變化率問題與導數的概念

關于變化率問題與導數的概念第1頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月問題1.氣球平均膨脹率.吹氣球時,會發(fā)現:隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢,能從數學的角度解釋這一現象嗎?解:可知:V(r)=πr3

即：r(V)=

當空氣容量Ｖ從０增加１Ｌ時，半徑增加了r(1)－r(0)=0.62氣球平均膨脹率：

第2頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月問題1.氣球平均膨脹率.當空氣容量Ｖ從１加２Ｌ時，半徑增加了r(２)－r(１)=0.１６氣球平均膨脹率：

可以看出，隨著氣球體積變大，它的平均膨脹率變?。伎迹寒斂諝馊萘繌腣1增加到V2

時,氣球的平均膨脹率是多少呢?第3頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月問題2.平均速度.物體自由落體的運動方程是:S(t)=gt2,12求１s到２s時的平均速度．

解：S2－S1==14.7t2－t1=1V=第4頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月問題2.平均速度.思考：求t1s到t2s時的平均速度．

V=第5頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月平均變化率如果上述的兩個函數關系用f(x)表示那么當自變量x從x1變化到x2時，函數值就從y1變化到y2則函數f(x)從x1到x2的平均變化率：它的幾何意義是什么呢？第6頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月問題３：瞬時速度物體自由落體的運動方程是:S(t)=gt2,12如何求t=3這時刻的瞬時速度呢？能否用求平均速度的方法求某一時刻的瞬時速度？

（我們可以取t=3臨近時間間隔內的平均速度當作t=3時刻的平均速度，不過時間隔要很小很小）

第7頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月問題３：瞬時速度物體自由落體的運動方程是:S(t)=gt2,12如何求t=3這時刻的瞬時速度呢？解：取一小段時間：［3,3+△t]△Ｓ=g(3+△t)2－gV=△Ｓ△t(6+△t)第8頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月問題３：瞬時速度解：取一小段時間：［3,3+△t]△Ｓ=g(3+△t)2－gV=△Ｓ△t(6+△t)當△t0時，v3g=29.4（平均速度的極限為瞬時速度）

第9頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月瞬時速度：（平均速度的極限為瞬時速度）

即：lim△t0S(3+△t)－S(3)△t=29.4

思考：在t0時刻的瞬時速度呢？lim△t0S(t0+△t)－S(t0)△t第10頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月瞬時變化率：思考：我們利用平均速度的極限求得瞬時速度，那么如何求函數f(x)在x=x0點的瞬時變化率呢？可知:函數f(x)在x=x0處的瞬時變化率為：lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△xlim△x0△f△x=第11頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月導數函數f(x)在x=x0處的瞬時變化率為：lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△xlim△x0△f△x=我們稱它為函數f(x)在x=x0處的導數．記作：f’(x0)=lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△x第12頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月小結：由定義知，求f(x)在x0處的導數步驟為：第13頁，課件共15頁，創(chuàng)