單，大家自己看書）；5：有些書上，對(duì)反函數(shù)的定義與此不同，希加與之區(qū)別。yaxb,yx2,yx3的反函數(shù)分別為：xyb,xy,xy3或分別為1【例13】函數(shù)axb,yx,yx3。1a§1、2一、冪函數(shù)形如yx（為常數(shù)）的函數(shù)叫做冪函數(shù)。其定義域較為復(fù)雜，下作一些簡(jiǎn)單的討論：（1）當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?,)；（2）當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?,0)(0,)；（3）當(dāng)為其它有理數(shù)時(shí)，要視情況而定。11】3的定義域?yàn)?,)；【例yx13yx2,yx40,；的定義域?yàn)閥x12的定義域?yàn)?0,)。（4）當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，規(guī)定其定義域?yàn)?0,)，其圖形也很復(fù)雜，但不論取何值，圖形總過（1，1）點(diǎn)，當(dāng)>0時(shí)，還過（0，0）點(diǎn)。二、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)如yax(a0,a1)的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)?,)，其圖形總在軸上方，且過（0，1）點(diǎn)，（1）當(dāng)a1時(shí)，yax是單調(diào)增加的；、指數(shù)函數(shù)：形（2）當(dāng)0a1時(shí)，yax是單調(diào)減少的；以后我們經(jīng)常遇到這樣一個(gè)指數(shù)函數(shù)ye,e的意義以后講，其圖形大致如下圖所示，特別地，xax與yax關(guān)于y軸對(duì)稱。、對(duì)數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)ya的反函數(shù)，記為ylogx(a為常數(shù)，a0,a1),稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，xa(0,)，由前面反函數(shù)的概念知：yax的圖形和ylogx的圖形是關(guān)于對(duì)稱yx其定義域?yàn)閍的，從此，不難得ylogx的圖形，aylogx的圖形總在y軸右方，且過（1，0）點(diǎn)a（1）當(dāng)a1時(shí)，ylogx單調(diào)遞增，且在（0，1）為負(fù)，(1,)上為正；a（2）當(dāng)0a1時(shí)，ylogx單調(diào)遞減，且在（0，1）為正，(1,)上為負(fù)；a特別當(dāng)a取e時(shí)，函數(shù)記為lnx，稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)。y三、三角函數(shù)與反三角函數(shù)、三角函數(shù)三角函數(shù)主要是：正弦函數(shù)：ysinx余弦函數(shù)：ycosx：ytanx：ycotxx(,)x(,)xnn0,1,2,n0,1,2,正切函數(shù)2余切函數(shù)xn正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為周期為2的周期函數(shù)，正切函數(shù)和余切函數(shù)均為周期為的周期函數(shù)。正弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)都是奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)；另外還有兩個(gè)：正割11secx和余割ycscx，其圖形在此不做討論了。cosxsinx、反三角函數(shù)：反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，它們分別為：反正弦函數(shù)：yArcsinx：yArccosx：yArctanx：yArccotxx[1,1]反余弦函數(shù)x[1,1]反正切函數(shù)x(,)x(,)反余切函數(shù)顯然反三角函數(shù)都是多值函數(shù)，單我們可選取其一個(gè)單值分支，叫做主值，選法如下：將yArcsinx限制在[,]上，得一單值函數(shù)，記為yarcsinx，它就是所取主值函數(shù)，22arcsinx叫做主值區(qū)間，顯然，,]2222同理：將yArccosx限制在[0,]上，得yarccosx將yArctanx限制在[,]上，得yarctanx22將yArccotx限制在[0,]上，得yarccotx從圖中不難看出arcsinx和arctanx是單調(diào)遞增的，arccosx和arccotx是單調(diào)遞減的。四、復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)設(shè)yfu()，定義域?yàn)?，Du(x)，定義域?yàn)镈，值域?yàn)閃，且WD，這樣對(duì)于xD21，2122由u(x)可算出函數(shù)值uWD，所以u(píng)D，由yf(u)又可算出其函數(shù)值y，因此對(duì)于121xD，有確定的值y與之對(duì)應(yīng)，從而得一個(gè)以x為自變量，y為因變量的函數(shù)，我們稱之為2以yfu()為外函數(shù)，u(x)為內(nèi)函數(shù)復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)，記為yf((x))，其中u為中間變量。【例1】ysin2x就是yu2和usinx復(fù)合而成；ycosx2就是ycosu和ux注1：并非任何兩函數(shù)都可以復(fù)合的，例如：yarcsinu和u2x2不能復(fù)合；復(fù)合而成。2yu和u1x也不能復(fù)合。2：復(fù)合可推廣到三個(gè)或更多的函數(shù)上去，如：ytan(lnx)2就是ytanu,uv,vlnx復(fù)合成的。223：在函數(shù)復(fù)合中，未必都有yf(u)、u(x)的形式，一般為yf(x)和yg(x)，這時(shí)候就要注意哪個(gè)為外函數(shù)，哪個(gè)為內(nèi)函數(shù)，從而復(fù)合后有yf(x)和yg(x)之分。、初等函數(shù)我們把冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合后所得到的能用一個(gè)解析式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)?！纠?】y1x,y12x,ysin2x,ytan(lnx)2,yarctan11ssiinnxx等都是初等函數(shù)。本教材討論的主要都是初等函數(shù)。五、雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)雙曲正弦：yshxexexx(,)2ychxexex雙曲余弦：x(,)2ythxshxexex雙曲正切：x(,)chxeexx反雙曲正弦：yarshxln(xx21)x(,)x[1,)yln(xx21)取“+”號(hào)為主值）反雙曲余弦：yarchxln(xx21)（多值函數(shù)11x21x由于這類以后用得較少，只要掌握上面的內(nèi)容就行了，其它的此外不細(xì)講了。反雙曲正切：yarthxlnx(1,1)§1、3數(shù)列的極限所謂的數(shù)列，通俗地講，就是將一系列的數(shù)排成一列（排）。在數(shù)學(xué)中，我們可用這樣的話來定義：定義：數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，記為全體自然數(shù)可以xf(n),n1,2,3，由于n從小到大排成一列，因此數(shù)列的對(duì)應(yīng)值也可以排成一列：x,x,x，這就是最常12n列表現(xiàn)形式了，有時(shí)也簡(jiǎn)記為x或數(shù)列中的每一數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第列x。數(shù)n見的數(shù)nn項(xiàng)x稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng)。n【例1】書上用積來近似代替該圓的面積時(shí)，得到數(shù)列圓內(nèi)接正62n1邊形的面,,A,AA（多邊形的面積數(shù)列）12n【例2】長(zhǎng)一尺的棒子，每天截去一半，無限制地進(jìn)行下去，那么剩下部分的長(zhǎng)構(gòu)成一數(shù)列：11121,，通項(xiàng)為。1,,,222223nn11【例3】1,,,231;;1,1,,(1),n1n2,4,6,,2n,;2,,,,n1,;3423n都是數(shù)列，其通項(xiàng)分別為1,(1)n1,2n,n1。nn注：在數(shù)軸上，數(shù)列的每項(xiàng)都相應(yīng)有點(diǎn)對(duì)應(yīng)它。如果將x依次在數(shù)軸上描出點(diǎn)的位置，我們n11能否發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的位置的變化趨勢(shì)呢？顯然，,是無限接近于0的；2n是無限增大2nnn1的；(1)的項(xiàng)是在1與1兩點(diǎn)跳動(dòng)的，不接近于某一常數(shù)；無限接近常數(shù)1。n1n對(duì)于數(shù)列來說，最重要的是研究其在變化過程中無限接近某一常數(shù)的那種漸趨穩(wěn)定的狀態(tài)，這就是常說的數(shù)列的極限問題。n1我們來觀察的情況。從圖中不難發(fā)現(xiàn)n1隨著的增大，無限制地接近1，亦即充nnnn分大時(shí)，n1與1可以任意地接近，即n11可以任意地小，換言之，當(dāng)充分大時(shí)n11nnnn可以小于預(yù)先給定的無論多么小的正數(shù)。例如，取1，由n1n100，100111100nnn1即從第101項(xiàng)開始，以后的項(xiàng)x102,x101103102,都滿足不等式x11，或者100n101102n說，當(dāng)n100時(shí)，有n111。同理，若取，由n11n10000，111n10010000nn10000n1即從第10001項(xiàng)開始，以后的項(xiàng)x10002,x1000210003,都滿足不等式10001n1000110002，說或，當(dāng)n10000時(shí)，有n1111。一般地，不論給定的正數(shù)多么小，11000010000nn總存在一個(gè)正整數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，有n11。這就充分體現(xiàn)了當(dāng)越來越大時(shí)，n1無nnnn1時(shí)，的極限。限接近1這一事實(shí)。這個(gè)數(shù)“1”稱為當(dāng)nn成立，定義：若對(duì)0（不論多么?。傋匀粩?shù)，使得當(dāng)時(shí)都有xaN0nNn這是就稱常數(shù)x的極限，或稱數(shù)列x收斂于a是數(shù)列a，記為limxa，或xannnnn（n）。如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。2,,,,n1,收斂于1。34【例4】證明數(shù)列23nn11111，所以取N，只須n證明：對(duì)0，要使得nN，當(dāng)時(shí)，有nnn1n11。11，所以limnnnn無任何限制。然而，盡管具有任意性，注1：是衡量x與a的接近程度的，除要求為正以外，n另外，2但一經(jīng)給出，就應(yīng)視為不變。（具有任意性，那么,2,等也具有任意性，它們2也可代替）而變大的，是的函數(shù)，2：N是隨的變小即N是依賴于的。在解題中，N等于多少關(guān)系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個(gè)N，使得當(dāng)nN時(shí)，有xa就行了，而n不必求最小的N。n2a2例5】證明limn1。nn1,因?yàn)閍21na2明：對(duì)10，因?yàn)?2a22a2n)nn(n1）nnnn2a2a0，顯然有l(wèi)imn（此處不妨設(shè)a0，若nnaa所以要使得21，只須2就行了。2nna2所以取N[a]，當(dāng)2因?yàn)橛?a即有n.nN時(shí)，nn2a2a21。n1，所以limn2nn注3：有時(shí)找比較困難，這時(shí)我們可把xa適當(dāng)?shù)刈冃?、放大（千萬不可縮?。。?，若放大后Nn小于，那么必有xa。n【例3】設(shè)q1，證明1,q,q2,,qn1,的極限為0，即limq0。n1n0，（因?yàn)樵叫≡胶?，不妨設(shè)1），q0證明：，結(jié)論是顯然的，現(xiàn)設(shè)0q1，對(duì)若要使得qn10，即q，只須兩邊放對(duì)數(shù)后，(n1)lnqln成立就行了。因?yàn)閚1lnn1ln0q1，所以lnq0，所以n1。lnqlnqln取N1，所以當(dāng)qnN時(shí)，有q0成立。n1ln收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)：定理1：（唯一性）數(shù)列x不能收斂于兩個(gè)不同的極限。n證明：設(shè)和b為x的任意兩個(gè)極限，下證ab。annN時(shí)，有xa…(1)對(duì)0，必分別自然數(shù)N,N，當(dāng)121由極限的定義，n當(dāng)nN時(shí)，有xb…(2)令NMaxN,N，當(dāng)nnN時(shí)，（1），（2）同時(shí)成立。212現(xiàn)考慮：ab(xb)(xa)xbxa2nnnn由于a,b均為常數(shù)ab，所以x的極限只能有一個(gè)。n注：本定理的證明方法很多，書上的證明自己看?！纠?】證明數(shù)列x(1)n1是發(fā)散的。nx收斂，由唯一性，設(shè)limxa，按定義，對(duì)1,自然數(shù)，當(dāng)nNnN證明：（反證法）假設(shè)n2nxxxaxa111，而x，x總是一個(gè)22時(shí)，xa1，考慮2n1nn1nnnn1“1”，一個(gè)“”，所以xx1,所以矛盾，1n1n所以x(1)n1發(fā)散。n定理2.（有界性）若數(shù)列x收斂，那么它一定有界，即：對(duì)于數(shù)列x，若M，對(duì)一切正數(shù)nnn，有xM。n1，所以當(dāng)N,當(dāng)nN時(shí)，xanN時(shí)，證明：設(shè)limxa，由定義對(duì)1,自然數(shù)nnnxxaa1a，令MMax{x,xx,1a}，顯然對(duì)一切n，xM。12Nnnn注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收斂。例如數(shù)列x(1)n1是有界的（x1），但函nn數(shù)收斂。此點(diǎn)希望注意！§1、4函數(shù)的極限xf(n)，因此，數(shù)列是函數(shù)的一種特性情由上節(jié)知，數(shù)列是自變量取自然數(shù)時(shí)的函數(shù)，n況。此處講的是函數(shù)的極限，就是數(shù)列極限意義的。它主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一、自變量任意x接近于有限值x，或講趨向（于）x（記xx）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)000值f(x)的變化情況。x二、當(dāng)自變量的絕對(duì)x值x無限增大，或講趨向無窮大（記）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)的變化情況。一、自變量趨向有限值x時(shí)函數(shù)的極限0與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值x時(shí)的函數(shù)極限可理解為：當(dāng)xx時(shí)，f(x)A00（A為某常數(shù)），即當(dāng)小，亦即對(duì)于預(yù)先xx時(shí)，f(x)與A無限地接近，或說f(x)A可任意0任意給定的正整數(shù)（不論多么?。?，當(dāng)x與x充分接近時(shí)，可使得f(x)A小于。用數(shù)學(xué)的0語言說，即定義1：如果對(duì)（不論它多么?。?，使得對(duì)于適合不等式0xx000x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足：f(x)A，就稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)xx時(shí)f(x)f(x)A0的一切的極限，記為limf(x)A，或f(x)A（當(dāng)xx時(shí)）0n注1：“x與x充分接近”在定義中表現(xiàn)為：，有0xx，即。顯然0xU(x,)000x與x接近就越好，此與數(shù)列極限中的N所起的作用是一樣的，它也依賴于。越小，0一般地，越小，相應(yīng)地也小一些。2：定義中0xx表示xx，這說明當(dāng)xx時(shí)，f(x)有無限與0f(x)在x點(diǎn)（是否有）0000的定義無關(guān)（可以無定義，即使有定義，與f(x)值也無關(guān)）。00。當(dāng)0，作兩條平行直線yA,yA。由定義，對(duì)此,3：幾何解釋：對(duì)xxx，且xx時(shí)，有Af(x)A。即函數(shù)yf(x)的圖000f(x)可能除外）。換言之：當(dāng)形夾在直線yA,yA之間（xU(x,)00時(shí)，f(x)U(A,)。從圖中也可見不唯一！【例1】證明limCC（C為一常數(shù)）xx0證明：對(duì)0，可取任一正數(shù)，當(dāng)0xx時(shí)，f(x)ACC0，0所以limCC。xx0【例2】證明lim(axb)axb(a0)0xx0(axb)(axb)a(xx)axx，只須證明：對(duì)0，要使得000xx時(shí)，有(axb)(axb)。xx，所以取0顯然當(dāng)0aa00【例3】證明limx21。x12x2x132x21xx132x133(2x1)2x121x2a1,證明：對(duì)，因?yàn)樗?x10.2x1[此處x1附近的情況，故不妨限制x為0x11，即2，x1]。0x，即考慮0x11xx12,只須3(2x1)3因?yàn)椋?11,x232xx12x1，即x13。取min{1,3}（從圖形中解釋），當(dāng)0x1時(shí)，有3x2122x2x1。3定理1：（保號(hào)性）設(shè)limf(x)A，xx0A0(A0)，則0，當(dāng)f(x)0(f(x)0)。（i）若xU(x,)時(shí)，0（ii）若f(x)0(f(x)0)，必有A0(A0)。A0，當(dāng)A0的情形。取，由定義，對(duì)此,xU(x,)時(shí)，證明：（i）先證20AAAA3Af(x)AAf(x)Afx()0。，即022222A當(dāng)A0時(shí)，取，同理得證。2（ii）(反證法)若A0，由(i)f(x)0矛盾，所以A0。當(dāng)f(x)0時(shí)，類似可證。注：(i)中的“”，“”不能改為“”，“”。在(ii)中，若f(x)0，未必有A0。在函數(shù)極限的定義中，x的左邊（即從小于x的方向）趨于x，也從x的右邊（即x是既從0000從大于x的方向）趨于x。但有時(shí)只能或需要x的極限。如分段函數(shù)及在x從x的某一側(cè)趨于0000區(qū)間的端點(diǎn)處等等。這樣，就有必要引進(jìn)單側(cè)極限的定義：xx時(shí)]，有時(shí)，[當(dāng)00定義2：對(duì)，，當(dāng)x0xxxf(x)A.這時(shí)000fx(0)A。就稱為當(dāng)Af(x)xx時(shí)的左[右]極限，記為limf(x)A或0xx00[limf(x)A或f(x0)A]。0xx00定理2：limf(x)Alimf(x)limf(x)A。xx0xx00xx00【例4】limsgn(x)不存在。limsgn(x)1,limsgn(x)1，因?yàn)?1，所以x00x00x0x0x01【例5】設(shè)f(x)，求limf(x)。x02x1解：顯然limf(x)lim11x00x00limf(x)lim(2x1)1x00x00因?yàn)閘imf(x)limf(x)1，所以limf(x)1。x00x00x0二、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限0,X(a)，當(dāng)xX時(shí)，有f(x)A，定義3：設(shè)f(x)當(dāng)xa(a0)時(shí)是有定義的，若對(duì)A為f(x)當(dāng)limf(x)A或f(x)A（當(dāng)x時(shí)的極限，記為x時(shí)）。就稱x注1：設(shè)f(x)A，就稱f(x)A（當(dāng)x）（f(x)在[a,),((,b])上有定義，若對(duì)0,X0，當(dāng)xX(xX)時(shí)，有A為f(x)當(dāng)x(x)時(shí)的極限，記為limf(x)A，或xlimf(x)A，或f(x)A（當(dāng)x））。x2：limf(x)Alimf(x)limf(x)A。xxx3：若limf(x)A，就稱yA為yf(x)的圖形的水平漸近線（若limf(x)A或xxlimf(x)A，有類似的漸近線）。xsinx0?！纠?】證明limxxsinxsinx1sinx11x0，因?yàn)?，所以要使得，只須x，證明：對(duì)0xxxx1xX時(shí)，有，所以limsinx0。xsinx0故取X，所以當(dāng)xx§1、5無窮小與無窮大一、無窮小極限為零，就稱f(x)為當(dāng)無窮小，即若f(x)當(dāng)xx或x時(shí)的xx或x時(shí)的00有定義1：對(duì)0,若0(X0)，使得當(dāng)0xx(xX)時(shí)，有f(x)成立，就稱f(x)0為當(dāng)xx(x)時(shí)的limf(x)0(limf(x)0)。無窮小，記為0xx0x注1：除上兩種之外，還有x,x,xx0,xx0的情形。002：無窮小不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)特殊的函數(shù)（極限為0），不要將其與非常小的數(shù)混淆，因?yàn)槿我怀?shù)不可能任意地小，除非是0函數(shù)，由此得：0是唯一可作為無窮小的常數(shù)?！纠?】因?yàn)閘im(2x4)2240，所以2x4當(dāng)x2時(shí)為無窮?。粁2sinxsinxlim0x同理：，所以當(dāng)時(shí)為無窮小，xxx而lim(2x4)40，所以2x4當(dāng)x0時(shí)不是無窮小。x0定理1：當(dāng)自變量在同一變化過程xx（或x）中時(shí)：0（i）具有極限的函數(shù)等于其極限與一個(gè)無窮小之和，即：A為f(x)的極限f(x)A為無窮小。（ii）若一函數(shù)可表示為一常數(shù)與無窮小之和，那么該常數(shù)就是其極限（證明在下一節(jié)）。二、無窮大x時(shí)f(x)，就稱f(x)為當(dāng)xx或xx或0若當(dāng)x時(shí)的無窮大。0M0(X定義2：若對(duì)0,0xx(xX)時(shí)，有，使得當(dāng)f(x)M，就稱f(x)0)0當(dāng)xx(x)時(shí)的無窮大，記作:limf(x)(limf(x))。0xx0x注1：同理還有f(x),f(x)時(shí)的定義。2：無窮大也不是一個(gè)數(shù)，不要將其與非常大的數(shù)混淆。3：若limf(x)或limf(x)，按通常意義將，的極限不存在。f(x)xx0x11【例2】可證明lim，所以當(dāng)x0時(shí)為無窮大。x2x2x0定理2：當(dāng)自變量在同一變化過程中時(shí)，1（i）若f(x)為無窮大，則為無窮小。f(x)1f(x)為無窮小，且f(x)0，則為無窮大。f(x)（ii）若（證明自己看）§1、6極限運(yùn)算法則由極限定義來求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。定理1：有限個(gè)無窮小的和仍為無窮小，即設(shè)lim0,lim0lim()0（證明在后面）。注1：與(x)，而不是常數(shù)。xx及都表示函數(shù)u(x)與u2：“l(fā)im”下放沒標(biāo)自變量的變化過程，這說明對(duì)x均成立，但須同一過程。0定理2：有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即設(shè)有界，lim0limu0。u證明：證明xx時(shí)的情況，設(shè)函數(shù)在x的某鄰域U(x,)內(nèi)有界，即M0，當(dāng)xU(x,)u0001010,0()，1時(shí)，有uM，又設(shè)為當(dāng)0xx時(shí)的無窮小，即lim0，故對(duì)xx0當(dāng)xU(x,)時(shí)，有uuMMM0limu0，即為無窮??；同理可證時(shí)的情形。ux所以xx01：常數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即若為常數(shù)，k0。0lim推論k2：有限個(gè)無窮小的乘積仍為無窮小，設(shè)lim推論lim0lim()0。limlimn12n12定理3：若limf(x)A,limg(x)B，則lim[f(x)g(x)]lim[f(x)g(x)]ABlimf(x)limg(x)。存在，且0,0，當(dāng)0xx時(shí)，101fxgxAB，過程為lim[()()]xx，對(duì)0證明：只證有f(x)A，對(duì)此，20，當(dāng)0xx時(shí)，有g(shù)(x)B，取22020xx時(shí)，有0min{,}，當(dāng)21(f(x)g(x))(AB)(f(x)A)(g(x)B)f(x)Ag(x)B22所以lim(f(x)g(x))AB。xx0其它情況類似可證。注1：本定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形。2：在本定理中，設(shè)limf(x)A,g(x)A(limg(x)A)lim(f(x)A)AA0，反之，