數(shù)理方程復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)角度微分積分方程偏微分方程波動方程(雙曲型偏微分方程)恒定場方程(橢圓型偏微分方程)輸運(yùn)方程(拋物型偏微分方程)定解問題：邊界條件和初始條件反映了具體問題的特定環(huán)境和歷史，也即個性。在數(shù)學(xué)上，邊界條件和初始條件合稱為定解條件。把在給定的定解條件下求解數(shù)學(xué)物理方程稱為數(shù)學(xué)物理定解問題或簡稱為定解問題。2021/5/91三類基本方程在直角坐標(biāo)系中的表示一、波動方程二、熱傳導(dǎo)方程三、拉普拉斯方程2021/5/92

定解問題的適定性：解的存在性、解的唯一性和解的穩(wěn)定性；

若一個定解問題存在唯一且穩(wěn)定的解，則此問題稱為適定的。定解問題＝泛定方程+定解條件邊界條件確定本征值和本征函數(shù)要求掌握三類邊界條件的常見例子（見第一章課件，如邊界吸熱，放熱，絕熱，邊界不受外力，自由冷卻等）以及初始條件的表述方法。初始條件確定級數(shù)疊加系數(shù)2021/5/931、線性二階偏微分方程的一般形式該方程為齊次的該方程為非齊次的數(shù)學(xué)物理方程的分類

方程為雙曲型方程為拋物型方程為橢圓型2021/5/94行波法一、行波法主要用來求解無界區(qū)域內(nèi)波動方程的定解問題——達(dá)朗貝爾公式2021/5/95對無限長的弦的自由振動、無限長桿的自由縱振動、無限長理想傳輸線上電流和電壓變化而言，任意擾動總是以行波的形式分為兩個方向傳播出去，波速為，也即:以速度沿負(fù)方向移動的行波以速度沿正方向移動的行波通解的物理意義：

2021/5/96三維達(dá)朗貝爾公式物理意義：（1）空間任一點(diǎn)M在任意時刻t>0的狀態(tài)完全由以該點(diǎn)為心，at為半徑的球面上初始狀態(tài)決定；（2）三維空間的局部有界域內(nèi)的初始擾動導(dǎo)致空間各點(diǎn)在有限時段受擾，無持續(xù)后效；（3）三維空間局部初始擾動的傳播有清晰的波前與波后。2021/5/97二、一般的二階齊次線性偏微分方程特征線的求法：其特征方程為：其特征方程的解即為特征線方程：如2021/5/98雙曲型方程過其中每一點(diǎn)有兩條不同的實的特征線橢圓型方程過其中每一點(diǎn)不存在實的特征線拋物型方程過其中每一點(diǎn)有一條實的特征線三、傅里葉級數(shù)2021/5/99傅里葉變換式傅里葉逆變換式復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換2021/5/910基本思想：通過分離變量，把偏微分方程分解成幾個常微分方程，其中的常微分方程帶有附加條件而構(gòu)成本征值問題。分離變量(傅立葉級數(shù))法要求能熟練應(yīng)用分離變量法求解波動方程，熱傳導(dǎo)方程，拉普拉斯方程（矩形區(qū)域和圓形區(qū)域）的定解問題。2021/5/911解題步驟:邊界是否齊次寫出本征值、本征函數(shù)、待求物理量的傅立葉級數(shù)展開式邊界齊次化寫出定解問題方程非齊次項和初值條件的級數(shù)展開代入原泛定方程得到另一變量的微分方程和初值寫出解的表達(dá)式和系數(shù)2021/5/912邊界齊次化（考點(diǎn)）2021/5/9132021/5/914邊界條件（四種）：2021/5/915波動方程：熱傳導(dǎo)方程：2021/5/916拉普拉斯方程：1、矩形區(qū)域：2、圓域（圓盤、圓環(huán)區(qū)域）（重點(diǎn)）：2021/5/917若研究區(qū)域包括圓心，必須考慮該自然邊界條件。滿足有界性條件的通解為：在求疊加系數(shù)時，要善于利用初始條件，注意比對等號兩邊的系數(shù)，達(dá)到化簡疊加系數(shù)的目的.2021/5/918求解非齊次方程—特征函數(shù)法2021/5/919將V（x,t）按W（x,t）的本征函數(shù)進(jìn)行展開，如：令：若表達(dá)式與x無關(guān)或可以寫成關(guān)于x的正余弦形式，不用展開，否則，也需要按W的本征函數(shù)展開。2021/5/920將展開式代入原方程，注意等號兩邊的比對，代入初始條件，化簡疊加系數(shù)。具體內(nèi)容參見課件中相關(guān)例題。本部分重點(diǎn)復(fù)習(xí)第三章課件中倒數(shù)第二個例題。2021/5/921格林函數(shù)主要掌握使用格林函數(shù)求解三維拉普拉斯方程1、熟記第一格林公式和第二格林公式----第一格林公式----第二格林公式2021/5/9222拉普拉斯方程的鈕曼問題有解的必要條件3拉普拉斯方程解的唯一性問題結(jié)論狄利克雷問題在原定解問題中的解是唯一確定的；

鈕曼問題的解在相差一個常數(shù)下也是唯一確定的.4、三維拉普拉斯方程的基本解.或2021/5/923（2）、二維拉普拉斯方程的基本解.使用鏡像法求上半空間內(nèi)的格林函數(shù)在狄利克雷問題中2021/5/924為上半空間的格林函數(shù).球域內(nèi)的格林函數(shù)：具體內(nèi)容參見課件上相關(guān)例題。2021/5/925貝塞爾函數(shù)在討論圓盤區(qū)域內(nèi)瞬時溫度分布問題中遇到的n階貝塞爾方程做代換,n階貝塞爾方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.熟記！熟記！2021/5/926貝塞爾函數(shù)的級數(shù)解法n階貝塞爾方程的一個特解熟記！2021/5/927或當(dāng)n不為整數(shù)時,和線性無關(guān)．n階貝塞爾方程的通解為另兩個特解2021/5/928當(dāng)n為整數(shù)時，有：

當(dāng)n為整數(shù)時,與線性相關(guān)n階貝塞爾方程通解只可寫為貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)：1有界性

2021/5/929n為偶數(shù)時，為偶函數(shù)n為奇數(shù)時，為奇函數(shù)性質(zhì)2奇偶性

性質(zhì)3遞推性（大題考點(diǎn)）具體內(nèi)容參見課件上相關(guān)例題2021/5/930貝塞爾方程的本征值為與本征值對應(yīng)的本征函數(shù)為：2021/5/931稱為貝塞爾函數(shù)的模。傅立葉-貝塞爾級數(shù)2021/5/932往年考題2021/5/933定解問題的適定性指的是___________________________。1．定解問題中的定解條件包含________________________，2.邊值問題

的固有值為_______

，_________

，n=_____________。固有函數(shù)為2021/5/934先求出對應(yīng)的齊次方程滿足齊次邊界條件的固有函數(shù)系，為_________，再設(shè)u(x,t)=______________________，將自由項按此函數(shù)系展開為__________，一起代入原方程，利用初始條件，求出待定函數(shù)，最后得u(x,t)=_______________。3.對于非其次方程的定解問題通常采用固有函數(shù)法求解，比如對定解問題2021/5/9355.貝塞爾方程的通解可表示為

_____________

。=

，

=_________________________________________。6.第一類貝塞爾函數(shù)二、用格林函數(shù)法求解球域內(nèi)拉普拉斯方程的狄利克雷問題：

（10分）

2021/5/936四、（12分）求解下列定解問題三、（12分）求解熱傳導(dǎo)方程定解問題

2021/5/937五、（12分）求下列