勾股定理與幾何最值問題

關于勾股定理與幾何最值問題第1頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

你對剛才動畫是怎樣理解的？看了之后你想到了什么？

我思考,我進步?jīng)]有思考，就沒有進步第2頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月小村民中

李艷玲第3頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學的靈魂是什么？

——數(shù)學思想第4頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學家的智慧：有人提出了這樣一個問題：“假設在你面前有煤氣灶，水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水，應當怎樣去做？”第5頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月這就是匈牙利著名數(shù)學家羅莎·彼得在他的名著《無窮的玩藝》中，通過一個生動有趣的笑話，來說明數(shù)學家是如何用化歸的思想方法解題的。追問：“如果其他的條件都沒有變化，只是水壺中已經(jīng)有了足夠的水，那么你又應該怎樣去做？”物理學家的答案：“點燃煤氣，再把水壺放上去。”數(shù)學家的答案：“只須把水壺中的水倒掉，問題就轉化為前面所說的問題了”。數(shù)學家的智慧：第6頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

所謂化歸思想，就是將一個較為復雜的問題Ａ通過轉化變形，使其歸結為另一個較為簡單的問題Ｂ，從而使問題Ａ得到解決．

常用的化歸方法有：立體問題轉化為平面問題；折線問題轉化為直線問題；多元問題轉化為一元問題，高次問題轉化為低次問題…化歸第7頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月立體圖形中的最短距離問題第8頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月螞蟻怎樣走最近

立體圖形中的最值問題1第9頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月AB101010BCA10

立體圖形中的最值小結：把正方體表面展開，就把立體圖形中的問題轉化為平面問題解決。問題1第10頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月拓展1：正方體長方體把問題1中的正方體變?yōu)殚L方體，長方體的長為4cm,寬為2cm，高為1cm的長方體，螞蟻從A到B沿著表面需要爬行的最短路程又是多少呢？AB第11頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月提示：螞蟻由A爬到B過程中最短的路徑有多少種？(1)經(jīng)過前面和上底面;(2)經(jīng)過前面和右側面;(3)經(jīng)過左側面和上底面.AB24AB1C421BCA421BCA第12頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

怎樣才能在最短的時間內，找到長方體表面上兩點之間的最短路線？

沒有歸納總結,就沒有提高問題拓展：

設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，且a＞b＞c，則小螞蟻從A爬到B的最短路徑是提示：；比較的大小即比較ab、bc、ac的大小。第13頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月拓展2長方體圓柱體如圖所示，有一個高為12cm，底面半徑為3cm的圓柱，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到圓柱上底面上與A點相對的B點處的食物，問這只螞蟻沿著側面需要爬行的最短路程為多少厘米？(的值取3)AB

立體圖形中的最值AB第14頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

沒有歸納總結,就沒有提高

立體圖形上兩點間的最短問題一般都是通過把立體圖形的表面展開成平面圖形，再利用“兩點間距離最短”的方法解決。方法指導：第15頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月聰明的葛藤

葛藤是一種刁鉆的植物，它自己腰桿不硬，為了得到陽光的沐浴，常常會選擇高大的樹木為依托，纏繞其樹干盤旋而上。如圖(1)所示。葛藤又是一種聰明的植物，它繞樹干攀升的路線，總是沿著最短路徑——螺旋線前進的。若將樹干的側面展開成一個平面，如圖（2），可清楚的看出葛藤在這個平面上是沿直線上升的。（1）（2）數(shù)學奇聞第16頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月有一棵樹直立在地上，樹高2丈，粗3尺，有一根葛藤從樹根處纏繞而上，纏繞7周到達樹頂，請問這根葛藤條有多長？（1丈等于10尺）ABC20尺3×7=21（尺）聰明的葛藤第17頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

生活中常會遇到最短距離問題，建設中常常會遇到最佳位置的選擇問題。例如:將軍飲馬（古代)問題，

抽水站的最佳位置，

建橋問題…這些問題都可以化歸為：平面中線段和的最值問題。第18頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

問題.如圖，在河邊有A、B兩個村莊，要在河邊建立水泵站，為節(jié)約材料，要使它到兩個村莊的距離最短，請你確定水泵站的位置？AB河邊●●

平面圖形中的線段最值2第19頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月進一步思考（將軍飲馬）如圖，在河邊有A、B兩個村莊，要在河邊建立水泵站，為節(jié)約材料，要使它到兩個村莊的距離最短，請你確定水泵站的位置？C河邊A1●●AB利用對稱：將兩條線段的和轉化到一條直線上，運用兩點之間線段最短求最小值

平面圖形中的最值同側兩點向異側轉化第20頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

活動二如圖，河流與公路所夾的角是一個銳角，某公司A在銳角內．現(xiàn)在要在河邊建一個碼頭C，在公路邊D修建一個倉庫，工人們從公司出發(fā)，先到河邊的碼頭卸貨，再把貨物轉運到公路邊的倉庫里去，然后返回到A處，問倉庫、碼頭各應建在何處，使工人們所行的路程最短．河流公路●A公司●B●C

平面圖形中的最值第21頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月河流公路●A公司●A1●A2c●●D活動二

抽象成數(shù)學模型：點A在∠MON內，在邊MO和NO上各找一點B、C使AC+AB+BC（即⊿ABC的周長）的距離最短。利用對稱：將三角形三邊和，轉化到一條直線上，用兩點之間線段最短求最小值第22頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例：如圖正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的點，BE=3，點P是對角線BD上一動點，（1）則EP+PC的最小值為

。ABECDPP第23頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：如圖正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的點，BE=3，點P是對角線BD上一動點，F(xiàn)是CD上的點，（2）若CF=6，則EP+PF的最小值為

。ABECDPF第24頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：如圖正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的點，BE=3，，F(xiàn)是CD上的點，(3)則?AFF的最小值為

。ABECDF第25頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)如圖，如圖正方形ABCD中，AB=8，∠DAC的平分線交DC于點F，若點M、N分別是AD和AF上的動點，則NM+ND的最小值是

。MNF第26頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月AOBPMNA1B1第27頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2、如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，AD是BC邊中線,M是AD上一動點,E是AC邊上一點，若AE=2，EM+CM最小值是

。

方法總結：求兩條線段和最小時，做其中一個定點關于直線的對稱點，連接對稱點與另一個定點，與這條直線的交點即為所求做的動點，利用軸對稱的性質轉化為把兩條線段之和轉化為一條線段。第28頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2、如圖，在銳角△ABC中，AB=4

∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于D，M、N分別是AD和上的動點，則BM+MN的最小值是

。總結：求一條線段的最小值通常作垂線，利用垂線段最短。在“練一練”第二題綜合運用軸對稱的性質和垂線段最短。第29頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月活動一：甲、乙兩村之間隔一條河，如圖所示．現(xiàn)在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應修在何處？

平面圖形中的最值第30頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月活動一：甲、乙兩村之間隔一條河，如圖所示．現(xiàn)在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應修在何處？

平面圖形中的最值●●BA第31頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月B●AB1●c●●D●活動一：甲、乙兩村之間隔一條河，如圖所示．現(xiàn)在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應修在何處？利用平移：將折線和的最小值，轉化到一條直線上，用兩點之間線段最短求最小值第32頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

活動二

抽象成數(shù)學模型：點A在∠MON內，在邊MO和NO上各找一點B、C使AC+AB+BC（即⊿ABC的周長）的距離最短。NM●A公司●B●CO提示一：求三角形周長的最小值可轉化為一條直線上第33頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月活動三：根據(jù)上述原理回答：在兩條互相垂直的公路a、b旁有兩個居民小區(qū)A、B，現(xiàn)要在這兩條公路旁建立兩奶站向兩居民區(qū)供奶，應建在何處，使得兩居民小區(qū)A、B與這兩個奶站所圍成的四邊形的周長最??？

我思考,我進步變式思考活躍思維＊＊BA公路a公路bC●D●第34頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月活動三

抽象成數(shù)學模型：在直線a和直線b上各找一點C、D，使AB+AD+CD+BC（即圍成的四邊形）的最小值。

我思考,我進步變式思考活躍思維＊＊BA公路a公路bC●D●提示一：AB為定值，只需求折線AD、CD、BC和的最小值。第35頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

我思考,我進步變式思考活躍思維＊＊BA公路a公路bB1A1CD利用對稱：三邊和轉化到一條直線上，用兩點之間線段最短求最小值活動四

抽象成數(shù)學模型：在直線a和直線b上各找一點C、D，使AB+AD+CD+BC（即圍成的四邊形）的最小值。第36頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月化歸方法小結親愛的同學們，你們會運用這個數(shù)學思想了嗎？客觀問題抽象數(shù)學化數(shù)學問題找準目標模型把問題化歸成模型數(shù)學模型得解運用模型求解第37頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

歸納總結反思本節(jié)課我們學會了什么，我們會在中考中運用它嗎？寄語：思想指導方法，方法解決問題；學會思考，學會創(chuàng)造