《工程力學(xué)》第7~8講平面任意力系

工程力學(xué)1任課教師戴勇

第三章主要研究平面力系的簡化和平衡問題。

2回顧第一章構(gòu)件靜力學(xué)基礎(chǔ)力的基本概念和公理（四公理+二推論），約束類型，構(gòu)件的受力圖等。第二章平面匯交力系和力偶系

力的投影和力的分解，平面匯交力系的合成與平衡，力矩和力偶，平面力偶系的合成與平衡。第三章

平面任意力系§3.1平面任意力系的簡化一、平面任意力系向一點簡化

為了便于計算或工程實際的需要，需要在一個平面內(nèi)將力系簡化到一個特定的（也是所謂的任意點）點——“O”上。它的理論根據(jù)是“力的平移定理”。3根據(jù)力的“平移定理”

原力系＝新的匯交力系+附加力偶系新的匯交力系+附加力偶系＝合力+附加合力偶對于整個力系而言，則有：FR’=F1+F2+…+Fn=∑Fi

（簡稱主矢——它與簡化中心位置無關(guān)）其在X、Y方向上的大?。?/p>

FRX’=∑FiXFRY’=∑FiY則主矢的大小和方向：5與平面匯交力系相同？同理：根據(jù)平面力偶理論，附加的力偶系可以合成為一個合力偶，其力偶矩為：MO=M1O+M2O+…+MnO=∑MO（Fi）

（簡稱主矩——它與簡化中心位置有關(guān)）6總結(jié)：原力系向其所在平面內(nèi)任一點“O”簡化，其結(jié)果是得到一個與原力系合力等大的主矢（各力的矢量和）和一附加主矩（各力對“O”之矩的代數(shù)和）。主矢與簡化中心位置無關(guān)，主矩與簡化中心位置有關(guān)。二、平面任意力系簡化結(jié)果的分析四種結(jié)果討論：1、FR’≠0，MO=0。原力系正好簡化為一合力。（物體系在力系作用下可移動，但不能轉(zhuǎn)動）。2、FR’=0，MO

≠0。原力系的合力為零。（物體系在力系作用下不可移動，但可轉(zhuǎn)動）7

3、FR’≠0，MO

≠0。

此時力系沒有簡化至最簡單形式，可以采用如圖形式將力系簡化成一個主矢。8

4、FR’=0MO=0

原力系的合力與附加力偶矩均為零。整個物體系處于平衡狀態(tài)。這個結(jié)論在后面的學(xué)習(xí)中將大量用到。9注意：此時僅說明合力為零，并不說明構(gòu)件不受力的作用?！?.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用一、一力矩式當(dāng)：FR’=0

MO=0。10

這是一組獨立的方程式，從數(shù)學(xué)視角分析，可解得三個未知數(shù)。

該方程組又稱“一力矩式”。顯然可得：平面圖形上各力及力偶對“O”之矩的代數(shù)和為零。解：1、選研究對象——AB桿11G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉桿CB的拉力和鉸鏈A的約束力。2、畫受力圖（CB是二力桿，A點是固定鉸支座）3、列平衡方程（★一步解一個未知量）∑MA（F）＝0（得F）∑FX=0（得NAX）∑FY=0

（得NAY）12G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉桿CB的拉力和鉸鏈A的約束力。3、列平衡方程（★一步解一個未知量）∑MA（F）＝0（得F）0×NAX+0×NAY+0×Fcos300+6Fsin300–3G–4Q=0（正號表示原所設(shè)方向與實際吻合）F=（3G+4Q）/6sin300=（3×4000+4×12000）/（6×0.5）=20000N=20KN13G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉桿CB的拉力和鉸鏈A的約束力。故

NAX=Fcos300=20×0.866=17.32KN3、列平衡方程（★一步解一個未知量）∑FX=0（或?qū)憽芚=0）（得NAX）NAX—Fcos300＝0注意：G、Q和NAY在X軸上的投影為零。今后遇類似情況，

這些力不在平衡方程中出現(xiàn)。14G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉桿CB的拉力和鉸鏈A的約束力。NAY=G+Q—Fsin300=4+12—20×0.5=6KN3、列平衡方程（★一步解一個未知量）∑FY=0（或?qū)憽芛=0）

（得NAY）NAY+Fsin300—G—Q=0解：1、選研究對象——AB桿15G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉桿CB的拉力和鉸鏈A的約束力。2、畫受力圖（CB是二力桿，A點是固定鉸支座）3、列平衡方程（★一步解一個未知量）∑MA（F）＝0（得F）∑FX=0（得NAX）∑FY=0

（得NAY）總結(jié)討論：16G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉桿CB的拉力和鉸鏈A的約束力。

當(dāng)平面任意力系平衡時，各力在X軸、Y軸上的投影的代數(shù)和為零；各力對任一點“O”的力矩的代數(shù)和為零。（投影和力矩都為零）“一力矩式”表示什么？∑FX=0

；∑FY=0

；∑MA（F）＝0二、二力矩式∑MA（F）＝0，

∑MB（F）＝0，

∑FX＝0。力的投影軸X軸線不能與AB的連線垂直。17×圖（1）符合上邊三式要求，但仍有可能有一個通過A、B點的力存在(d=0)。此時力系并不平衡，故有上述要求！如果選Y為投影軸能否得到NAX？∑MB（F）＝0（得NAY）

∑MA（F）＝0（得F）

選Y為投影軸（Y軸垂直AB連線）∑FY=0（得NAX？）。18G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉桿CB的拉力和鉸鏈A的約束力。

三、三力矩式∑MA（F）＝0，

∑MB（F）＝0，

∑MC（F）＝0。

A、B、C不能連成一直線！19×圖（1）符合上邊三式要求，但仍有可能有一個通過A、B、C點的力存在(d=0)。此時力系并不平衡，故有上述要求！同理：∑MA（F）＝0（得F）

∑MB（F）＝0（得NAY）

∑MC（F）＝0（得NAX）20G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉桿CB的拉力和鉸鏈A的約束力。討論：

能在AB桿上找一個矩心求NAX嗎？“三力矩式”要求三個矩心不能連成一直線！解：1.取小車為研究對象畫受力圖2.建立坐標(biāo)系列平衡方程求約束力

例3-4

圖示為高爐加料小車的平面簡圖。小車由鋼索牽引沿傾角為α的軌道勻速上升，已知小車的重量G和尺寸a、b、h、，不計小車和軌道之間的摩擦，試求鋼索拉力FT和軌道對小車的約束力。

GFAFByxFT技巧坐標(biāo)選擇本課小結(jié)

主矢的大小等于原力系中各分力在坐標(biāo)軸投影代數(shù)和的平方和再開方,作用在簡化中心上。主矩的大小等于各分力對簡化中心力矩的代數(shù)和。一、平面任意力系的簡化平面任意力系向平面任意點簡化,得到一主矢FR‘和一主矩Ｍ0

1.平衡條件平面任意力系平衡的必充條件為FR=0Ｍ0=0。二、平面任意力系的平衡方程

2.平衡方程

為使求解簡便，坐標(biāo)軸一般選在與未知力垂直的方向上，矩心可選在未知力作用點（或交點）上。作業(yè)：P51習(xí)題:3-2；3-3C）、d）P51習(xí)題：3-5注意：1、關(guān)注二力桿。2、有角度，可能有力的分解問題。3、坐標(biāo)的選擇技巧。2324祝同學(xué)們學(xué)習(xí)愉快25工程力學(xué)任課教師戴勇第三章

平面任意力系§3.3固定端約束和均布載荷26又稱懸臂梁。注意它的約束力有三個：FYA、FXA、MA。一、固定端約束固定端（插入端）支座實例：27二、均布載荷

載荷集度為常量的分布載荷稱為均布載荷。xABqLO在構(gòu)件一段長度上作用均布載荷q(N/m)。1.均布載荷的合力Fq均布載荷的合力Fq的大小等于均布載荷集度q與其分布長度l的乘積，即Fq=qLFqL/2

2.均布載荷求力矩：

由合力矩定理可知，均布載荷對平面上任意點O的力矩等于其合力Fq與分布長度中點到矩心距離的乘積，即

M0(qL)=qL·(x+L/2)

。

例1——求A點約束力。（解題步驟與方法）29解：1、選研究對象AB桿

均布載荷力學(xué)意義：單位長度上載荷。如q=40N/m或q=F/a等

。如:q=1KN/m，那么0.01m長度上的力是多少呢？則q×0.01m=1KN/m×0.01m=10N。30解：1、選研究對象AB桿均布載荷力學(xué)意義：單位長度上載荷。如q=40N/m或q=F/a等

。為方便計算，可用平面圖形的面積來表示構(gòu)件的受力大小，圖形的高為q，則長×高=q×L=面積（力的大?。?。31解：1、選研究對象AB桿2、畫受力圖A點是固定端約束

3、列平衡方程

∑FY=0（視均布載荷為集中載荷——得NYA）

∑MA（F）＝0（視均布載荷為集中載荷——得MA）

∑FX=0（∵水平方向無主動力，∴NXA=0）32該均布載荷可以簡化為位于其中間的集中載荷F（F=2Lq）?！艶Y=0NYA—2Lq=0，NYA=2Lq（約束力設(shè)定方向正確）∑MA（F）＝0MA—2L（2Lq）=0,

MA=4L2q（約束力設(shè)定方向正確）3、列平衡方程采用積分法求力矩。該面積是高為q,寬為dx，力臂為X。33三、應(yīng)用舉例

例2

圖示為懸臂梁的平面力學(xué)簡圖。已知梁長為2l，作用均布載荷q，作用集中力F=ql和力偶M0=ql2,求固定端的約束力。ABqllFM0qABllFM0FAxFAyMA解：1.取AB為研究對象畫受力圖2.列平衡方程求約束力第三章

平面任意力系§3.4靜定與靜不定問題的概念物體系統(tǒng)的平衡問題一

、靜定與靜不定的概念

如果我們所求物體系的力的未知量數(shù)少于或等于獨立平衡方程數(shù)，則稱之為靜定問題。反之稱為靜不定問題（未知量數(shù)＞獨立平衡方程數(shù)）。

——靜定與靜不定的概念

如果我們所求物體系的力的未知量數(shù)少于或等于獨立平衡方程數(shù)，則稱之為靜定問題。反之稱為靜不定問題（未知量數(shù)＞獨立平衡方程數(shù)）。

36

由n個物體組成的物體系中，最多能建立3n個獨立的平衡方程；如遇匯交力系、平行力系、力偶系，則總獨立平衡方程數(shù)隨之減少。

靜不定問題是由于過度約束導(dǎo)致的，大量存在于工程之中，其目的是為了通過增加約束提高構(gòu)件的剛性和可靠性。靜不定問題有許多求解的辦法（包括計算辦法，如利用變形協(xié)調(diào)條件等），也有一些專家通過實驗來推出經(jīng)驗公式或表格。37討論：

BD是柔索，此題靜定還是靜不定問題？38此處設(shè)輪與銷為一體討論：當(dāng)BD桿是二力桿時，此題是靜定還是靜不定問題？39此處設(shè)輪與銷為一體討論：當(dāng)BD桿是二力桿時，此題是靜定還是靜不定問題？（平面匯交力系只有兩個獨立方程）。40歸納梳理

1.平面匯交力系

2.平面力偶系

3.平面平行力系

4.平面任意力系

平面匯交力系有一組二個獨立的平衡方程，解出二個未知數(shù)。

平面力偶系有一個獨立的平衡方程，解出一個未知數(shù)。

平面平行力系有一組二個獨立的平衡方程，解出二個未知數(shù)。

平面任意力系有一組三個獨立的平衡方程，解出三個未知數(shù)。二、物體系統(tǒng)的平衡問題

在我們討論以前的問題時，多次遇到了物體系（整體）問題。凡是由兩個或兩個以上物體組成的系統(tǒng)（可以是部件或機(jī)構(gòu)或機(jī)器等）就是物體系。42討論：如圖BC桿和CDA桿受力問題。討論例3：下圖BC桿和CDA桿的三力平衡匯交問題4344整體分析：這是一個平面一般力系。圖上有4個約束力，但是獨立方程僅三個，無法解出全部未知量。例3：求解A、B、C、D處約束力大小及方向。h)45設(shè)F=100N

（一）總體分析

整體分析約束力情況，在B、D、A點有約束力4個，無法一步一結(jié)果，故先從有主動力F的CB桿開始求約束力。之后再求解ADC桿上的約束力。

（二）選研究對象，畫受力圖1、BC桿。B點是活動鉸支座，C點是中間鉸。目前暫時確定這些力的方向。2、ADC桿。根據(jù)作用與反作用定律，C點力的方向已定；再根據(jù)約束類型設(shè)D、A點力方向。46

（三）列平衡方程，求解約束力BC桿：∑MC=01.4NBsin450—0.7F=0NB=0.7F/1.4sin450=

0.7×100/(1.4×0.707)=70.7N∑X=0—XC—NBcos450=0

XC=—NBcos450=—70.7×0.707=—50N(“—”說明假設(shè)方向與實際方向相反)∑Y=0NBsin450—F+YC=0

YC=F—NBsin450=100—70.7×0.707=50N47設(shè)F=100N

BC桿：

我們還有其它辦法解題目嗎？48能否？∑MB=0∑Y=0∑X=0能否？∑MB=0∑X=0∑Y=0能否？∑MB=0∑MC=0∑X=0能否？∑MB=0∑MC=0∑Y=0二力矩式:

ADC桿：

根據(jù)作用與反作用定律，YC=YC’=50N，XC=XC’=—50N?！芃A=01YD—2YC’=0YD=2YC’=2×50=100N∑Y=0YA+YD—YC’=0

YA=YC’—YD=50—100=—50N(與假設(shè)方向相反)∑X=0XC’—XA=0XA=XC’=—50N(與假設(shè)方向相反)

49“將錯就錯”將“XC’=—50N”代入。P52習(xí)題3-10

曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時，F(xiàn)=5kN，試求曲柄OA上應(yīng)加多大的力偶矩Ｍ才能使機(jī)構(gòu)平衡?

解1：1.分別取曲柄OA、滑塊B畫受力圖FO10cm20cm10cmBAMF10cm20cm10cmOABMFABFBF'ABFOxFOy

2.取滑塊B列平衡方程求約束力

3.取OA列平衡方程求約束力10cm20cm10cmOBAM解2：取整體為研究對象畫受力圖FBFOxFOyF

本課節(jié)小結(jié)一、靜定與靜不定問題的概念1.靜定問題力系中未知數(shù)的個數(shù)少于或等于獨立平衡方程個數(shù)，全部未知數(shù)可由獨立平衡方程解出。二、物體系統(tǒng)的平衡問題

外力和內(nèi)力系統(tǒng)外物體對系統(tǒng)的作用力稱為物系外力，系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力稱為物系內(nèi)力。

物系平衡物系處于平衡，那么物系的各個構(gòu)件都處于平衡。因此在求解時，既可以選整個物系為研究對象；也可以選單個構(gòu)件或部分構(gòu)件為研究對象。2.靜不定問題力系中未知數(shù)個數(shù)多于獨立平衡方程個數(shù)時，全部未知數(shù)不能完全由獨立平衡方程解出。如圖示：請判斷一下他們對靜定與靜不定問題的答案對嗎？

作業(yè)一：（對者打√,反之打X）1.靜定問題未知數(shù)的個數(shù)少于或等于獨立平衡方程個數(shù)時，全部未知數(shù)可由獨立平衡方程解出，這類問題稱為靜定問題。2.靜不定問題未知數(shù)個數(shù)多于獨立平衡方程個數(shù)時，全部未知數(shù)不能完全由獨立平衡方程解出，這類問題稱為靜不定問題。靜定問題靜不定問題靜不定問題靜不定問題靜不定問題靜定問題靜定問題作業(yè)二：P52

習(xí)題3-8；

習(xí)題3-9b）；

習(xí)題3-11（分二塊研究，設(shè)BC=h,求G？）；

習(xí)題3-12a)、d)。注意：1、懸臂梁根部有三個約束力（特別注意約束力偶）。2、銷子的受力是難點，要理清銷子與桿件的連接關(guān)系。5354祝同學(xué)們學(xué)習(xí)愉快55工程力學(xué)任課教師戴勇ΣFi=ma當(dāng)a=0，F(xiàn)=0。ΣMA(Fi)=0時，則物體處于平衡狀態(tài)，物體既不能移動，也不能轉(zhuǎn)動。此時，

ΣFi

=0ΣMA(Fi)=0（物體處于平衡狀態(tài)）F1X+F2X+……+FnX=0（物體在X方向處于平衡狀態(tài)）F1Y+F2Y+……+FnY=0（物體在Y方向處于平衡狀態(tài)）MA(F1)+MA(F2)+……+MA(Fn)=0（物體不能繞任一點轉(zhuǎn)動）

56求解未知力的工具第七講

模塊2平面力系的合成與平衡§2.4平面力系的平衡計算復(fù)習(xí)：

平面力系平衡方程各種形式的應(yīng)用。平面任意力系：一力矩式；

二力矩式；三力矩式。57主矢與簡化中心位置無關(guān)，主矩與簡化中心位置有關(guān)。平面特殊力系：匯交力系——兩投影式。

∑FX=0,∑FY=0平行力系——一投影式，一力矩式；

∑FX=0,∑MA=0

或二力矩式：∑MA=0，

∑MB=0。力偶系——

∑M=0指一張受力圖而言！討論與練習(xí)例1：b），C）。1、要求單號組同學(xué)畫出b）圖OB桿約束力并計算其力大小。2、要求雙號組同學(xué)畫出C）圖OB桿約束力并計算其力大小。58哪組上臺演練？例3：典型夾具問題或汽車千斤頂問題

這是工程中常用的增力機(jī)構(gòu)。AB和BC是二根二力桿。當(dāng)力作用于銷子時，則形成一個三力平衡匯交問題（該力系只有兩個獨立方程式）。59關(guān)關(guān)注銷AB和BC是二根二力桿。當(dāng)力作用于銷子時，則形成一個三力平衡匯交問題（該力系只有兩個獨立方程式）。當(dāng)“α”愈小，則二根桿的增力效果愈佳！60關(guān)關(guān)注銷

當(dāng)“α”愈小，則二根桿的增力效果愈佳！∑X=0FNABcosα—FNBCcosα=0FNAB=FNBC

∑Y=0FNABsinα+FNBCsinα—FP=0FP=2FNABsinα

。當(dāng)FP一定，“α”愈小，則FNAB愈大。61研究對象是“銷”！例6：這是一個典型的平面平行力系問題，討論吊塔傾覆問題。

已知：G=500KN，b=1.5m;Pmax=250KN,L=10m;X=6m;a=3m。Q=?62解：1、研究對象

吊機(jī)2、畫受力圖

僅兩約束力3、列平衡方程式

當(dāng)?shù)鯔C(jī)處于向右傾覆的臨界狀態(tài)時，A點約束力為零。此時配重Q